Calcolatrice della media geometrica

Media geometrica = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(media(ln xᵢ))

xᵢ

Un valore della lista, e deve essere maggiore di zero: un solo zero annulla il prodotto, e con un negativo la radice ennesima non esiste fra i numeri reali. Sono i valori che si moltiplicano fra loro — fattori di crescita, rapporti, livelli di un indice — e non importa in che ordine siano scritti

n

Quanti valori ci sono. Determina l'indice della radice: due valori chiedono la radice quadrata, tre la cubica, cinque la quinta. Compare anche come divisore nella forma con i logaritmi, dove la somma dei logaritmi viene divisa per n

x₁ · x₂ · … · xₙ

Il prodotto di tutti i valori. È il numero che la media geometrica deve riportare a un valore tipico, e cresce molto in fretta: una lista di trenta valori intorno a 100 supera le sessanta cifre, ed è il motivo per cui per liste lunghe si passa dai logaritmi

media(ln xᵢ)

La stessa cosa vista dall'altra parte: si prende il logaritmo di ogni valore, se ne fa la media aritmetica, e alla fine si disfa il logaritmo con l'esponenziale. Il risultato è identico a quello della radice, ma i numeri intermedi restano piccoli anche con duecento valori in lista, quindi è questa la strada che la calcolatrice segue davvero

Usa la media geometrica quando i numeri si moltiplicano invece di sommarsi: percentuali che si compongono, rapporti, numeri indice, fattori di crescita. Un fondo che guadagna il 10%, poi il 20% e poi perde il 10% chiude i tre anni in rialzo del 18,8%, e il fattore annuo medio è 1,0591, cioè il 5,91% composto: la media aritmetica degli stessi tre fattori darebbe 1,0667 e descriverebbe una crescita che non c'è stata. Vale anche per le grandezze che vivono su una scala moltiplicativa, come l'intensità di un suono o la magnitudine di un terremoto, e per le medie di valori che coprono più ordini di grandezza, dove un solo valore molto grande sposterebbe troppo una media semplice. Non usarla per importi che si sommano — prezzi, distanze, temperature, punteggi — e non usarla quando nella lista compare uno zero o un valore negativo.

1. Cinque voti di una verifica

   1. Moltiplica i valori: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4.830.883.200
   2. Ci sono 5 valori, quindi estrai la radice quinta: ⁵√4.830.883.200 = 86,458
   3. La media aritmetica della stessa lista è 86,6

   Le due risposte differiscono di 0,142, che è poco perché questi cinque voti sono vicini fra loro; la media geometrica sta sotto quella aritmetica di una quantità che cresce con la disomogeneità della lista. Quella disuguaglianza non è un effetto dell'arrotondamento: per valori positivi la media geometrica non può mai superare quella aritmetica, e la uguaglia solo quando tutti i valori sono identici. Il prodotto intermedio, 4.830.883.200, è grande e cresce in fretta: aggiungendo altri cinque voti simili a questi, il prodotto passerebbe a venti cifre. I voti non sono davvero una grandezza moltiplicativa, quindi questo primo esempio serve a mostrare il meccanismo più che un uso naturale; i rendimenti del fondo nell'esempio successivo sono ciò per cui lo strumento esiste.

2. Un fondo su del 10%, su del 20%, giù del 10%

   1. Moltiplica i fattori di crescita: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Ci sono 3 fattori, quindi estrai la radice cubica: ³√1,188 = 1,0591
   3. La media aritmetica è 1,0667 — più alta, e sbagliata per questa domanda

   I tre anni insieme sono a +18,8%, e 1,188 è l'unico numero che lo dice. Il fattore annuo medio è quello che moltiplicato per sé stesso tre volte dà 1,188, cioè la radice cubica, 1,0591: un tasso di crescita annuo composto del 5,91%. Una media semplice delle tre percentuali dà 6,67%, ed è troppo alta perché le percentuali non si sommano: un calo del 10% disfa più di quanto faccia un aumento del 10%, perché viene calcolato su una base più grande. Qui la differenza è di 0,76 punti percentuali all'anno, e su un orizzonte lungo diventa la differenza fra due patrimoni molto diversi. Vale anche il caso estremo: una lista simmetrica come −50% e +50% ha media aritmetica zero e media geometrica 0,866, cioè un patrimonio che in due anni ha perso il 13,4%.

3. Due numeri: il medio proporzionale

   1. Moltiplica i due valori: 2 × 8 = 16
   2. Ci sono 2 valori, quindi estrai la radice quadrata: √16 = 4
   3. La media aritmetica della stessa coppia è 5

   Con due valori la media geometrica è la radice quadrata del loro prodotto, cioè il numero che i geometri antichi chiamavano medio proporzionale: 2 sta a 4 come 4 sta a 8. È anche il lato del quadrato che ha la stessa area del rettangolo 2 per 8 — 16 in entrambi i casi — dove la media aritmetica 5 è il lato del quadrato con lo stesso perimetro, un quadrato 5 per 5 di area 25. È il caso più chiaro in cui le due medie si separano, e mostra perché quella geometrica è la risposta giusta a una domanda su aree, scale o crescite, e quella aritmetica a una domanda su totali.

Ogni valore deve essere maggiore di zero, e la pagina rifiuta una lista che contiene uno zero o un negativo invece di restituire qualcosa che sembra un numero ma non lo è. Uno zero è il caso pericoloso, perché il prodotto diventa zero e la radice non lo recupera: la media geometrica di una lista che contiene uno zero non è zero, è una domanda senza risposta, mentre la media aritmetica della stessa lista sarebbe un numero del tutto normale. Con i negativi il problema è più profondo, perché la radice ennesima di un prodotto negativo non esiste fra i numeri reali, e con un numero pari di valori negativi esisterebbe ma descriverebbe una grandezza diversa da quella che si crede di star mediando. Il prodotto intermedio cresce molto in fretta — una lista di trenta valori intorno a 100 supera le sessanta cifre — quindi per liste lunghe conviene passare dai logaritmi, che è la seconda forma scritta nella formula e la strada che la calcolatrice segue internamente. La lista è limitata a duecento valori, e un elemento come 1.500 o 1,500 viene rifiutato invece di essere interpretato a caso: scrivi 1500 oppure 1,5.

Come si calcola la media geometrica di una lista di valori?

Moltiplica fra loro tutti i valori, poi estrai la radice il cui indice è quanti valori ci sono. Per 2 e 8 il prodotto è 16 e i valori sono due, quindi la media geometrica è √16 = 4; con cinque valori si estrae la radice quinta. Una calcolatrice fa la stessa cosa passando per i logaritmi: calcola il logaritmo di ogni valore, ne fa la media aritmetica e alla fine disfa il logaritmo, evitando così il prodotto intermedio enorme.

Perché la media geometrica è più bassa di quella aritmetica?

Perché il prodotto di valori diversi è minore di quello che si otterrebbe se fossero tutti uguali alla loro media aritmetica. La differenza cresce con la disomogeneità della lista: se i valori sono tutti identici le due medie coincidono, e più i valori si allontanano fra loro, più la media geometrica scende rispetto all'altra. Non è un effetto dell'arrotondamento e non ammette eccezioni per i numeri positivi.

Quando conviene usare la media geometrica invece di quella aritmetica?

Quando i valori si moltiplicano invece di sommarsi. Il caso tipico è una serie di rendimenti annui: la media geometrica restituisce il tasso composto che porta dal primo all'ultimo valore, mentre la media aritmetica descrive una crescita che non si sarebbe realizzata. Serve anche per i rapporti, i numeri indice e le grandezze su scala moltiplicativa, e in genere ogni volta che i valori coprono più ordini di grandezza.

Posso usarla su una lista che contiene uno zero o un numero negativo?

No, e la pagina rifiuta la lista invece di restituire un risultato parziale. Uno zero annulla il prodotto, quindi la media geometrica non sarebbe zero ma semplicemente non definita; un negativo rende impossibile la radice ennesima fra i numeri reali. Se la lista contiene uno zero, la media aritmetica resta calcolabile, ed è quella che conviene guardare, con la consapevolezza che uno zero la trascina comunque verso il basso.

Qual è il tasso di crescita medio annuo di un investimento?

È la media geometrica dei fattori di crescita annui, riportata in percentuale. Se un fondo fa +10%, +20% e −10%, i fattori sono 1,1, 1,2 e 0,9, il loro prodotto è 1,188 e la radice cubica è 1,0591: il tasso di crescita medio annuo è il 5,91%. È il numero che di solito si legge come rendimento annuo composto, e non va confuso con la media aritmetica delle tre percentuali, che sarebbe 6,67%.

Come si calcola la media geometrica di due numeri?

Con due numeri la radice è quella quadrata, quindi basta moltiplicarli e prendere la radice del prodotto: per 2 e 8 è √16 = 4. Quel numero si chiama medio proporzionale, perché 2 sta a 4 come 4 sta a 8, ed è anche il lato del quadrato che ha la stessa area del rettangolo 2 per 8. Con due soli valori la formula si riduce a questo, e non serve passare dai logaritmi.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)