Qual è la formula dell'energia potenziale elastica?

E = ½kx², dove k è la costante elastica in newton per metro e x è lo spostamento in metri. Il mezzo c'è perché la forza cresce da zero fino a kx mentre la molla si muove, quindi la forza media sull'intero spostamento vale solo metà del valore finale. Una molla da 1 lbf/in tirata di 2 pollici immagazzina 0,226 J, e qui sopra trovi tutti i passaggi se vuoi rifare il conto a mano.

Perché lo spostamento è al quadrato e non semplicemente moltiplicato?

Perché il lavoro fatto sulla molla è la forza per la distanza, e la forza non è costante: è zero all'inizio e kx alla fine, quindi la media è ½kx e il lavoro è ½kx moltiplicato per x. La conseguenza pratica è che il doppio dello spostamento dà quattro volte l'energia ma solo due volte la forza elastica: è per questo che l'ultima parte di una compressione è quella difficile e che una balestra si valuta dall'energia immagazzinata invece che dal carico di trazione.

Che cos'è la costante elastica e come si misura?

È la forza necessaria a spostare la molla di un'unità di lunghezza, quindi si misura in N/m — oppure in N/mm e lbf/in, che il campo accetta entrambi. Si misura appendendo alla molla un peso noto, annotando di quanto si allunga e dividendo: una molla che si allunga di 4 cm sotto 8 N ha k = 8 ÷ 0,04 = 200 N/m. Una molla da sospensione d'auto sta intorno ai 30 N/mm, cioè 30.000 N/m, mentre una molla leggera da laboratorio è più vicina a 100 N/m.

L'energia è la stessa in compressione e in trazione?

Sì, purché la molla sia simmetrica, e la maggior parte delle molle a elica lo è. La formula usa x², quindi una compressione di 5 cm e un allungamento di 5 cm immagazzinano entrambi ½ × k × 0,0025 J. Le molle reali non sono perfettamente simmetriche — una molla a elica può sbandare se compressa troppo, e una molla con una spira ausiliaria è molto più rigida in una direzione che nell'altra — quindi l'uguaglianza vale nel campo di lavoro, non fino ai finecorsa.

Quanta energia contiene una molla completamente compressa?

Prendi lo spostamento a fondo corsa e applica ½kx². Una molla da sospensione da 30 N/mm compressa di 10 cm contiene 150 J; la stessa molla a 20 cm ne contiene 600 J, quattro volte tanto per il doppio della corsa. Controlla però dove finisce davvero la corsa: una volta che le spire si toccano, la molla smette di comportarsi da molla e la formula non descrive più quello che sta succedendo.

Come si converte una rigidezza da lbf/in a N/m?

Moltiplica per 175,127: è una libbra-forza (4,448222 N) divisa per un pollice (0,0254 m). Quindi una molla da 180 lbf/in è 31.522,83 N/m, e una da 300 lbf/in è 52.538,05 N/m. Entrambi i fattori sono esatti per definizione, quindi la conversione non aggiunge errore; se il tuo valore sballa di circa 9,8 volte hai probabilmente usato libbre-massa al posto delle libbre-forza.

Calcolatrice energia potenziale elastica

Risultato

0,500 J

Energia potenziale elastica

Forza elastica: 10,00 N
Energia potenziale elastica (ft·lb): 0,369 ft·lb

Calcolatrice dell'energia potenziale elastica: quanta energia è immagazzinata in una molla quando la si allunga o la si comprime, a partire dalla sua rigidezza e da quanto la si sposta. La formula dell'energia potenziale elastica è ½kx², dove k è la costante elastica e x è lo spostamento: la parte da leggere con calma è il quadrato. Raddoppiando di quanto si tira una molla l'energia quadruplica, mentre la forza che si contrasta raddoppia soltanto. È per questo che una balestra si carica lentamente e che la molla di una serranda resta pericolosa anche quando sembra scarica: l'energia sta nell'ultimo centimetro, non nel primo. La stessa relazione si legge al contrario nella legge di Hooke, F = kx, che è la seconda riga del risultato: la forza con cui la molla tira a quello spostamento. Gli esempi svolti qui sotto coprono una molla leggera, una sospensione d'auto e il raddoppio che mostra il quadrato al lavoro, mentre la tabella di riferimento elenca l'energia immagazzinata in una molla da 100 N/m al crescere dell'allungamento.

Energia immagazzinata in una molla da 100 N/m al crescere dell'allungamento

Spostamento (cm)	Forza elastica (N)	Energia immagazzinata (J)
1	1	0.005
2	2	0.02
5	5	0.125
10	10	0.5
20	20	2

Due cose da leggere con attenzione. La prima: le celle numeriche sono stampate con il punto come separatore decimale — 0.125 e 0.005, non 0,125 e 0,005 — perché i valori li calcola la pagina e restano nella forma tecnica; qui nel testo intorno, invece, i decimali portano la virgola. La seconda: le due colonne di destra crescono con ritmi diversi. La forza è proporzionale allo spostamento e raddoppia quando lo spostamento raddoppia; l'energia è proporzionale al quadrato e quadruplica. Tutte le righe si riferiscono alla stessa molla da 100 N/m, quindi i rapporti tra le righe sono fisica, non un cambio di molla: a 20 cm la forza è 20 N e l'energia è 2 J, quattrocento volte i 0.005 J del primo centimetro.

Formula

energia potenziale elastica = ½ × costante elastica × spostamento² forza elastica = costante elastica × spostamento

k: Costante elastica (rigidezza) in newton per metro — il campo accetta anche kN/m, N/mm e lbf/in. È la forza necessaria a spostare la molla di un'unità, quindi una molla rigida ha una k grande
x: Spostamento in centimetri — di quanto la molla si è allungata o compressa rispetto alla sua lunghezza a riposo, misurato nell'unità predefinita del campo. Il segno non conta: l'energia è la stessa in trazione e in compressione
E: Energia potenziale elastica in joule, cioè il lavoro compiuto per deformare la molla; la terza riga del risultato dà la stessa energia in piedi per libbra
F: Forza elastica in newton, dalla legge di Hooke, F = kx — la forza alla posizione di massimo allungamento, non la media lungo la corsa

Usa questa pagina quando c'è di mezzo una molla, un elastico, un arco, un tappeto elastico o una sospensione e ti serve sapere quanta energia è immagazzinata o con quanta forza tira. Le due domande che tornano più spesso sono dimensionare una molla per una data energia — un lanciatore, un contrappeso, un meccanismo da porta — e capire cosa succede se cede. Due abitudini rendono i risultati più utili. Prima: controlla l'unità dello spostamento prima di fidarti del numero, perché il campo parte dai centimetri e un valore pensato come 10 mm inserito come 10 cm vale cento volte l'energia. Seconda: ricorda che l'energia cresce con il quadrato dello spostamento mentre la forza è solo lineare, quindi l'ultima parte di una compressione contiene quasi tutta l'energia — una molla compressa al 90 per cento ha immagazzinato solo l'81 per cento, e l'ultimo decimo aggiunge il quinto rimanente.

Esempi svolti

Una molla da 1 lbf/in tirata di 2 pollici
1. 1 lbf/in = 175,127 N/m (il campo della rigidezza accetta N/m, quindi la molla in libbre per pollice entra come questo valore)
2. Spostamento: 2 in = 5,08 cm
3. Forza elastica: 175,127 × 0,0508 = 8,90 N, che sono le 2 lbf che sentiresti all'estremità
4. Spostamento al quadrato: 0,0508 × 0,0508 = 0,002581
5. Energia: ½ × 175,127 × 0,002581 = 0,226 J
6. Nell'altra unità: 0,226 ÷ 1,3558179 = 0,167 ft·lb
È la riga da 2 pollici della tabella di riferimento, e i numeri sono volutamente piccoli: una molla leggera tirata di un paio di pollici contiene un quinto di joule, più o meno l'energia di una mela lasciata cadere. La parte interessante è il rapporto tra le due uscite: la forza è 2 lbf e l'energia è 0,167 ft·lb, quindi la molla è stata spostata di 2/12 di piede contro una forza che in media valeva 1 lbf. L'energia è forza per distanza, e qui la forza non era costante — è passata da zero a 2 — ed è esattamente da lì che viene il mezzo in ½kx².
Una molla da sospensione da 180 lbf/in compressa di 3 pollici
1. 180 lbf/in = 31.522,830 N/m
2. Spostamento: 3 in = 7,62 cm
3. Forza elastica: 31.522,830 × 0,0762 = 2402,04 N, cioè circa 540 lbf
4. Spostamento al quadrato: 0,0762 × 0,0762 = 0,005806
5. Energia: ½ × 31.522,830 × 0,005806 = 91,518 J
6. Nell'altra unità: 67,5 ft·lb
Una molla d'auto vera, e il numero da portare a casa è la forza: 540 lbf su quell'angolo, che per una vettura da 1500 kg è circa un sesto del peso del veicolo a questa compressione. Nota anche che 91,5 J sono meno dell'energia cinetica di una palla lanciata: le molle non sono energetiche perché sono rigide, lo sono perché si spostano di molto. Una molla da sospensione lavora per tre pollici, un arco per due piedi, ed è lì che sta la sua energia.
La stessa molla a 6 pollici — il doppio della corsa
1. Spostamento: 6 in = 15,24 cm, il doppio dell'esempio precedente
2. Forza elastica: 31.522,830 × 0,1524 = 4804,08 N, esattamente il doppio — la legge di Hooke è lineare
3. Spostamento al quadrato: 0,1524 × 0,1524 = 0,023226, che è quattro volte il 0,005806 di sopra
4. Energia: ½ × 31.522,830 × 0,023226 = 366,071 J, esattamente quattro volte i 91,518 J di sopra
5. Nell'altra unità: 270 ft·lb
Metti questo esempio accanto al precedente e tutta la pagina sta nei due rapporti. Il doppio della compressione dà il doppio della forza e il quadruplo dell'energia. È il motivo per cui una molla che sembra gestibile nel primo pollice può diventare davvero pericolosa al quarto, e il motivo per cui un arco si valuta dall'energia che immagazzina invece che dal picco di trazione: la trazione è la parte lineare, l'energia è il quadrato.

Limiti

Questa è la legge di Hooke, che vale finché la molla si comporta elasticamente. Porta una molla reale oltre il suo limite di snervamento e la forza smette di essere proporzionale allo spostamento; portala a fondo corsa e le spire si toccano, punto in cui la rigidezza cambia del tutto e la ½kx² qui sopra sovrastima l'energia. Non ci sono smorzamento, isteresi né massa: una molla reale perde un po' di energia per attrito interno a ogni ciclo, e una molla con massa ha una sua energia cinetica mentre si muove. La pagina non modella una molla precaricata — una molla di valvola, una molla dietro un bullone — dove l'energia immagazzinata è la differenza tra due stati e non il totale rispetto a uno spostamento nullo, quindi il numero che dà è l'energia a partire dalla lunghezza a riposo. Presuppone che tutta la molla si muova della stessa quantità: una molla conica, una serie di due molle diverse, o qualunque cosa in cui le spire non si dividano lo spostamento allo stesso modo non è descritta da una sola k. È anche statica: non dice nulla sull'oscillazione che segue al rilascio, che richiede anche la massa e appartiene a un'altra pagina. Infine non si occupa di quanto di quell'energia sarà recuperabile — gli stessi 366 J possono lanciare un proiettile o finire semplicemente in calore in uno smorzatore — e presuppone che lo spostamento sia misurato lungo l'asse della molla, non in diagonale.

Domande frequenti

Qual è la formula dell'energia potenziale elastica?: E = ½kx², dove k è la costante elastica in newton per metro e x è lo spostamento in metri. Il mezzo c'è perché la forza cresce da zero fino a kx mentre la molla si muove, quindi la forza media sull'intero spostamento vale solo metà del valore finale. Una molla da 1 lbf/in tirata di 2 pollici immagazzina 0,226 J, e qui sopra trovi tutti i passaggi se vuoi rifare il conto a mano.
Perché lo spostamento è al quadrato e non semplicemente moltiplicato?: Perché il lavoro fatto sulla molla è la forza per la distanza, e la forza non è costante: è zero all'inizio e kx alla fine, quindi la media è ½kx e il lavoro è ½kx moltiplicato per x. La conseguenza pratica è che il doppio dello spostamento dà quattro volte l'energia ma solo due volte la forza elastica: è per questo che l'ultima parte di una compressione è quella difficile e che una balestra si valuta dall'energia immagazzinata invece che dal carico di trazione.
Che cos'è la costante elastica e come si misura?: È la forza necessaria a spostare la molla di un'unità di lunghezza, quindi si misura in N/m — oppure in N/mm e lbf/in, che il campo accetta entrambi. Si misura appendendo alla molla un peso noto, annotando di quanto si allunga e dividendo: una molla che si allunga di 4 cm sotto 8 N ha k = 8 ÷ 0,04 = 200 N/m. Una molla da sospensione d'auto sta intorno ai 30 N/mm, cioè 30.000 N/m, mentre una molla leggera da laboratorio è più vicina a 100 N/m.
L'energia è la stessa in compressione e in trazione?: Sì, purché la molla sia simmetrica, e la maggior parte delle molle a elica lo è. La formula usa x², quindi una compressione di 5 cm e un allungamento di 5 cm immagazzinano entrambi ½ × k × 0,0025 J. Le molle reali non sono perfettamente simmetriche — una molla a elica può sbandare se compressa troppo, e una molla con una spira ausiliaria è molto più rigida in una direzione che nell'altra — quindi l'uguaglianza vale nel campo di lavoro, non fino ai finecorsa.
Quanta energia contiene una molla completamente compressa?: Prendi lo spostamento a fondo corsa e applica ½kx². Una molla da sospensione da 30 N/mm compressa di 10 cm contiene 150 J; la stessa molla a 20 cm ne contiene 600 J, quattro volte tanto per il doppio della corsa. Controlla però dove finisce davvero la corsa: una volta che le spire si toccano, la molla smette di comportarsi da molla e la formula non descrive più quello che sta succedendo.
Come si converte una rigidezza da lbf/in a N/m?: Moltiplica per 175,127: è una libbra-forza (4,448222 N) divisa per un pollice (0,0254 m). Quindi una molla da 180 lbf/in è 31.522,83 N/m, e una da 300 lbf/in è 52.538,05 N/m. Entrambi i fattori sono esatti per definizione, quindi la conversione non aggiunge errore; se il tuo valore sballa di circa 9,8 volte hai probabilmente usato libbre-massa al posto delle libbre-forza.

Riferimenti

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