Calcolatrice della media armonica

Media armonica = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Un valore della lista, e deve essere maggiore di zero. Sono i valori di cui si vuole la media — velocità, prezzi unitari, portate — e devono essere tutti nella stessa unità di misura, perché la formula non converte nulla da sola

1/xᵢ

Il reciproco di quel valore. È il passo che distingue questa media dalle altre: i valori piccoli producono i termini grandi, quindi pesano di più nel denominatore, ed è il motivo per cui la media armonica è sempre la più bassa delle tre

Σ(1/xᵢ)

La somma di tutti i reciproci. Non ha un'unità di misura che si possa leggere — è un passaggio intermedio, non un risultato — ed è anche il numero che la pagina evita di stampare, perché arrotondato non torna indietro nella divisione finale

n

Quanti valori ci sono, e sta al numeratore, non al denominatore: è il numero di valori diviso la somma dei reciproci, non il contrario. È questa inversione a rendere la formula corretta per una distanza fissa e sbagliata per un totale che si somma

Usa la media armonica quando il numeratore è fisso e il denominatore varia: una distanza fissa percorsa a velocità diverse, una quantità di lavoro fissa svolta a ritmi diversi, una tensione fissa ai capi di resistenze di valore diverso, dove la resistenza equivalente si ottiene proprio così, un capitale fisso investito per periodi di durata diversa. In tutti questi casi la media aritmetica sovrastima il risultato, ed è la media armonica che risponde alla domanda vera. La formula compare anche in ogni media di rapporti in cui la grandezza da mediare sta al denominatore: il prezzo medio per unità quando si comprano quantità diverse a prezzi diversi, il consumo medio di carburante su tratti percorsi a velocità diverse. Con due soli valori la media armonica si calcola in testa in un modo che vale la pena ricordare: è il doppio del loro prodotto diviso la loro somma. Non usarla quando i valori si sommano semplicemente fra loro: lì serve la media aritmetica, e la media armonica darebbe un numero più basso e ingiustificato.

1. Cinque voti di una verifica

   1. Prendi il reciproco di ogni valore: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Sommali: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Dividi la numerosità per la somma dei reciproci — la somma arrotondata qui sopra non torna indietro: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   Il pannello non stampa di proposito quella somma intermedia di 0,057931: è un numero arrotondato, e 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, quindi chi controllasse l'aritmetica con il valore arrotondato troverebbe una discrepanza di 0,044 che non c'è. La riga del procedimento scrive perciò i reciproci non arrotondati, e per questo è quella che vale. Nota anche quanto la media armonica stia sotto quella aritmetica, 86,6: qui la differenza è di 0,288, più ampia di quella fra media geometrica e media aritmetica sulla stessa lista, perché i reciproci danno più peso ai valori piccoli, e 78, il voto più basso, è quello che contribuisce di più al denominatore.

2. Andata a 30, ritorno a 60: la velocità media è 40

   1. Prendi i reciproci: 1/30 = 0,033333 e 1/60 = 0,016667
   2. Sommali: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Dividi la numerosità per la somma: 2 ÷ 0,05 = 40

   Questo è l'esempio per cui esiste tutta la pagina. Percorri 100 km all'andata a 30 km/h e 100 km al ritorno a 60 km/h: l'andata impiega tre ore e venti minuti e il ritorno un'ora e quaranta, quindi cinque ore per 200 km, cioè 40 km/h. La media aritmetica di 30 e 60 è 45, e 45 sarebbe corretta se si fosse guidato un'ora a ciascuna velocità — quella è una domanda sul tempo, mentre questa è una domanda sulla distanza. I numeri non dipendono dall'unità di misura né dalla lunghezza del percorso: se la metà del viaggio si fa a 30 e la metà a 60, la velocità media è 40 qualunque sia la distanza. Al contrario, 30 all'andata e 30 al ritorno fanno 30 con entrambi i metodi, perché non c'è nulla su cui i due possano discordare quando i valori sono uguali.

3. Tre valori: 1, 2 e 4

   1. Prendi i reciproci: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Sommali: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Dividi la numerosità per la somma: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   I reciproci vanno nel verso opposto rispetto ai valori, e in questo sta tutto il carattere di questa media: 1 è il valore più grande e contribuisce con il termine più grande, 1, mentre 4 è il più piccolo e contribuisce con 0,25. Il valore piccolo pesa perciò di più nel denominatore, ed è il motivo per cui la media armonica è sempre la più bassa delle tre. Se questi tre fossero tempi di percorrenza su tratte di lunghezza uguale, la risposta 1,7143 sarebbe il tempo medio corretto; se fossero semplicemente tre durate da sommare, la media aritmetica 2,3333 sarebbe quella giusta.

4. Il passaggio per 1: i reciproci rovesciano l'ordine

   1. Prendi i reciproci: 1/0,5 = 2 e 1/2 = 0,5
   2. Sommali: 2 + 0,5 = 2,5
   3. Dividi la numerosità per la somma: 2 ÷ 2,5 = 0,8

   I valori minori di 1 hanno reciproci maggiori di 1, quindi il valore più piccolo di questa coppia produce il termine più grande e domina il denominatore: 0,5 contribuisce con 2 mentre 2 contribuisce con 0,5. La risposta resta come sempre fra i due valori, ma sta molto più vicina a quello piccolo: 0,8 contro una media aritmetica di 1,25. Il valore 1 è il punto in cui i reciproci smettono di cambiare le carte, perché il suo reciproco è ancora 1, ed è per questo che una lista costruita intorno a 1 si comporta in modo molto diverso da una costruita intorno a 100.

5. Otto valori, scritti con un Σ

   1. Prendi il reciproco di ogni valore: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Sommali: 2,717857
   3. Dividi la numerosità per quella somma: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Sopra i sei valori la riga del procedimento passa alla forma abbreviata, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435, perché ogni reciproco occupa almeno quattro caratteri e una lista di duecento valori produrrebbe una riga lunghissima. Il Σ significa esattamente quello che significava la riga estesa, cioè somma tutti i reciproci. Vale la pena notare quanto questa media sia più bassa delle altre due su questa lista: 2,9435 contro una media geometrica di 3,76 e una media aritmetica di 4,5. La ragione è la stessa di sempre, cioè che qui i valori piccoli contano molto: 1 entra nel denominatore con tutto il suo peso, mentre 8 entra con 0,125.

Ogni valore deve essere maggiore di zero, e la pagina rifiuta una lista che contiene uno zero o un negativo. Lo zero è il caso pericoloso, perché il suo reciproco non esiste: la somma al denominatore diventerebbe infinita e la media armonica non sarebbe zero ma un numero che non si può calcolare, mentre la media aritmetica della stessa lista resterebbe un valore del tutto normale. Con i negativi il risultato si può calcolare ma non significa nulla di utile, perché i segni si mescolano nel denominatore e basta un valore negativo a far uscire una risposta fuori dall'intervallo dei dati. Tutti i valori devono inoltre essere nella stessa unità di misura: la formula non converte nulla, quindi una lista che mescola minuti e ore, o metri e chilometri, produce un numero aritmeticamente corretto e del tutto privo di senso. Non è robusta: un solo valore molto piccolo, e quindi con un reciproco molto grande, domina il denominatore e trascina la risposta verso di sé. La lista è limitata a duecento valori, e un elemento come 1.500 o 1,500 viene rifiutato invece di essere interpretato a caso, perché con tre cifre dopo il separatore non si può sapere se è millecinquecento o uno virgola cinque: scrivi 1500 oppure 1,5.

Come si calcola la media armonica di una lista?

Si prende il reciproco di ogni valore, si sommano tutti i reciproci e si divide la numerosità per quella somma. Per i valori 1, 2 e 4 i reciproci sono 1, 0,5 e 0,25, che sommano a 1,75, quindi la media armonica è 3 ÷ 1,75 = 1,7143. L'ordine conta: il numero di valori sta al numeratore, e invertirlo è l'errore più comune su questa formula.

Perché la media armonica è più piccola delle altre due?

Perché i reciproci rovesciano l'importanza dei valori: il valore più piccolo produce il termine più grande e pesa di più nel denominatore. Per una lista di numeri positivi la media armonica è sempre la più bassa, poi viene quella geometrica, e la più alta è quella aritmetica; le tre coincidono soltanto quando tutti i valori sono uguali. Lo scarto fra loro cresce con la disomogeneità della lista.

Perché andata a 30 e ritorno a 60 danno una velocità media di 40 e non 45?

Perché si percorre la stessa distanza due volte, non si guida lo stesso tempo. La metà lenta del viaggio dura il doppio di quella veloce, quindi pesa il doppio nella media: su 200 km totali si sta cinque ore in strada, e 200 ÷ 5 = 40 km/h. Se invece si guidasse un'ora a 30 e un'ora a 60, la distanza non sarebbe la stessa nei due tratti e la risposta corretta sarebbe 45, cioè la media aritmetica.

Quando si usa la media armonica invece di una media semplice?

Quando il totale è fisso e varia quanto costa ogni sua unità. Vale per una distanza fissa percorsa a velocità diverse, per una quantità di lavoro fissa svolta a ritmi diversi, per il prezzo medio per unità quando si comprano quantità diverse a prezzi diversi, per il consumo medio di carburante su tratti diversi. In tutti questi casi la media aritmetica risponde a una domanda diversa da quella che si sta facendo, e il suo risultato è sistematicamente troppo alto.

Che legame ha con la resistenza in parallelo?

È la stessa formula. La resistenza equivalente di più resistenze in parallelo si calcola come il reciproco della somma dei reciproci, e la media armonica di quei valori è quella resistenza moltiplicata per il numero di resistenze. Vale anche per le capacità in serie e per le lenti sottili accostate: ogni volta che la grandezza fisica si compone per inversi, la media da usare è questa e non quella aritmetica.

I valori possono essere minori di 1?

Sì, purché siano maggiori di zero. Sotto 1 i reciproci diventano maggiori di 1 e l'ordine delle importanze si rovescia, ma il risultato resta compreso fra il valore più piccolo e il più grande, come per ogni media. Un valore esattamente uguale a 1 è il punto neutro, perché il suo reciproco è ancora 1, e liste costruite intorno a 1 si comportano in modo molto diverso da liste costruite intorno a 100.

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)