Calcolatrice della velocità limite

velocità limite = √( 2 × massa × g ÷ ( densità del fluido × area frontale × coefficiente di resistenza ) ) forza di resistenza = massa × g

m

La massa dell'oggetto che cade, in chilogrammi — il campo accetta anche libbre, grammi e tonnellate. Entra al numeratore sotto radice, quindi la sua influenza è debole: raddoppiarla moltiplica la velocità limite per 1,41 soltanto. È il motivo per cui un paracadutista più pesante scende appena più veloce di uno leggero, e non il doppio

g

Gravità standard, 9,80665 m/s² — il valore usato in tutta la pagina. La pagina riguarda la caduta vicino alla superficie terrestre, non su Marte o sulla Luna: se ti serve la gravità di un altro corpo, quella è una pagina diversa, e questa qui la considera costante lungo tutta la caduta perché a queste distanze lo è

ρ

La densità del fluido in cui si cade, in kg/m³ — 1,225 per l'aria a livello del mare e a 15 °C, 1,025 per l'acqua di mare. Il campo accetta anche g/cm³ e lb/ft³. È l'ingresso che spiega perché la stessa persona che scende a 196 km/h in aria entra in acqua a circa 6,5 km/h: la densità passa da 1,225 a 1,025, e la velocità limite va con la radice quadrata del suo reciproco

A

L'area frontale in metri quadrati — la sagoma che l'oggetto presenta al flusso, cioè quanto materiale deve spostare per avanzare. Per una persona è tutta la differenza tra i 196 km/h a pancia in giù e i 340 km/h a testa in giù: la massa non cambia, cambia solo la sagoma. Il campo accetta anche piedi quadrati e centimetri quadrati

Cd

Il coefficiente di resistenza, adimensionale — quanto è tozza la forma. Vale circa 1,28 per una piastra piana investita dal flusso e 0,3 per un'auto; la tabella di riferimento ne dà sei. Non è una costante nemmeno per una forma fissa, perché dipende dal numero di Reynolds, quindi va trattato come un ordine di grandezza e non come un decimale da ricordare: una sfera liscia scende da circa 0,5 a bassa velocità verso 0,1 ad alta velocità, ed è esattamente quell'effetto che le fossette di una pallina da golf sfruttano

Usa questa pagina ogni volta che qualcosa cade abbastanza a lungo perché l'aria conti: un paracadutista, un paracadute, una grandine, un drone, un attrezzo lasciato cadere, una palla. Risponde alle due domande a cui la formula della caduta libera non sa rispondere: quanto veloce arriva davvero l'oggetto e se è abbastanza veloce da essere pericoloso. La caduta libera continua a predire sempre più velocità, cosa che smette di essere vera dopo pochi secondi in aria; questa pagina dà il tetto invece. Due abitudini rendono le risposte più utili. Prima: azzecca l'area frontale, perché è l'ingresso che si indovina peggio ed è quello da cui la velocità dipende più sensibilmente — una persona la cambia di un fattore tre solo cambiando postura, e quello è un fattore 1,7 sulla velocità. Seconda: tratta il coefficiente di resistenza per il numero approssimativo che è, e vai sulla tabella di riferimento invece di fidarti di un decimale ricordato male — il Cd di una sfera si sposta da 0,47 a circa 0,1 con il numero di Reynolds, che è poi l'effetto che le fossette di una pallina da golf sfruttano di proposito.

1. Un paracadutista da 200 lb, a pancia in giù

   1. 200 lb = 90,718 kg; 7,5 ft² = 0,696773 m²
   2. Il numeratore: 2 × 90,718 × 9,80665 = 1779,29
   3. Il denominatore: 1,225 × 0,696773 × 0,7 = 0,597374
   4. La divisione: 1779,29 ÷ 0,597374 = 2978,5
   5. La radice: √2978,5 = 54,576, che si stampa come 54,6 m/s
   6. In chilometri orari: 54,576 × 3,6 = 196,5 km/h, cioè 122,1 mph
   7. La forza di resistenza a quel punto: 90,718 × 9,80665 = 889,64 N — uguale al peso, come deve essere

   L'ultimo passaggio è la definizione stessa di velocità limite e vale la pena leggerlo per intero: la resistenza è cresciuta fino a valere esattamente il peso, quindi l'accelerazione netta è zero e la velocità smette di cambiare. Sono gli stessi 889,64 N in tutte e tre le configurazioni della pagina, perché il peso non dipende dalla postura. Il numero che cambia è solo la velocità. E una nota di onestà sui 196 km/h: la velocità di caduta misurata di un paracadutista a pancia in giù sta intorno ai 190 km/h, quindi la pagina è dentro il tre per cento. Lo scarto sta tutto in che cosa si è messo in Cd e in A, ed è il motivo per cui quei due campi vanno trattati come stime.

2. Lo stesso paracadutista, a testa in giù

   1. Stessa massa e stesso Cd, area frontale 2,5 ft² = 0,232258 m²
   2. Il denominatore scende a 1,225 × 0,232258 × 0,7 = 0,199161
   3. La divisione: 1779,29 ÷ 0,199161 = 8933,9
   4. La radice: √8933,9 = 94,519, che si stampa come 94,5 m/s
   5. In chilometri orari: 94,519 × 3,6 = 340,3 km/h, cioè 211,4 mph
   6. Verifica sul rapporto: l'area è scesa di un fattore 3, e la velocità è salita di √3 = 1,732 — 54,576 × 1,732 = 94,5

   Questo esempio è il motivo per cui la pagina chiede l'area frontale invece di limitarsi al peso, ed è il confronto da fare una volta sola per non dimenticarlo più. La massa non è cambiata di un grammo e la forza di resistenza è identica, ma la velocità è passata da 196 a 340 km/h solo perché la sagoma si è rimpicciolita di tre volte. La relazione passa per la radice quadrata, quindi ridurre l'area di tre volte moltiplica la velocità per 1,73 e non per 3: è la stessa matematica delle altre pagine di questo gruppo, dove la risposta si muove sempre meno dell'ingresso. Duecento all'ora a testa in giù sono una velocità da incidente stradale, e i paracadutisti la usano solo nelle gare di velocità e per pochi secondi.

3. Lo stesso paracadutista sotto una calotta da 540 piedi quadrati

   1. Stessa massa, ma l'area frontale è quella della calotta aperta: 540 ft² = 50,1676 m²
   2. Il denominatore: 1,225 × 50,1676 × 1,42 = 87,266
   3. La divisione: 1779,29 ÷ 87,266 = 20,389
   4. La radice: √20,389 = 4,5154, che si stampa come 4,5 m/s
   5. In chilometri orari: 4,5154 × 3,6 = 16,3 km/h, cioè 10,1 mph
   6. Confronto con la caduta a pancia in giù: la velocità è scesa di un fattore 12,1

   Dieci miglia all'ora sono un passo dal marciapiede e non una caduta, ed è tutto quello che serve sapere su come funziona un paracadute: non rallenta niente, cambia l'area su cui la resistenza agisce e lascia che la formula faccia il resto. Il fattore 12,1 è quello che serve per atterrare interi, e la massa è sempre la stessa in tutti e tre gli esempi — solo che qui il denominatore è cresciuto di 146 volte rispetto alla caduta a testa in giù. Nota anche il Cd di 1,42: una calotta è deliberatamente l'oggetto meno aerodinamico dell'elenco, perché il suo scopo è proprio quello di essere un freno e non un'ala.

La formula presuppone che la forza di resistenza cresca con il quadrato della velocità, il che è una buona approssimazione ad alti numeri di Reynolds e una cattiva a bassi: per un oggetto molto piccolo o molto lento — un granello di polvere, una cellula che sedimenta, un palloncino — la resistenza è più vicina a essere lineare nella velocità e la velocità limite reale sarà diversa da quella che dice questa pagina. Il coefficiente di resistenza non è una costante nemmeno per una forma fissa; dipende dal numero di Reynolds, quindi lo 0,47 della sfera è il valore per una sfera liscia su un certo intervallo e scende verso 0,1 alle velocità più alte, che è l'effetto che le fossette di una pallina da golf inducono di proposito. La pagina non dice nulla sull'avvicinamento alla velocità limite: dà il tetto, non il tempo per raggiungerlo, e i primi secondi di una caduta sono davvero descritti dalla formula della caduta libera. Presuppone che il fluido sia fermo e uniforme, quindi vento, termiche, una caduta attraverso le nuvole o una discesa in aria più densa vicino al suolo restano fuori — il campo della densità è un numero solo e non un profilo. Presuppone che l'oggetto non ruoti, non oscilli e non cambi forma, il che per una persona significa presupporre una postura tenuta; un corpo che comincia a girare è un problema diverso. Ignora la spinta di Archimede, che conta per qualsiasi cosa sia abbastanza leggera da galleggiare nel fluido, e ignora la comprimibilità dell'aria al di sopra di circa 100 m/s, dove i numeri di questa pagina cominciano a sovrastimare la resistenza. Infine è un calcolo a un solo corpo: un paracadute con un carico, un gruppo di oggetti sulla stessa fune o qualunque cosa con un cavo è un sistema e non un corpo.

Qual è la formula della velocità limite?

v = √(2mg ÷ ρACd). Al numeratore c'è il doppio del peso; al denominatore la densità del fluido per l'area frontale per il coefficiente di resistenza, tre grandezze che rallentano la caduta. Per un paracadutista da 80 kg a pancia in giù — 0,7 m² e Cd 0,7 in aria a 1,225 kg/m³ — vengono 51,1 m/s, cioè 184 km/h. La radice quadrata è il motivo per cui raddoppiare la massa dà solo 1,41 volte la velocità.

A che velocità cade un paracadutista?

Circa 190 km/h a pancia in giù, in una posizione ad arco normale, e circa 340 km/h a testa in giù con braccia e gambe raccolte. Entrambe escono dalla stessa formula e dallo stesso peso: l'unica cosa che cambia tra le due è l'area frontale, da 0,70 a 0,23 metri quadrati. Sotto una calotta da 50 metri quadrati lo stesso paracadutista scende a circa 16 km/h, che è un passo giù da un muretto e non una caduta.

Un oggetto più pesante cade più veloce?

Raggiunge una velocità limite più alta, ma solo con la radice quadrata della massa, quindi l'effetto è molto più debole di quanto ci si aspetti. Passare da 80 kg a 90,7 kg — il tredici per cento in più — alza la velocità a pancia in giù da 51,1 a 54,6 m/s, circa il sette per cento. Nel vuoto non c'è nessuna differenza: senza aria tutto cade allo stesso modo. In aria la differenza è reale ma modesta, e la forma conta molto più del peso.

Quale coefficiente di resistenza devo usare?

Prendilo dalla tabella di riferimento invece che dalla memoria, e trattalo come un intervallo e non come un decimale: 1,28 per una piastra piana investita dal flusso, 1,42 per una calotta di paracadute aperta, 1,2 per un cilindro lungo di traverso, 0,7 per una persona a pancia in giù, 0,47 per una sfera liscia e 0,3 per un'auto. Se sei tra due righe, scegli quella più tozza: il Cd cala man mano che una forma diventa più affusolata, e indovinare per eccesso mantiene la risposta prudente.

In che cosa la velocità limite è diversa dalla velocità di caduta libera?

La caduta libera è quello che succede prima che l'aria conti, e non ha limite di velocità: la formula v = gt continua a predire sempre più velocità. La velocità limite è il tetto che la resistenza impone, raggiunto quando la forza di resistenza cresce fino a uguagliare il peso dell'oggetto. Per una persona questo accade dopo circa 10 o 12 secondi e più o meno 450 metri di caduta, dopodiché la velocità smette di cambiare. Sotto circa 5 m/s, o per oggetti più piccoli di un granello di sabbia, la legge quadratica che usa questa pagina è il modello sbagliato.

Che cosa succede se cado in acqua invece che in aria?

La densità del fluido passa da 1,225 kg/m³ a circa 1,025, cioè circa 840 volte tanto, e la velocità limite cala della radice quadrata di quel fattore: una persona raggiunge circa 1,8 m/s in acqua di mare invece di 51 m/s. Questa è la lettura onesta della formula ed è anche il motivo per cui cadere in acqua da grande altezza resta letale: alla superficie ci arrivi prima, alla velocità limite dell'aria, e poi l'acqua deve fermarti in una frazione di secondo.

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — National Institute of Standards and Technology