Calcolatrice dell'energia potenziale

energia potenziale = massa × accelerazione di gravità × altezza del sollevamento

m

La massa che viene sollevata, in chilogrammi, con grammi, tonnellate e libbre nello stesso campo. Scala l'energia in linea retta: doppia la massa, doppi i joule, per qualunque altezza. Non compare invece per niente nella velocità di caduta, ed è l'unico punto di questa pagina in cui la massa esce dai conti: vale la pena notarlo

h

Di quanto l'oggetto viene sollevato, in metri, piedi, centimetri o pollici. È una differenza e non un'altitudine: portare una scatola dal primo al terzo piano fa valere h il dislivello di due piani, circa sei metri, non l'altezza sul livello del mare né la distanza dal centro della Terra. Lo zero è ammesso ed è una lettura vera: nessun sollevamento, nessuna energia immagazzinata

g

L'accelerazione di gravità dove avviene il sollevamento, in m/s², in ft/s² oppure come multiplo della gravità standard. È il campo che rende la pagina interessante: parte da 9,80665 e la tabella accanto alla calcolatrice elenca sei corpi, così il valore si può copiare direttamente. Gli 1,62 della Luna sono un sesto di quelli terrestri, quindi lo stesso sollevamento immagazzina un sesto dell'energia; i 274 del Sole sono ventotto volte quelli terrestri, e una persona da 70 kg laggiù peserebbe 19,2 kN

U

L'energia immagazzinata, in joule come riga principale, con kilojoule e piedi-libbra sotto per chi lavora nell'uno o nell'altro sistema. È il lavoro che la gravità restituirà quando l'oggetto scende, e il lavoro che hai speso per sollevarlo: è per questo che si chiama energia potenziale gravitazionale e non semplicemente potenziale. Sulla Terra una persona da 70 kg sollevata di 2 m immagazzina 1372,93 J, circa un terzo di una caloria alimentare

√(2gh)

La velocità che l'oggetto raggiungerebbe se venisse lasciato cadere da quell'altezza — la sua velocità di impatto — in m/s. È la stessa energia vista dall'altro capo: tutta la U immagazzinata diventa energia cinetica lungo la discesa, e dato che entrambi i membri di ½mv² = mgh portano una m, la massa si semplifica e la risposta dipende solo dall'altezza e dalla gravità. Sollevare un oggetto al doppio dell'altezza lo fa atterrare a 1,41 volte la velocità, non al doppio

Usa questa pagina quando ti serve sapere quanto costa un sollevamento o quanto consegna una caduta: dimensionare un paranco o un motore per una gru, calcolare l'energia di un bacino idroelettrico di pompaggio o di un orologio a pesi, confrontare quanto deve fornire una batteria per sollevare un carico, o rispondere alla domanda di scuola su dove finisca l'energia di una palla tenuta sollevata da terra. Il campo della gravità è ciò che distingue questa pagina da una semplice moltiplicazione mgh: mettilo a 1,62 e lo stesso sollevamento costa un sesto, che è tutto il motivo per cui la pianificazione delle missioni lunari e marziane tiene a questo numero. Il secondo motivo per aprirla è la velocità di caduta: se hai un'altezza e vuoi sapere con quanto atterra qualcosa, la massa che magari non conosci non conta.

1. I valori predefiniti: 70 kg sollevati di 2 m sulla Terra

   1. Massa 70 kg, altezza 2 m, gravità 9,80665 m/s²
   2. Energia: U = m × g × h = 70 × 9,80665 × 2 = 1372,931 J, che si stampa come 1372,93 J
   3. In kilojoule: 1372,931 ÷ 1000 = 1,372931, che si stampa come 1,3729 kJ
   4. In piedi-libbra: 1372,931 ÷ 1,3558179483 = 1012,6219, che si stampa come 1012,62 ft·lb
   5. Velocità di caduta: √(2 × 9,80665 × 2) = √39,2266 = 6,2631, che si stampa come 6,26 m/s
   6. Controllo sull'ultima riga: ½ × 70 × 6,2631² = 1372,9 J — la velocità di caduta è la stessa energia, non un fatto separato

   L'energia è circa un terzo di una caloria alimentare, ed è la scala utile da tenere in testa: sollevare una persona di un piano costa all'incirca un terzo di caloria di lavoro meccanico, e il tuo corpo ne spende diverse volte tanto perché i muscoli non sono efficienti al cento per cento. L'ultimo passaggio è il motivo per cui la velocità di caduta appartiene a questa pagina. Non è una formula in più appiccicata sopra: sono gli stessi 1372,93 J scritti come moto invece che come altezza, e il controllo lo conferma. Nota anche che cosa non contiene la velocità di caduta: la massa. Lascia cadere una persona da 70 kg e una borsa da 1 kg da 2 m e toccano terra entrambe a 6,26 m/s: è per questo che l'altezza di una caduta ti dice la velocità di atterraggio e il peso ti dice solo i danni.

2. Una bottiglia d'acqua sollevata su una scrivania: 1 kg, 1 m

   1. Massa 1 kg, altezza 1 m, gravità 9,80665 m/s²
   2. Energia: U = 1 × 9,80665 × 1 = 9,80665 J, che si stampa come 9,81 J
   3. In kilojoule: 0,00980665, che si stampa come 0,0098 kJ — quattro decimali, non due
   4. In piedi-libbra: 9,80665 ÷ 1,3558179483 = 7,2330, che si stampa come 7,23 ft·lb
   5. Velocità di caduta: √(2 × 9,80665 × 1) = √19,6133 = 4,4287, che si stampa come 4,43 m/s

   È la riga che spiega perché il risultato in kilojoule tiene quattro decimali invece di due. A questa scala la riga a due decimali leggerebbe 0,01 kJ, che è insieme sbagliata nella seconda cifra e incoerente con la riga in joule stampata accanto: 9,81 J sono 0,00981 kJ, e il pannello lo dice. Anche la velocità di caduta merita un secondo sguardo: 4,43 m/s sono circa 16 km/h, cioè una corsa sostenuta, ed è quello che raggiunge una bottiglia cadendo da un ripiano alto come una scrivania. Altezze piccole danno energie piccole, e la radice quadrata fa sì che diano velocità meno piccole di quanto ci si aspetterebbe.

3. Lo stesso sollevamento sulla Luna: 70 kg, 2 m, g = 1,62

   1. Massa 70 kg, altezza 2 m, gravità 1,62 m/s² — la Luna
   2. Energia: U = 70 × 1,62 × 2 = 226,8 J, esattamente un sesto dei 1372,93 J che costa sulla Terra
   3. In kilojoule: 0,2268, che si stampa come 0,2268 kJ
   4. In piedi-libbra: 226,8 ÷ 1,3558179483 = 167,2791, che si stampa come 167,28 ft·lb
   5. Velocità di caduta: √(2 × 1,62 × 2) = √6,48 = 2,5456, che si stampa come 2,55 m/s

   Ogni riga si riduce del rapporto tra le due gravità, 1,62 ÷ 9,80665 = 0,1652, e quel rapporto è tutto il senso di rendere la gravità un ingresso invece di scrivere 9,81 dentro la formula. Anche la velocità di caduta si riduce, ma della radice quadrata di quel rapporto invece che del rapporto stesso: 6,2631 × √0,1652 = 2,5456, che si stampa come 2,55. E quella differenza tra una risposta lineare e una risposta con radice quadrata vale la pena notarla. Un astronauta nei filmati dell'Apollo procede a saltelli invece che a passi proprio per questo: la stessa spinta delle gambe che sulla Terra lo solleva di 20 cm qui lo solleva di 1,2 m, e atterrare da quell'altezza è più lento e più morbido.

L'altezza è una differenza tra due livelli, quindi la risposta è l'energia di quel particolare sollevamento e non l'energia totale che un oggetto possiede per la sua posizione: il livello di riferimento è dove decidi tu. La gravità è costante per tutto il sollevamento, esatta su un edificio e sbagliata su una distanza confrontabile con il raggio di un pianeta. Qui non c'è nulla che copra il moto laterale: l'oggetto parte e arriva fermo. La resistenza dell'aria è ignorata nel calcolo della velocità di caduta, insieme alla rotazione terrestre e alla spinta idrostatica dell'aria.

Qual è la formula mgh dell'energia potenziale?

U = m × g × h: massa per accelerazione di gravità per altezza del sollevamento. Una persona da 70 kg sollevata di 2 m sulla Terra immagazzina 70 × 9,80665 × 2 = 1372,93 J. La formula è una moltiplicazione sola, ed è per questo che la parte interessante di questa pagina non è l'aritmetica ma le due cose che ti lascia variare: la gravità, che trasforma lo stesso sollevamento in un sesto dell'energia sulla Luna, e l'altezza, che è una differenza tra due livelli e non un'altitudine.

Perché la velocità di impatto non dipende dalla massa?

Perché la massa compare da entrambe le parti del bilancio energetico e si semplifica. La caduta converte energia immagazzinata in energia cinetica, quindi m × g × h = ½ × m × v², e dividendo entrambi i membri per m resta g × h = ½v², che riordinata dà v = √(2gh). Una persona da 70 kg e una borsa da 1 kg lasciate cadere da 2 m atterrano entrambe a 6,26 m/s. Gli oggetti più pesanti portano più energia — sono i 1372,93 J — ma hanno anche bisogno di più energia per essere accelerati, e i due effetti si annullano esattamente.

Che cosa fa il sollevare un oggetto al doppio dell'altezza?

Raddoppia l'energia immagazzinata ma moltiplica la velocità di caduta solo per 1,41, la radice quadrata di due. Passare da 2 m a 4 m porta un sollevamento da 70 kg da 1372,93 J a 2745,86 J, mentre la velocità di atterraggio passa da 6,26 m/s a 8,86 m/s invece che a 12,5. Vale la pena interiorizzarlo, perché è la stessa relazione che fa crescere lo spazio di frenata con il quadrato della velocità: l'energia segue l'altezza, e la velocità segue soltanto la sua radice quadrata.

Quale valore di gravità superficiale uso per la Luna o per Marte?

La tabella accanto alla calcolatrice li elenca entrambi: la Luna è 1,62 m/s² e Marte 3,71, contro i 9,80665 definiti per la Terra. Sono medie superficiali e variano di circa l'uno per cento da un punto all'altro di ciascun corpo, molto meno delle differenze tra i corpi, quindi sono i valori giusti per dimensionare una missione. Giove è elencato a 24,79 m/s², ma attenzione: la sua superficie è il livello di pressione di 1 bar e non un suolo solido, e i 274 del Sole sono la fotosfera: una persona da 70 kg laggiù peserebbe 19,2 kN.

L'energia potenziale è la stessa cosa dell'energia cinetica?

Sono la stessa grandezza in due forme, e la seconda metà di questa pagina è il tasso di cambio. L'energia immagazzinata per via dell'altezza viene rilasciata come energia di movimento lungo la discesa, quindi i 1372,93 J di un sollevamento di 70 kg a 2 m diventano 1372,93 J di energia cinetica nell'istante prima dell'atterraggio, che sono esattamente i 6,26 m/s riportati dalla pagina. La calcolatrice dell'energia cinetica parte dall'altro capo e dà l'altezza necessaria per una data velocità: le due pagine sono inverse l'una dell'altra, non doppioni.

• Gravitational Potential Energy (College Physics 2e, §7.3) — U = mgh, the choice of reference level, and the conversion between stored energy and falling speed — OpenStax
• Gravitational energy — the mgh form, its limits, and why the mass cancels out of the impact speed — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST