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Calcolatrice del rombo

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 ° – 180 °

Risultato

21,6506 cm²

Area

Perimetro
20,0000 cm
Diagonale 1
8,6603 cm
Diagonale 2
5,0000 cm
Altezza
4,3301 cm

Questa calcolatrice del rombo prende un lato e un angolo e restituisce cinque letture della stessa figura: l'area, il perimetro, entrambe le diagonali e l'altezza. È il motivo per cui è la pagina più utile delle due sul rombo — la calcolatrice dell'area del rombo lavora sulla stessa figura ma si ferma all'area, e per giunta accetta anche una via che qui non c'è, cioè le due diagonali. Qui le misure di partenza sono un lato, che il rombo ha tutti e quattro uguali, e un angolo, e da quei due numeri discende tutto il resto: non c'è nessun altro grado di libertà, perché una volta fissati i bordi l'unica cosa che la figura può ancora fare è inclinarsi. Un rombo è la figura che si ottiene prendendo un quadrato e spingendolo di traverso: i quattro lati restano lunghi uguale, gli angoli smettono di essere retti, e la figura che ne esce è quella che nel linguaggio comune si chiama diamante — la forma di una piastrella decorativa, di un aquilone, di una mattonella posata di punta. Vale la pena guardare che cosa l'inclinazione porti via, perché è il tema di tutta la pagina. Un quadrato di lato 5 copre 25 centimetri quadrati, ha un'altezza di 5 e due diagonali uguali di 7,0711. Inclinalo a 60 gradi e i quattro lati sono ancora lunghi 5, quindi il perimetro è sempre 20, ma l'area scende a 21,6506, l'altezza a 4,3301 e le due diagonali si separano in 8,6603 e 5. Inclinalo ancora, fino a 10 gradi, e l'area crolla a 0,1736 mentre il perimetro resta ostinatamente 20. È la lezione più utile che questa pagina abbia da dare: il perimetro misura quanto bordo serve e non dice niente su quanta superficie la figura copra, mentre l'area e l'altezza seguono entrambe il seno dell'angolo e crollano insieme. La figura ha anche una struttura interna che vale la pena conoscere, perché spiega tutte e cinque le formule. Le due diagonali si incrociano ad angolo retto e si tagliano a vicenda a metà, quindi ciascuna delle quattro metà è un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il lato: è da lì che vengono le due formule delle diagonali, che sono il lato per il coseno e per il seno della metà dell'angolo, raddoppiati. E la stessa metà diagonale spiega l'altezza, che è semplicemente il lato per il seno dell'angolo, cioè la distanza fra due lati opposti. Per questo l'altezza è la lettura che manca alla pagina dell'area e che qui arriva gratis: chi deve sapere quanto è spesso un pannello a forma di rombo la cerca qui. Un'ultima cosa che la pagina gestisce e che molte calcolatrici sbagliano: l'angolo. Il rombo ha due angoli di un'ampiezza e due dell'altra, e le due ampiezze sommano sempre a 180, quindi 60 gradi e 120 gradi descrivono la stessa figura. Le formule usano il seno, e il seno di un angolo è uguale al seno del suo supplementare, quindi inserire l'uno o l'altro dà la stessa area, lo stesso perimetro e la stessa altezza; cambia solo l'ordine delle due diagonali. Non serve sapere quale dei quattro angoli hai misurato.

Rombi per lato e angolo, con le quattro letture che ciascuno fornisce

Lato (cm)Angolo (°)Diagonale 1 (cm)Diagonale 2 (cm)Perimetro (cm)Area (cm²)
5608.660352021.6506
5907.07117.07112025
573.74862024
4307.72742.0706168
6120610.39232431.1769
104518.47767.65374070.7107
1101.99240.174340.1736
0600000

Otto rombi, e le colonne sono esattamente le cinque letture della pagina nell'ordine in cui le stampa, meno l'altezza: la prima riga è quella con cui la pagina si apre e le altre sono i casi che vale la pena confrontare. La prima e la seconda riga mettono a confronto il rombo inclinato e il quadrato con lo stesso lato, ed è il confronto centrale di tutta la pagina: il perimetro è 20 in entrambe, mentre l'area scende da 25 a 21,6506 e le due diagonali si separano da una coppia uguale di 7,0711 a 8,6603 e 5. La terza riga è quella in cui questa pagina incontra la calcolatrice dell'area del rombo: lato 5 e angolo 73,74 danno un'area di 24, le stesse diagonali di 8 e 6 con cui quell'altra pagina si apre. La quarta e la quinta riga mostrano il seno che si ripete: 30 e 150 gradi hanno lo stesso seno, quindi un rombo di lato 4 a 30 gradi copre 8 centimetri quadrati, quanto ne coprirebbe a 150, e 120 gradi danno la stessa area di 60 gradi con lo stesso lato. La quinta riga in particolare mostra le due diagonali che si scambiano di posto, perché l'angolo è stato misurato dall'altra parte: la diagonale più lunga è finita nella seconda colonna. La settima riga è la figura quasi schiacciata, con l'area che è il diciassette per cento del quadrato di lato 1 mentre il perimetro è rimasto 4; l'ottava è il rombo di lato zero, che degenera in un punto e dà zero su tutte le colonne, e la pagina lo accetta come risposta invece di rifiutarlo. Ogni cella è ricalcolata dalla sua riga quando la pagina viene costruita, e i valori sono in centimetri, gradi e centimetri quadrati. Nelle celle di questa tabella il separatore decimale è il punto e nel testo della pagina è la virgola: sono la stessa quantità scritta in due modi.

Formula

A = s² × sen(θ) P = 4s d₁ = 2s × cos(θ ÷ 2) d₂ = 2s × sen(θ ÷ 2) h = s × sen(θ)

s
La lunghezza di un lato, in centimetri. Tutti e quattro sono uguali, quindi ne basta uno, e il perimetro è semplicemente quattro volte questo numero: è l'unica delle cinque letture che non dipende dall'angolo. Insieme all'angolo determina tutto il resto
θ
Uno qualunque dei quattro angoli, in gradi, radianti o gradi centesimali. Va bene quello che hai misurato: il seno di un angolo e quello del suo supplementare sono uguali, quindi 60 e 120 gradi danno le stesse cinque letture, con le due diagonali soltanto scambiate fra loro. La pagina accetta angoli da 0 a 180 gradi e rifiuta tutto ciò che sta fuori
A
L'area, in centimetri quadrati: il lato al quadrato per il seno dell'angolo. È la stessa formula che usa la calcolatrice dell'area del rombo quando parti da un lato e da un angolo, e vale al massimo il lato al quadrato, valore che raggiunge quando l'angolo è retto e la figura è un quadrato
P
Il perimetro, in centimetri: quattro volte il lato. Non dipende dall'angolo, quindi inclinare la figura non lo cambia di un millimetro. È la lettura da usare quando ti serve sapere quanto bordo, quanto nastro o quanta cornice consuma la figura, e non quando ti serve sapere quanta superficie copre
d₁, d₂
Le due diagonali, in centimetri, cioè i segmenti che uniscono i vertici opposti. Si incrociano ad angolo retto e si tagliano a metà, e ciascuna è il lato per il coseno o per il seno della metà dell'angolo, raddoppiato. Sono uguali solo quando l'angolo è retto, cioè nel quadrato; il loro prodotto diviso due ridà l'area
h
L'altezza, in centimetri: la distanza perpendicolare fra due lati opposti, pari al lato per il seno dell'angolo. È la lettura che la pagina dell'area del rombo non fornisce ed è quella che serve quando la figura è un pannello o una piastrella di cui devi conoscere lo spessore. Vale al massimo il lato stesso, di nuovo nel quadrato, e crolla a zero quando la figura si schiaccia

Usa questa pagina quando del rombo conosci un lato e un angolo e ti serve più di una misura. È il caso di tutto ciò che è specificato in anticipo anziché misurato: una piastrella dichiarata di 5 centimetri con un angolo di 60 gradi, un motivo a rombi in un pavimento, un pannello tagliato su un disegno, una mattonella posata di punta. In quelle situazioni il lato e l'angolo sono i dati che hai in mano, e qui ne ricavi in un colpo solo l'area, il perimetro, le due diagonali e l'altezza invece di rifare il conto per ciascuna. La pagina dell'area del rombo risponde a una domanda sola; questa risponde a cinque, ed è per questo che è la pagina da tenere aperta quando devi decidere qualcosa sulla figura. Usa invece l'altra pagina quando il rombo è definito dalle sue diagonali, che è il caso di tutto ciò che viene tracciato o tagliato: là inserisci le due diagonali e ottieni l'area, mentre qui le diagonali sono un risultato e non un dato di ingresso. Se hai le diagonali e ti serve il lato, l'altra pagina te lo stampa accanto all'area e puoi riportarlo qui. Le due pagine si incontrano su un caso che vale la pena conoscere: un rombo le cui diagonali misurano 8 e 6 ha un lato di 5 e un angolo di 73,74 gradi, quindi leggerai 24 centimetri quadrati da entrambe le parti, di qui da un lato e un angolo e di là da due diagonali. Quella riga è nella tabella qui sotto e nell'altra pagina, ed è il modo più diretto di verificare che le due descrivono la stessa figura. Un paio di letture della tabella meritano attenzione prima di usarla. La riga con l'angolo di 120 gradi mostra che le due diagonali si scambiano di posto: l'area è la stessa del rombo a 60 gradi con lo stesso lato, ma la diagonale più lunga è diventata la seconda, perché l'angolo è stato misurato dall'altra parte. E la riga con il lato di 10 centimetri a 45 gradi è quella da guardare se ti interessa il caso intermedio: l'area è 70,7107, cioè il settanta per cento del quadrato che avrebbe lo stesso lato, e l'altezza è scesa a 7,0711. Infine, se ti serve solo il perimetro, non hai bisogno di nessuna calcolatrice: è quattro volte il lato, e l'angolo non c'entra.

Esempi svolti

  1. Un lato di 5 centimetri a 60 gradi

    1. Seno dell'angolo: sen 60° = 0,866025…
    2. Area: 5 × 5 × 0,866025… = 21,650635…, che arrotonda a 21,6506
    3. Perimetro: 4 × 5 = 20
    4. Metà dell'angolo: 30°; coseno 0,866025…, seno 0,5
    5. Diagonale maggiore: 2 × 5 × 0,866025… = 8,660254…, che arrotonda a 8,6603
    6. Diagonale minore: 2 × 5 × 0,5 = 5
    7. Altezza: 5 × 0,866025… = 4,330127…, che arrotonda a 4,3301

    La riga con cui la pagina si apre, e quella che mostra tutta la figura in un colpo solo. Due delle cinque letture vengono direttamente dal lato — il perimetro è 20 e nessun angolo può cambiarlo — e le altre tre portano tutte il fattore 0,866 dell'angolo di 60 gradi, che è lo stesso numero che compare nell'area di un triangolo equilatero. L'altezza di 4,3301 vale il confronto con il lato di 5: inclinare il quadrato fino a 60 gradi è costato alla figura circa il tredici per cento della sua altezza, perché il seno di 60 gradi è 0,866 e la perdita è 1 meno 0,866, cioè un settimo circa dell'altezza, e l'area è scesa nella stessa proporzione, da 25 a 21,6506.

  2. Un lato di 5 centimetri ad angolo retto

    1. Seno dell'angolo retto: 1
    2. Area: 5 × 5 × 1 = 25
    3. Perimetro: 4 × 5 = 20
    4. Metà dell'angolo: 45°; coseno e seno valgono entrambi 0,707106…
    5. Entrambe le diagonali: 2 × 5 × 0,707106… = 7,071067…, che arrotonda a 7,0711
    6. Altezza: 5 × 1 = 5

    Un quadrato, cioè quello che un rombo diventa quando non è stato inclinato affatto. Ogni valore qui è un massimo o una coincidenza che vale la pena conoscere: l'area di 25 è la più grande che un rombo di lato 5 possa avere, l'altezza è cresciuta fino a raggiungere il lato stesso, e le due diagonali si sono incontrate a metà strada a 7,0711 — la radice di cinquanta, cioè il lato per la radice di due. Il perimetro è ancora 20, lo stesso del rombo a 60 gradi qui sopra, che è il modo più chiaro di vedere che il perimetro non dice nulla su quanta superficie la figura copra.

  3. Un lato di 5 centimetri a 73,74 gradi

    1. Metà dell'angolo: 36,869897…°, il cui coseno è 0,8 e il cui seno è 0,6
    2. Diagonale maggiore: 2 × 5 × 0,8 = 8
    3. Diagonale minore: 2 × 5 × 0,6 = 6
    4. Area: 5 × 5 × sen 73,739795…° = 25 × 0,96 = 24
    5. Perimetro: 4 × 5 = 20
    6. Altezza: 5 × 0,96 = 4,8

    La riga che lega questa pagina a quella dell'area del rombo. Diagonali di 8 e 6 impongono un lato di 5 — le loro metà sono 4 e 3, e un triangolo rettangolo con quei cateti ha l'ipotenusa di 5 — e l'angolo che va con quel lato è 73,74 gradi. Quindi questa pagina e quell'altra si incontrano su 24 centimetri quadrati, raggiunti qui da un lato e un angolo e là da due diagonali. Lo 0,8 e lo 0,6 nei passaggi sono il triangolo 3-4-5 che si vede in trasparenza: ogni rombo le cui diagonali stanno nel rapporto di 4 a 3 ha questi angoli e questi rapporti fra lato e diagonali, ed è per questo che i numeri vengono fuori tondi.

  4. Un lato di 5 centimetri a 0 gradi

    1. Seno di 0°: 0
    2. Area: 5 × 5 × 0 = 0
    3. Perimetro: 4 × 5 = 20
    4. Diagonale maggiore: 2 × 5 × cos 0° = 2 × 5 × 1 = 10
    5. Diagonale minore: 2 × 5 × sen 0° = 0
    6. Altezza: 5 × 0 = 0

    Un rombo schiacciato completamente su uno dei suoi lati, e la pagina risponde invece di rifiutare: l'area è 0, l'altezza è 0, e la figura è diventata una linea doppia lunga 10, che è il motivo per cui la diagonale maggiore è cresciuta fino a 10 mentre la minore è sparita. L'unica lettura che sopravvive è il perimetro, sempre 20, perché i quattro bordi ci sono ancora anche se la superficie che racchiudono no. Questo è il confine di ciò che la pagina accetta: un angolo negativo viene rifiutato come errore, ma 0 e 180 sono configurazioni reali e ricevono una risposta come tali.

Limiti

La pagina prende un lato e un angolo, e nient'altro: non accetta le diagonali come dato di ingresso, che è invece la via principale dell'altra pagina sul rombo. Se conosci le diagonali e ti serve una delle cinque letture, devi passare di là e riportare qui il lato che quella pagina stampa accanto all'area. Il perimetro è sempre quattro volte il lato, quindi la pagina lo ristampa senza aggiungere informazione: è lì perché fa parte della figura, non perché sia difficile. L'angolo deve stare fra 0 e 180 gradi e viene interpretato come angolo interno; un angolo espresso in un'unità diversa da quella selezionata nei menu darà una risposta sbagliata invece di un errore, perché la pagina non ha modo di sapere che il numero che hai scritto era in gradi centesimali. Un angolo di 0 o di 180 gradi produce una figura schiacciata con area e altezza nulle, e la pagina lo accetta come risposta legittima invece di segnalarlo: se ti aspettavi un errore, quello che hai ottenuto è la verità geometrica. Un lato negativo viene rifiutato. Le diagonali sono calcolate a partire dalla metà dell'angolo, quindi quando l'angolo è molto vicino a 0 o a 180 una delle due è vicina a zero e l'altra al doppio del lato: entrambe sono corrette, ma su una figura reale misurata con la fettiera quell'angolo non sarà mai esattamente zero, e la diagonale minore che leggi sarà una stima di quanto la figura è schiacciata piuttosto che una misura. I risultati sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque unità sia scelta nei menu delle lunghezze, quindi un lato inserito in pollici torna indietro come un perimetro in centimetri che devi convertire da solo. Quattro decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione: per un lato di 5 centimetri l'ultima cifra è una frazione di micron, che nessuna misura reale giustifica. La pagina non controlla che la figura esista davvero come rombo e non sa descrivere un rombo attraverso la sua altezza, né risalire da un'area alle dimensioni che la producono, che è poi la domanda di chi deve tagliare un pannello di superficie fissata.

Domande frequenti

Che cosa posso ricavare di un rombo da un lato e un angolo?
Tutto quello che la figura ha: l'area, il perimetro, entrambe le diagonali e l'altezza. Un lato fissa il perimetro a quattro volte la sua lunghezza, e l'angolo fissa il resto, perché il rombo non ha altre libertà: una volta stabiliti i bordi, l'unica cosa che può ancora cambiare è l'inclinazione. Un lato di 5 a 60 gradi dà un'area di 21,6506 centimetri quadrati, un perimetro di 20, diagonali di 8,6603 e 5, e un'altezza di 4,3301.
Quale dei quattro angoli devo inserire?
Uno qualunque: area, perimetro e altezza vengono fuori identici qualunque tu scelga, perché tutte le formule di questa pagina usano il seno dell'angolo e il seno di un angolo è uguale a quello del suo supplementare — il seno di 60 e quello di 120 valgono entrambi 0,866. Le due diagonali escono come la stessa coppia di lunghezze, ma scambiate fra le due righe, dato che quale delle due sia la maggiore dipende da quale vertice è stato misurato. Un rombo ha due angoli di un'ampiezza e due dell'altra, e angoli adiacenti che sommano a 180 gradi, quindi inserire 60 o inserire 120 descrive la stessa figura. Se sai solo che un angolo è acuto e uno è ottuso, va bene sia l'uno sia l'altro.
Inclinare un rombo ne cambia il perimetro?
No. Il perimetro è quattro volte il lato e il lato non cambia mai, quindi un rombo di lato 5 ha perimetro 20 sia che sia un quadrato sia che sia quasi piatto. Quello che l'inclinazione cambia è tutto il resto: l'area scende da 25 centimetri quadrati ad angolo retto a 21,6506 a 60 gradi e a 4,3412 a 10 gradi. È per questo che il perimetro è una cattiva guida a quanta superficie copre una figura e una buona guida a quanto bordo o quanta cornice le serve.
Come sono legate le due diagonali al lato e all'angolo?
Ciascuna è due volte il lato per il coseno o per il seno della metà dell'angolo: la maggiore è 2s × cos(θ ÷ 2) e la minore è 2s × sen(θ ÷ 2). Con un lato di 5 e un angolo di 60 gradi sono 8,6603 e 5; a 90 gradi vengono entrambe 7,0711, ed è questo che rende uguali le diagonali di un quadrato. Il loro prodotto diviso due è l'area, che è la formula usata dalla calcolatrice dell'area del rombo quando le dai le diagonali invece del lato.
Qual è l'area più grande che un rombo con un lato dato può avere?
Il quadrato, con un'area pari al lato al quadrato. Un rombo di lato 5 copre 25 centimetri quadrati ad angolo retto, e ogni altro angolo dà meno: 21,6506 a 60 gradi, 12,5 a 30 e 4,3412 a 10. La ragione sta nella formula, dato che il seno dell'angolo vale al massimo 1 e raggiunge quel valore a 90 gradi. Se stai scegliendo l'angolo di una piastrella o di un pannello e vuoi la massima copertura da un bordo dato, scegli l'angolo retto.
Che cosa succede con un angolo di 0 o di 180 gradi?
L'area torna 0 e l'altezza torna 0, con il perimetro ancora a 20. Sono risposte oneste e non errori: a 0 gradi la figura è stata schiacciata su uno dei suoi lati e non racchiude nulla, mentre i quattro bordi ci sono ancora, ed è per questo che la diagonale maggiore si è allungata fino a 10 e la minore è sparita. Gli angoli fuori dall'intervallo da 0 a 180 vengono invece segnalati come errori, perché la pagina dà per scontato che il numero che hai dato sia l'angolo interno.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'area del romboArea di un rombo dalle diagonali, o da lato e angolo.Calcolatrice area parallelogrammaArea e perimetro di un parallelogramma da basi e altezza.Calcolatrice del quadratoLato, perimetro o area di un quadrato, più la diagonale.Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.