Calcolatrice della dilatazione del tempo

tempo dilatato = fattore di Lorentz × tempo proprio, dove il fattore di Lorentz è 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

La velocità dell'orologio in movimento come frazione della velocità della luce, quindi 0,9 significa nove decimi di c. Inserirla così è una scelta deliberata: qui l'unità è la velocità della luce, non una costante da digitare. Il campo va da 0 a 1, e esattamente 1 non è un valore che la pagina possa usare, perché tutta la formula divide per qualcosa che lì si annulla

Δτ

Il tempo proprio — quello che legge l'orologio in viaggio, in ore, minuti, secondi o giorni. È il minore dei due tempi ed è quello che il viaggiatore vive. Questa pagina ha due orologi e questo è quello da tenere distinto dall'altro: compila il viaggio come lo vivrebbe l'equipaggio, non come lo pianificherebbe il centro di controllo

γ

Il fattore di Lorentz, 1 ÷ √(1 − v²/c²), stampato con quattro decimali e senza unità perché è un rapporto. È tutto l'argomento di questa pagina: a qualunque velocità una persona o un veicolo possano raggiungere concorda con 1 fino all'undicesima cifra decimale — 1000 m/s danno ancora solo 1,0000000000056 — quindi la pagina stampa 1,0000; a 0,1 c vale 1,005; e solo oltre circa 0,9 c comincia a sembrare un numero che merita una tabella. Tutto il resto della pagina è questo fattore moltiplicato per un tempo oppure sottratto a uno

Δt

Il tempo dilatato — quello che legge un orologio rimasto indietro tra gli stessi due eventi. È sempre il maggiore dei due, e la pagina lo mostra come durata invece che come conteggio di secondi: cinque ore a bordo a 0,9 c tornano come 11 ore 28 minuti 15 secondi. Non esiste un caso in cui sia minore, perché il fattore non scende mai sotto uno

Δt − Δτ

Lo scarto tra i due orologi, anch'esso mostrato come durata. Non è la stessa cosa del tempo dilatato e non ne è un multiplo — è quello che resta dopo aver sottratto le ore del viaggiatore, ed è il numero che il paradosso dei gemelli sta davvero chiedendo. A 0,9 c su cinque ore lo scarto è 6 ore 28 minuti 15 secondi

Usa questa pagina quando vuoi sapere quanto costa in tempo un viaggio veloce invece che in distanza: quanto invecchierebbe un equipaggio su un tragitto a una frazione rispettabile della velocità della luce, come appare la vita di un muone vista da terra, o perché l'orologio di un satellite debba essere corretto. Il fattore è la parte che vale la pena guardare, perché la risposta sorprende in entrambe le direzioni — a 0,1 c, che è più veloce di qualunque cosa sia mai stata costruita, gli orologi discordano di mezzo punto percentuale, mentre l'ultimo tratto da 0,99 c a 0,999999 c moltiplica l'effetto per cento. Qui vive anche la metà in andata del paradosso dei gemelli: manda un gemello via a 0,9 c e il calendario dell'altro corre più del doppio.

1. I valori predefiniti: 0,9 c per cinque ore a bordo

   1. Velocità 0,9 c, tempo proprio 5 ore = 18.000 secondi
   2. Il fattore di Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,81) = 1 ÷ √0,19 = 1 ÷ 0,435890 = 2,2942
   3. Tempo dilatato: 2,2942 × 18.000 = 41.295 secondi, cioè 11 h 28 min 15 s
   4. Lo scarto: 41.295 − 18.000 = 23.295 secondi, cioè 6 h 28 min 15 s
   5. Verifica: 18.000 + 23.295 = 41.295, e 23.295 ÷ 18.000 = 1,2942 = γ − 1

   L'ultimo passaggio è quello che vale la pena fare una volta, perché è l'unico modo in cui il numero grande perde la sua aria di magia: lo scarto non è un multiplo del tempo di bordo, è il tempo di bordo moltiplicato per γ − 1 = 1,2942. Cinque ore a bordo diventano 11 ore e mezza a casa, e nessuno dei due orologi è guasto — è che il tempo trascorso tra due eventi dipende da chi lo misura. Nota anche che cosa non entra nel fattore: la durata del viaggio. Cambia cinque ore in cinque anni e γ resta 2,2942, mentre entrambi i tempi si allungano insieme.

2. Metà della velocità della luce per un'ora: l'effetto è reale ma modesto

   1. Velocità 0,5 c, tempo proprio 1 ora = 3600 secondi
   2. Il fattore: 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1 ÷ 0,866025 = 1,1547
   3. Tempo dilatato: 1,1547 × 3600 = 4157 secondi, cioè 1 h 9 min 17 s
   4. Lo scarto: 4157 − 3600 = 557 secondi, cioè 9 min 17 s
   5. In rapporto: 557 ÷ 3600 = 0,1547, cioè il 15,5 per cento

   Metà della velocità della luce è un numero che sembra enorme e che nella formula produce una differenza del quindici per cento: è la sorpresa che questa pagina serve a rendere concreta, ed è il motivo per cui vale la pena inserire qualche valore prima di fidarsi dell'intuizione. Un'ora a 150.000 chilometri al secondo, e l'orologio rimasto a casa ha guadagnato nove minuti. Nessun oggetto macroscopico è mai arrivato vicino a questa velocità: la sonda più rapida costruita dall'uomo viaggia a circa 0,00006 c, cioè diecimila volte meno.

3. 0,999999 c per un'ora: ventinove giorni a casa

   1. Velocità 0,999999 c, tempo proprio 1 ora = 3600 secondi
   2. v²/c² = 0,999998, quindi 1 − v²/c² = 0,000002
   3. Il fattore: 1 ÷ √0,000002 = 1 ÷ 0,00141421 = 707,107
   4. Tempo dilatato: 707,107 × 3600 = 2.545.585 secondi, cioè 29 giorni 11 ore 6 min 25 s
   5. Lo scarto: 2.545.585 − 3600 = 2.541.985 secondi, cioè praticamente tutto

   Metti questo esempio accanto al precedente e si vede perché questa pagina ha bisogno di due scale diverse. A 0,5 c lo scarto era il 15 per cento; qui è il 70.600 per cento, e i 3600 secondi di bordo spariscono dentro i 2,5 milioni di secondi di casa. Il fattore è cresciuto di 612 volte per una velocità che è cambiata di meno di un millesimo: è questa la parte ripida della curva, ed è il motivo per cui i fisici scrivono le velocità come 1 − β invece che come β quando β si avvicina a uno. Le cifre da guardare sono i cinque nove dopo la virgola: bastano per spostare il risultato di due ordini di grandezza.

4. Da fermo: i due orologi concordano esattamente

   1. Velocità 0, tempo proprio 1 ora = 3600 secondi
   2. Il fattore: 1 ÷ √(1 − 0) = 1 ÷ 1 = 1
   3. Tempo dilatato: 1 × 3600 = 3600 secondi — esattamente il tempo proprio
   4. Lo scarto: 3600 − 3600 = 0 secondi

   L'estremo inferiore della pagina, e il caso che rende la formula una formula invece di una regola. A riposo il fattore vale esattamente 1 e i due orologi concordano al secondo, il che è il motivo per cui la dilatazione del tempo non si nota nella vita quotidiana: la formula non dice che gli orologi in movimento vanno sempre più lenti, dice che vanno più lenti in proporzione al fattore. È anche il valore da tenere in mente quando si guarda la tabella di riferimento, dove la prima riga a 0,1 c stampa 1,005: tutto quello che sta sotto quella riga è la fisica ordinaria, e l'intera relatività ristretta vive nello spazio che resta.

È coperto solo il tratto in andata: un orologio che si gira e torna indietro va trattato come due tratti separati a velocità costante, e alla fine è l'orologio del viaggiatore a restare indietro. La gravità non è modellata, anche se un orologio più in basso in un campo gravitazionale rallenta anch'esso, con una formula diversa. La velocità è misurata rispetto a chi guarda, e il viaggio si presuppone a quella velocità per tutta la sua durata, quindi nulla qui tiene conto dell'accelerazione all'inizio e alla fine.

Qual è la formula della dilatazione del tempo?

Il tempo dilatato è il fattore di Lorentz per il tempo proprio, Δt = γΔτ, dove γ è 1 diviso la radice quadrata di 1 − v²/c². Cinque ore a bordo di una nave a 0,9 c diventano 11 ore 28 minuti 15 secondi a terra, perché lì γ vale 2,2942. Il fattore dipende solo dalla velocità, quindi cambiare la durata del viaggio scala i due tempi insieme e lascia γ intatto.

Perché il fattore di Lorentz resta vicino a 1 così a lungo?

Perché nella formula c'è v²/c², quindi alle basse velocità la cosa che si sottrae da 1 è minuscola e la radice quadrata di un numero vicino a 1 è vicina a 1. A 0,1 c — trenta milioni di metri al secondo, più veloce di qualunque sonda spaziale — il fattore è 1,005, mezzo punto percentuale. Anche a metà della velocità della luce è solo 1,1547. La parte ripida arriva tardi: 7,09 a 0,99 c, 22,37 a 0,999 c e 707 a 0,999999 c.

In che cosa è diverso dal paradosso dei gemelli?

Questa pagina dà la metà in andata del paradosso. Se un gemello parte a 0,9 c e l'altro resta, l'orologio di chi resta corre 2,2942 volte più veloce, quindi cinque anni a bordo sono undici anni e mezzo a casa. Il paradosso completo richiede che il viaggiatore si giri e torni, il che sono due tratti invece di uno e coinvolge l'accelerazione: è quella a rompere la simmetria tra i due gemelli, e resta fuori da quello che questa pagina modella.

Anche la gravità causa la dilatazione del tempo?

Sì, e questa pagina non la copre. Un orologio più in profondità in un campo gravitazionale rallenta rispetto a uno più in alto, che è un effetto separato con una formula propria ed è il motivo per cui gli orologi dei satelliti vanno corretti per entrambi. Quello che copre questa pagina è l'effetto della relatività ristretta, che dipende solo dalla velocità relativa e vale anche senza alcuna gravità. Nei sistemi di navigazione reali i due si sommano.

Che cosa succede esattamente alla velocità della luce?

La pagina rifiuta l'ingresso. A v = c la quantità 1 − v²/c² è zero e il fattore di Lorentz divide per zero, quindi non esiste una risposta invece che una risposta infinita. Al di sopra della velocità della luce la radice quadrata diventa la radice di un numero negativo. Il campo accetta da 0 a 1 e la calcolatrice rifiuta esattamente 1, che è la separazione onesta: raggiungere la velocità della luce non è un numero molto grande su questa pagina, è il punto in cui la formula smette di essere definita.

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — NIST