Che cosa calcola davvero E = mc²?

L'energia equivalente a una massa: moltiplica la massa in chilogrammi per il quadrato della velocità della luce, 299.792.458 m/s. Un grammo dà 0,001 × 299.792.458² = 8,99 × 10¹³ joule, cioè 89,9 terajoule oppure 21,5 chilotoni di TNT. È l'energia totale racchiusa nella massa, non quella che un particolare processo libererà: vedi qui sotto quale frazione estraggano le reazioni reali.

Perché la velocità della luce è elevata al quadrato?

Perché è quello che dà la derivazione, e la ragione per cui il risultato è così grande è che c è già grande e l'elevamento al quadrato lo ingrandisce ancora: 299.792.458² fa circa 9 × 10¹⁶. Nel testo originale del 1905 l'equazione compare come m = E/c², che si legge più naturalmente: l'inerzia di un corpo è la sua energia divisa per c², e dato che c² è enorme, a una massa piccola corrisponde un'energia sterminata.

Quanta di questa energia ricava davvero un reattore nucleare?

Circa un millesimo. La fissione converte all'incirca lo 0,1 per cento della massa del combustibile in energia, quindi un chilogrammo di uranio libera intorno a 8 × 10¹³ joule invece dei 9 × 10¹⁶ che stampa questa pagina, il che resta comunque milioni di volte di più che bruciare la stessa massa di carbone. La fusione va meglio, intorno allo 0,7 per cento, ed è per questo che il combustibile del Sole dura così tanto. Le reazioni chimiche stanno molto indietro rispetto a entrambe: bruciare benzina converte circa una parte su dieci miliardi della sua massa.

Perché i chilotoni di TNT invece dei joule?

Perché nessuno ha un'idea di che cosa siano 9 × 10¹³ joule. Un chilotone di TNT è definito come 4,184 × 10¹² joule, quindi la conversione è esatta, e capita che sia anche l'unità che i telegiornali usano per le esplosioni: un grammo di materia arriva a 21,5 chilotoni, contro i circa 15 chilotoni della bomba di Hiroshima. La riga dei joule resta comunque in bella vista, per intero, perché la grandezza di quel numero è il punto dell'equazione.

La massa nell'equazione è la massa del combustibile?

Per una reazione reale no: è la massa che sparisce, cioè la massa del combustibile meno la massa di tutto ciò che resta. Nella fissione quella differenza è circa lo 0,1 per cento del combustibile, ed è quella frazione a diventare energia. Questa pagina prende la massa che digiti come convertita per intero, il che è il tetto e non quello che un reattore ottiene; se ti serve l'energia di un combustibile reale, prendi il difetto di massa e non la massa del combustibile.

Perché la riga dei terajoule mostra 0,000 per masse molto piccole?

Perché il terajoule è un'unità molto grande e la riga è mostrata con tre cifre decimali. Sotto circa 5,5 microgrammi la risposta sta sotto 0,0005 TJ e arrotonda a zero. L'energia non è sparita: leggi invece la riga dei joule, dove un microgrammo si vede ancora benissimo a 89,9 milioni di joule, più o meno l'energia contenuta in due litri e mezzo di benzina.

Calcolatrice di E = mc²

Risultato

89,876 TJ

Energia rilasciata

Energia (J): 89.875.517.873.682 J
Energia (kWh): 24.965.421,6 kWh
Energia (kt TNT): 21,481 kt TNT

Calcolatrice di E = mc²: l'equivalenza massa-energia in una riga, cioè quanta energia esce quando una massa di materia viene convertita completamente. La formula è E = m × c², dove c è la velocità della luce nel vuoto, 299.792.458 m/s, ed è al quadrato: è lì che nascono i numeri enormi. I valori predefiniti sono un grammo di materia: 89,876 terajoule, 89.875.517.873.682 joule, 24.965.421,6 chilowattora, ossia 21,481 chilotoni di TNT. Vale la pena fermarsi su quest'ultima cifra: la bomba di Hiroshima era di circa 15 chilotoni, quindi un solo grammo è di più. La riga dei joule è lasciata di proposito a quattordici cifre invece di essere nascosta nella notazione scientifica, perché la grandezza della risposta è esattamente il punto dell'equazione. La tabella di riferimento percorre la stessa formula da un milligrammo a un chilogrammo, ed è l'unica relazione che c'è su questa pagina: l'energia è proporzionale alla massa, e la costante di proporzionalità è c². Vale la pena essere chiari su che cosa questa pagina non afferma: calcola la conversione completa, che nessun processo chimico o nucleare raggiunge, e le limitazioni qui sotto dicono di quanto ciascuno resti indietro.

Energia liberata in funzione della massa, da un milligrammo a un chilogrammo

Massa (g)	Energia (TJ)	Energia (kt di TNT)
0.001	0.09	0.021
1	89.876	21.481
1000	89875.518	21480.764

Tre masse distanti un fattore mille l'una dall'altra, e tre serie di risposte distanti un fattore mille: è tutto qui il contenuto di E = mc², cioè che l'energia è proporzionale alla massa con c² come costante. Un milligrammo è un granello di polvere e vale 0,09 TJ, circa 25 megawattora, cioè la produzione giornaliera di un piccolo impianto. Un grammo vale 89,9 TJ, ossia 21,5 chilotoni, più della bomba sganciata su Hiroshima. Un chilogrammo vale 89,9 petajoule, 21,5 megatoni. Leggi le tre righe come un righello invece che come tre fatti separati: moltiplica la massa per mille e ogni colonna si moltiplica per mille, e lo schema non si piega mai. I numeri delle celle sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

E = m × c² c = 299.792.458 m/s (esatto, per definizione) 1 chilowattora = 3,6 × 10⁶ J 1 chilotone di TNT = 4,184 × 10¹² J

m: Massa in grammi — il campo accetta anche chilogrammi, tonnellate e libbre, e parte dai grammi perché un grammo è il caso che tutti chiedono
c: La velocità della luce nel vuoto, esattamente 299.792.458 m/s. Dal 1983 è un valore definito e non una misura: il metro è definito come la distanza che la luce percorre in 1/299.792.458 di secondo, quindi c non ha nessuna incertezza, e non ne ha nemmeno qualsiasi cosa calcolata a partire da essa
E: L'energia liberata, riportata in terajoule, joule, chilowattora e chilotoni di TNT. I joule sono la risposta grezza; gli altri tre sono la stessa grandezza in unità che si riesce a immaginare: una bolletta, una centrale, un telegiornale

Usa questa pagina per farti un'idea della scala dell'energia di massa: quanto darebbe un grammo se venisse annichilito, quale frazione di questo un reattore nucleare o una reazione chimica riesca davvero a estrarre, perché il difetto di massa nella fissione sia piccolo ma non trascurabile, o quanta materia serva davvero per coprire un certo fabbisogno di energia. È anche la pagina con cui chiudere le discussioni: l'equazione viene citata di continuo e quasi sempre con le unità sbagliate o con l'idea che un chilogrammo di qualunque cosa liberi 9 × 10¹⁶ joule in una centrale. Questa calcolatrice dà il tetto teorico; la domanda interessante in pratica è sempre quale frazione di quel tetto raggiunga un processo reale, e la risposta va da un decimilionesimo per la benzina che brucia a circa un millesimo per la fissione. Due abitudini rendono utile il risultato. Primo, leggi la riga dei chilotoni quando stai pensando a un'esplosione e quella dei chilowattora quando stai pensando all'elettricità, perché i joule sono troppo grandi per avere un'idea di che cosa significhino. Secondo, ricorda che la massa qui è la massa che sparisce: per una reazione reale è la differenza fra la massa del combustibile e la massa di tutto ciò che resta, non la massa del combustibile.

Esempi svolti

Un grammo di materia
1. Massa: 1 g = 0,001 kg (il calcolo si fa nel SI)
2. Energia: 0,001 × 299.792.458² = 8,9875517873681776 × 10¹³ J
3. Nell'unità di testa: 89.875.517.873.682 J = 89,876 TJ
4. Come elettricità: 89.875.517.873.682 ÷ (3,6 × 10⁶) = 24.965.421,6 kWh — 25 gigawattora
5. Come TNT: 89.875.517.873.682 ÷ (4,184 × 10¹²) = 21,481 chilotoni
Questo è il numero per cui l'equazione viene citata, ed è la riga del TNT a farlo capire: 21,5 chilotoni contro i 15 chilotoni della bomba di Hiroshima, quindi un grammo di materia è un'esplosione più grossa della prima che sia mai stata usata su una città. La riga dell'elettricità dice la stessa cosa in un'altra valuta — 25 gigawattora sono più o meno quello che una grande centrale produce in un giorno, e vengono da un grammo. Vale la pena leggere anche i joule: 89.875.517.873.682 sono quattordici cifre, e la pagina le mostra tutte di proposito, perché scrivere 9,0 × 10¹³ nasconderebbe in silenzio proprio la cosa per cui l'equazione è famosa.
Un chilogrammo, la cifra che di solito si cita
1. L'unica cosa cambiata è la massa: 1000 g invece di 1 g, un fattore mille
2. Energia: 89.875.517.873.682 × 1000 = 8,987551787368176 × 10¹⁶ J
3. Nell'unità di testa: 89.875,518 TJ
4. Come elettricità: 24.965.421.631,6 kWh — 25 terawattora
5. Come TNT: 21.480,764 chilotoni, cioè 21,5 megatoni
21,5 megatoni è la cifra che compare in ogni manuale e in ogni discussione mal posta sulle armi nucleari, e vale la pena essere precisi su che cosa significhi. Non è quello che fa un chilogrammo di uranio in un reattore — quello libera circa 8 × 10¹³ J, un millesimo di questo — e non è certo quello che fa un chilogrammo di benzina, che sta intorno a 4,6 × 10⁷ J, cioè un fattore due miliardi in meno. È quello che si otterrebbe se il chilogrammo intero venisse convertito, cosa che in pratica succede solo quando la materia incontra l'antimateria. Confronta questa riga con quella sopra e hai tutta l'equazione: la massa è cresciuta di mille volte e ogni energia è cresciuta di mille volte, perché c² è soltanto una costante.
Una libbra, per chi lavora in unità imperiali
1. 1 lb = 453,59237 g (il campo accetta i grammi, e la libbra è definita esattamente in termini di chilogrammo)
2. Energia: 0,45359237 × 299.792.458² = 4,076684915730068 × 10¹⁶ J
3. Nell'unità di testa: 40.766,849 TJ
4. Come elettricità: 11.324.124.765,9 kWh — 11,3 terawattora
5. Come TNT: 9.743,511 chilotoni — 9,7 megatoni
Una libbra di qualunque cosa, convertita per intero, sta poco sotto i dieci megatoni: un po' meno della metà della riga del chilogrammo, che è esattamente quello che ci si aspetta dato che la libbra è un po' meno di mezzo chilogrammo. È qui perché la libbra è definita esattamente in termini di chilogrammo, quindi questa è una conversione esatta e non arrotondata, e perché è il modo più rapido di controllare a occhio una cifra che qualcuno ti ha citato in unità imperiali. Niente di tutto questo dipende da quale sostanza sia quella libbra: nell'equazione non c'è chimica, nemmeno un po'.

Limiti

Questa pagina calcola la conversione completa della massa in energia, e niente nell'esperienza comune lo fa. Bruciare benzina converte circa una parte su dieci miliardi della massa del combustibile; la fissione nucleare ne converte all'incirca una parte su mille; la fusione nucleare nel Sole arriva a circa sette parti su mille. Sono tutti processi reali e tutti restano molto sotto il numero che questa pagina stampa, che è un tetto e non una previsione. L'equivalenza in TNT usa una cifra definita, 4,184 × 10⁹ joule per tonnellata, fissata nel 1948 quando si stabilì la caloria termochimica: ma gli esplosivi reali liberano un po' meno di così per tonnellata, perché non tutto il materiale reagisce e perché l'onda d'urto compie lavoro sull'aria invece che sul bersaglio. La riga dei chilowattora è una conversione di unità e niente di più: non significa che una centrale possa estrarre tanto da un grammo, ma solo che a tanti joule corrispondono tanti chilowattora. C'è un limite di visualizzazione che vale la pena conoscere: sotto circa 5,5 microgrammi la riga dei terajoule arrotonda a 0,000, quindi per masse minuscole conviene leggere i joule — l'energia c'è ancora, è solo scesa sotto la terza cifra decimale di un'unità scelta per grammi e chilogrammi. Qui non c'è niente di relativistico nel senso di dipendere dal sistema di riferimento: c² è una costante e l'equazione vale in ogni sistema, ma l'energia cinetica di un oggetto in movimento non è questa formula, e a velocità prossime a c l'energia totale di un corpo supera mc² del fattore di Lorentz.

Domande frequenti

Che cosa calcola davvero E = mc²?: L'energia equivalente a una massa: moltiplica la massa in chilogrammi per il quadrato della velocità della luce, 299.792.458 m/s. Un grammo dà 0,001 × 299.792.458² = 8,99 × 10¹³ joule, cioè 89,9 terajoule oppure 21,5 chilotoni di TNT. È l'energia totale racchiusa nella massa, non quella che un particolare processo libererà: vedi qui sotto quale frazione estraggano le reazioni reali.
Perché la velocità della luce è elevata al quadrato?: Perché è quello che dà la derivazione, e la ragione per cui il risultato è così grande è che c è già grande e l'elevamento al quadrato lo ingrandisce ancora: 299.792.458² fa circa 9 × 10¹⁶. Nel testo originale del 1905 l'equazione compare come m = E/c², che si legge più naturalmente: l'inerzia di un corpo è la sua energia divisa per c², e dato che c² è enorme, a una massa piccola corrisponde un'energia sterminata.
Quanta di questa energia ricava davvero un reattore nucleare?: Circa un millesimo. La fissione converte all'incirca lo 0,1 per cento della massa del combustibile in energia, quindi un chilogrammo di uranio libera intorno a 8 × 10¹³ joule invece dei 9 × 10¹⁶ che stampa questa pagina, il che resta comunque milioni di volte di più che bruciare la stessa massa di carbone. La fusione va meglio, intorno allo 0,7 per cento, ed è per questo che il combustibile del Sole dura così tanto. Le reazioni chimiche stanno molto indietro rispetto a entrambe: bruciare benzina converte circa una parte su dieci miliardi della sua massa.
Perché i chilotoni di TNT invece dei joule?: Perché nessuno ha un'idea di che cosa siano 9 × 10¹³ joule. Un chilotone di TNT è definito come 4,184 × 10¹² joule, quindi la conversione è esatta, e capita che sia anche l'unità che i telegiornali usano per le esplosioni: un grammo di materia arriva a 21,5 chilotoni, contro i circa 15 chilotoni della bomba di Hiroshima. La riga dei joule resta comunque in bella vista, per intero, perché la grandezza di quel numero è il punto dell'equazione.
La massa nell'equazione è la massa del combustibile?: Per una reazione reale no: è la massa che sparisce, cioè la massa del combustibile meno la massa di tutto ciò che resta. Nella fissione quella differenza è circa lo 0,1 per cento del combustibile, ed è quella frazione a diventare energia. Questa pagina prende la massa che digiti come convertita per intero, il che è il tetto e non quello che un reattore ottiene; se ti serve l'energia di un combustibile reale, prendi il difetto di massa e non la massa del combustibile.
Perché la riga dei terajoule mostra 0,000 per masse molto piccole?: Perché il terajoule è un'unità molto grande e la riga è mostrata con tre cifre decimali. Sotto circa 5,5 microgrammi la risposta sta sotto 0,0005 TJ e arrotonda a zero. L'energia non è sparita: leggi invece la riga dei joule, dove un microgrammo si vede ancora benissimo a 89,9 milioni di joule, più o meno l'energia contenuta in due litri e mezzo di benzina.

Riferimenti

Mass–energy equivalence — the derivation, the mass defect in fission and fusion, and the fractions of rest mass that real processes actually convert — Wikipedia
TNT equivalent — the 4.184 × 10⁹ J per tonne convention, its origin in the thermochemical calorie, and why real explosives fall short of it — Wikipedia
NIST Guide to the SI — the metre as defined by the speed of light, and the exact kilogram, pound and joule factors used above — National Institute of Standards and Technology

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'energia cineticaEnergia cinetica a partire da massa e velocità.Calcolatrice dell'energia potenzialeEnergia potenziale gravitazionale da massa e altezza.Calcolatrice della dilatazione del tempoDilatazione del tempo da velocità e fattore di Lorentz.Convertitore da joule a wattConverte joule in watt dato un intervallo di tempo.