Calcolatrice del prisma triangolare
Risultato
Volume
- Area laterale
- 120,0000 cm²
- Superficie totale
- 132,0000 cm²
Una calcolatrice del prisma triangolare prende i tre lati della faccia triangolare e la lunghezza del prisma e restituisce tre letture: quanto contiene, quanto materiale da avvolgimento gira attorno ai suoi fianchi e quanto materiale servirebbe per la sua area superficiale completa. Un prisma triangolare è la forma di una tenda, di una tavoletta di cioccolato, di una fetta di formaggio, del colmo di un tetto e di un pezzo di modanatura a sezione triangolare: qualunque cosa abbia un triangolo a un'estremità e prosegua dritta fino a un triangolo identico dall'altra parte. Due delle tre risposte si vedono a occhio. Il volume è l'area della faccia triangolare moltiplicata per quanto il prisma si allunga, perché un prisma è quello che ottieni trascinando una figura piana nello spazio senza girarla, e il volume di qualunque solido fatto così è la sua sezione moltiplicata per il suo percorso. L'area laterale è la distanza attorno al triangolo moltiplicata per la stessa lunghezza, perché, una volta srotolati, i fianchi del prisma sono un rettangolo la cui larghezza è il perimetro del triangolo. Mettendo insieme le due cose la terza segue da sé: la superficie totale è l'avvolgimento più le due facce triangolari, una per estremità, ed è per questo che le basi si contano due volte. Ai tre lati viene anche chiesto di formare davvero un triangolo, e vale la pena di dirlo perché è il controllo che tutti dimenticano. Tre lunghezze formano un triangolo solo se la somma di due qualsiasi supera la terza. Se non è così, il prisma non ha nessuna faccia di partenza e nessun volume da dichiarare, e la pagina lo dice invece di restituire in silenzio qualcosa. Quando i due lati corti sommati danno esattamente il lato lungo, la base è un segmento piatto invece di un triangolo, e la pagina lo accetta: il volume è davvero zero e la pagina stampa zero. Vale la pena di notare un'ultima cosa, perché è quella che rende la pagina utile anche a chi non ha un triangolo sottomano: la regola del volume vale per qualunque prisma, e la moltiplicazione non chiede mai da quale figura provenga l'area.
Il volume di un prisma triangolare dalla sua base e dalla sua lunghezza
| Lato a (cm) | Lato b (cm) | Lato c (cm) | Lunghezza (cm) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
Otto prismi e cinque colonne. La tabella dà il volume invece di tutte e tre le letture perché cinque colonne sono già il massimo che questa tabella può portare e il volume è la lettura per cui si viene. La prima riga è quella di raccordo: una base di lati 3, 4 e 5 ha un'area di esattamente 6, quindi il volume è esattamente 60, e la pagina del volume stampa lo stesso 60 partendo da un'area di base di 6 e da una lunghezza di 10. La seconda riga è lo stesso controllo con un numero scomodo: una base equilatera di lato 6 dà 155,8846, e la pagina del volume ci arriva da un'area di base di 15,5884572. La quinta riga è la base degenere, dove 1 + 1 = 2 e il triangolo è stato appiattito in un segmento: la sua area è zero, quindi il volume è zero, e la pagina lo accetta. La sesta riga ha una lunghezza di zero, dove il volume è ancora zero ma per un motivo del tutto diverso: non resta nessun prisma. L'ottava riga ha una base quasi degenere — 5 + 6 supera 10 di pochissimo — il che rende l'area minuscola ed è il caso più difficile per l'aritmetica. I numeri delle celle sono ricalcolati dallo spec a ogni costruzione e usano il punto come separatore decimale, mentre il testo di questa pagina usa la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi, non due risultati diversi.
Formula
V = A(base) × L
- Lato a
- Il primo lato della faccia triangolare, in centimetri. I tre lati insieme devono poter formare un triangolo, e la pagina lo verifica prima di rispondere
- Lato b
- Il secondo lato della base, in centimetri. Insieme ad a e c fissa completamente l'area della base e quindi il volume
- Lato c
- Il terzo lato della base, in centimetri. L'ordine dei tre non conta: entrano in modo simmetrico, attraverso il perimetro e il semiperimetro
- Lunghezza
- Quanto si allunga il prisma, in centimetri: la distanza fra le due facce triangolari identiche, misurata lungo la direzione di avanzamento
- A(base)
- L'area della faccia triangolare, ricavata dai tre lati con la formula di Erone. Una base di lati 3, 4 e 5 ha un'area di esattamente 6 centimetri quadrati, ed è per questo che compare così spesso in questo gruppo
- Volume
- Quanto contiene il prisma, in centimetri cubi. L'area della base moltiplicata per la lunghezza, una regola che vale per ogni prisma qualunque sia la forma della sua sezione
- Perimetro e area laterale
- La distanza attorno alla base e quella distanza moltiplicata per la lunghezza. Srotolati, i fianchi di qualunque prisma sono un rettangolo, e questa è la sua area
Il calcestruzzo e i movimenti di terra sono gli utilizzatori più antichi: un cordolo triangolare, un cumulo di scavo con la sommità piatta, un cordolo in calcestruzzo gettato con sezione triangolare, insomma tutto ciò che si ordina o si paga a volume, cioè la maggior parte delle cose vendute a camionate o a metri cubi. I materiali da avvolgimento e in foglio sono la seconda famiglia, e vogliono l'area laterale: il telo sopra il colmo di una tenda, la pellicola attorno a un pacco triangolare, il rivestimento di un frontone, la lamiera di una canalina triangolare. Quei lavori si pagano ad area e il numero che serve è il perimetro per la lunghezza, non la superficie totale, perché le basi di solito sono aperte o coperte da altro. I lavori di verniciatura e di rivestimento vogliono invece la superficie totale, perché le basi fanno parte di ciò che va verniciato e lasciarle fuori dal preventivo è il modo classico di restare corti. C'è poi la terza lettura, quella che vale la pena di conoscere anche se arriva gratis: il volume di qualunque prisma è l'area della sua sezione per la sua lunghezza, e una volta visto questo, parallelepipedi, cilindri e questa forma collassano tutti in un'unica regola. È quella generalizzazione il motivo per cui questa pagina e la pagina del volume del prisma triangolare esistono in coppia: una parte dai tre lati, l'altra da un'area che hai già, e entrambe arrivano allo stesso risultato quando i numeri coincidono.
Esempi svolti
Una base 3-4-5 con lunghezza 10
- Calcola l'area della base con la formula di Erone: semiperimetro 6, quindi √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Moltiplica per la lunghezza e ottieni il volume: 6 × 10 = 60
- Somma i lati e moltiplica per la lunghezza e ottieni l'avvolgimento: 12 × 10 = 120
- Aggiungi le due facce triangolari: 120 + 2 × 6 = 132
La coppia con cui la pagina si apre, e quella che tiene insieme le due pagine: la base ha area esattamente 6, quindi il volume è esattamente 60, e la pagina del volume stampa lo stesso 60 per un'area di base di 6 con lunghezza 10. Tutte e tre le letture escono da un gruppetto di numeri piccolissimo, che è esattamente il senso di una pagina di raccordo.
Una base equilatera di lato 6 con lunghezza 10
- Calcola l'area della base equilatera: √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
- Moltiplica per la lunghezza e ottieni il volume: 15,5884572… × 10 = 155,884572…
Una base equilatera, dove l'area non è un numero intero e la risposta va arrotondata alla fine. La pagina del volume arriva allo stesso 155,8846 partendo da un'area di base di 15,5884572 con la stessa lunghezza: è il secondo raccordo fra le due pagine.
Una base isoscele di lati 5, 5 e 6 con lunghezza 4
- Calcola l'area della base: il semiperimetro è 8, quindi √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
- Moltiplica per la lunghezza e ottieni il volume: 12 × 4 = 48
Il caso ordinario: una base la cui area viene un numero intero e un prisma corto. Qui non c'è nessuna figura speciale e nessun lato è stato misurato a un angolo comodo, che è l'aspetto della maggior parte dei lavori reali.
Una base 3-4-5 con lunghezza 0
- Calcola l'area della base: 6
- Moltiplica per la lunghezza: 6 × 0 = 0
Una lunghezza di zero significa che le due estremità sono state avvicinate e non resta nessun prisma: il volume è davvero zero. La superficie totale non è zero nemmeno qui, perché le due facce triangolari ci sono ancora e vanno comunque contate; l'area laterale invece sparisce con la lunghezza, dato che è il perimetro della base moltiplicato per quella lunghezza. Vedere una delle due che resta ferma mentre l'altra crolla a zero è un buon modo per capire che superficie e volume rispondono a domande diverse.
Limiti
Questa pagina prende i tre lati della base e la lunghezza del prisma, e nient'altro. Dà per scontato che il prisma sia retto, cioè che le basi siano parallele e identiche e che i fianchi corrano perpendicolari a esse: è quello che significa la parola prisma, ma non è quello che è ogni solido triangolare; un cuneo che si assottiglia verso un'estremità richiede un calcolo diverso. La sezione deve essere un triangolo: un prisma con base quadrilatera è un'altra figura, con un'altra pagina. I tre lati devono rispettare la disuguaglianza triangolare e, quando i due corti sommati danno meno del lungo, la pagina rifiuta invece di rispondere. Quando danno esattamente il lungo, la base è degenere e il volume viene accettato come zero. Il risultato è sempre in centimetri, centimetri quadrati e centimetri cubi qualunque cosa dicano i menu, e le conversioni non sono le stesse per tutti e tre: una lunghezza si converte con 2,54 rispetto al pollice, un'area con 6,4516 e un volume con 16,387. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione, e un volume che contiene una radice quadrata avrà davvero più cifre di quelle mostrate. L'area laterale esclude entrambe le facce triangolari, che è quello che serve a un materiale da avvolgimento ma non a un preventivo di verniciatura: per verniciare serve la superficie totale. Qui non si gestisce un prisma cavo, lo spessore delle pareti né un margine per gli scarti quando il materiale viene tagliato.
Domande frequenti
- Che differenza c'è fra area laterale e superficie totale?
- L'area laterale è solo l'avvolgimento attorno ai fianchi: il perimetro del triangolo moltiplicato per la lunghezza. La superficie totale conta anche le due facce triangolari, quindi è l'area laterale più due volte l'area della base. Quale delle due ti serve dipende dal lavoro: una pellicola, un'etichetta o un rivestimento vogliono l'area laterale, perché le estremità del pacco sono aperte. Vernice, placcatura o lamiera vogliono il totale, perché anche le basi vanno coperte.
- Quale misura è la lunghezza?
- Quanto si allunga il prisma, cioè la distanza da una faccia triangolare all'altra, misurata lungo la direzione in cui la forma avanza. Non è l'altezza del triangolo e, su un prisma appoggiato su un tavolo, questi due numeri sembrano spesso simili: è proprio per questo che vale la pena di controllare quale dei due hai in mano. Se il tuo prisma è una tenda, la lunghezza è il colmo.
- I tre lati possono essere tre numeri qualsiasi?
- No. Tre lunghezze formano un triangolo solo se la somma di due qualsiasi supera la terza. Se i due corti sommati danno meno del lungo non esiste nessuna faccia di base e la pagina rifiuta invece di rispondere. Se danno esattamente il lungo, la base è un segmento piatto e il volume è davvero zero: quel caso viene accettato e stampato come zero.
- Perché la pagina del volume dà la stessa risposta per certi input?
- Perché le due pagine sono la stessa regola raggiunta da punti di partenza diversi. Il volume di qualunque prisma è l'area della sua sezione per la sua lunghezza, quindi se conosci già l'area della base puoi saltare del tutto i tre lati. Una base di lati 3, 4 e 5 ha un'area di esattamente 6, quindi entrambe le pagine danno 60 per una lunghezza di 10: una calcola prima l'area, all'altra viene semplicemente data.
- Conta quale lato chiamo a, b e c?
- No. I tre lati entrano nel calcolo in modo simmetrico: nel perimetro vengono semplicemente sommati e nella formula di Erone compaiono solo nel semiperimetro e nelle tre differenze, che sono lo stesso insieme di numeri qualunque sia l'ordine in cui li digiti. Le etichette servono a dare un nome alle caselle, non a implicare qualcosa.
- Posso usarla per un cilindro o per un parallelepipedo?
- Non su questa pagina, perché qui la base è un triangolo e i campi chiedono tre lati. Ma la regola è la stessa: il volume di qualunque prisma è la sua sezione per la sua lunghezza e l'area laterale di qualunque prisma è il suo perimetro per la sua lunghezza. La pagina del parallelepipedo, in questo gruppo, è lo stesso calcolo con una base rettangolare, e la pagina del cilindro è lo stesso calcolo con una base circolare.
Riferimenti
- Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)