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Calcolatrice dell'area del rombo

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 ° – 180 °

Risultato

24,0000 cm²

Area

Una calcolatrice dell'area del rombo restituisce l'area di un rombo partendo da uno dei due insiemi di misure che lo determinano: le sue due diagonali, oppure un lato e un angolo. Un rombo è una figura a quattro lati, tutti della stessa lunghezza — un quadrato spinto di traverso — ed è la figura che quasi tutti hanno in mente quando dicono diamante. Ed è proprio quella spinta il tema della seconda via: un quadrato ha angoli di 90 gradi, e inclinarlo cambia gli angoli senza cambiare i lati, quindi l'area dipende da quanto è stato inclinato e il solo lato non basta. La prima via è quella che quasi tutti hanno già incontrato: l'area di un rombo è la metà del prodotto delle sue diagonali, che per un rombo largo 6 in un verso e 8 nell'altro fa 24. Vale la pena conoscere quella formula perché vale anche per qualunque quadrilatero le cui diagonali si incrociano ad angolo retto, e perché rende il rombo una delle poche figure la cui area si ricava più facilmente dalle diagonali che dai lati. La seconda via è la versione trigonometrica: l'area è il lato al quadrato moltiplicato per il seno di uno qualunque degli angoli, quindi un rombo con il lato di 5 e un angolo di 60 ha un'area di 21,6506, e uno con lo stesso lato e un angolo retto ha 25 — il quadrato, che è l'area più grande che un rombo di quel lato possa avere. Le due vie si incontrano, e la tabella qui sotto le mostra mentre si incontrano: il rombo della prima riga ha diagonali di 6 e 8, il che impone un lato di esattamente 5 e gli angoli che ne conseguono, 73,74 e 106,26 gradi; inserisci una via o l'altra e la risposta è 24. La seconda via è quella da usare quando la figura è definita dai suoi angoli, come accade di solito a una piastrella o a un pannello; la prima quando è definita dalle diagonali, come accade spesso a un aquilone o a una lastra di pavimentazione. Compilare più di una via è ammesso e la pagina non se ne preoccupa: inserire un lato accanto a due diagonali è un controllo di coerenza più che un errore, perché il lato è determinato dalle diagonali e la pagina sa dire se i numeri che le hai dato stanno insieme.

Rombi descritti dalle loro diagonali, con il lato e l'angolo che ciascuno implica

Diagonale 1 (cm)Diagonale 2 (cm)Lato (cm)Angolo (°)Area (cm²)
68573.7424
110.7071900.5
242.236153.134
5126.545.2430
8158.556.1460
12161073.7496
10107.07119050
00000

Otto rombi, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. Le colonne del lato e dell'angolo non sono dati di ingresso di questa tabella: sono quello che le due diagonali implicano, ricavato da esse, e stanno lì perché le due vie si possano confrontare sulla stessa riga. La prima riga è il confronto da fare: diagonali di 6 e 8 danno un'area di 24, e il lato e l'angolo stampati accanto — 5 e 73,74 — inseriti nell'altra formula danno 24 anche loro. La prima e la sesta riga sono lo stesso controllo a due dimensioni: 6 e 8 implicano un lato di 5, e 12 e 16 implicano un lato di 10, con lo stesso angolo di 73,74 entrambe le volte, perché raddoppiare tutte le lunghezze quadruplica l'area e lascia gli angoli invariati. La seconda e la settima riga sono quadrati, cioè rombi con le diagonali uguali, e mostrano la figura nella sua area massima a parità di lato: la riga 10 per 10 ha un'area di 50 e un lato di 7,0711. La colonna dell'angolo raramente porta un numero tondo, perché gli angoli di un rombo sono determinati dalle diagonali e non il contrario: 73,74 è la coppia che va con un triangolo 3-4-5, 53,13 con un 1-2, 56,14 con un 8-15 e 45,24 con un 5-12, mentre 90 e 0 sono i due casi in cui il numero è esatto — il quadrato e la figura schiacciata. In ogni riga l'altra ampiezza angolare è semplicemente 180 meno quella stampata, dato che le due ampiezze di un rombo sommano sempre a 180. L'ultima riga è tutta zeri, cioè un rombo senza dimensione e un'area di zero invece che una casella vuota. Nelle celle di questa tabella il separatore decimale è il punto e nel testo è la virgola: sono la stessa quantità scritta in due modi. Ogni cella è ricalcolata dalla sua riga quando la pagina viene costruita, in centimetri e centimetri quadrati.

Formula

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = s² × sen(θ)

d₁, d₂
Le due diagonali, in centimetri: i segmenti che uniscono i vertici opposti. In un rombo si incrociano ad angolo retto e si tagliano a metà, ed è questo che fa funzionare la prima formula. In un quadrato le due sono uguali, quindi inserire due volte lo stesso numero è corretto e non un errore
s
La lunghezza di un lato, in centimetri. Tutti e quattro sono uguali, quindi uno basta. Da solo però non determina l'area: un rombo di lato 5 può avere qualsiasi area da quasi nulla fino a 25, ed è per questo che questa via ha bisogno anche di un angolo
θ
Uno qualunque dei quattro angoli, in gradi, radianti o gradi centesimali. Il rombo ha due angoli di una ampiezza e due dell'altra, e le due ampiezze sommano a 180; nella formula va bene l'una o l'altra, perché il seno di un angolo e il seno del suo supplementare sono uguali. È per questo che alla pagina non importa quale dei quattro misuri
A
L'area, in centimetri quadrati: la metà del prodotto delle diagonali, oppure il lato al quadrato per il seno di un angolo. Le due espressioni danno lo stesso numero per lo stesso rombo. È stampata con quattro decimali, la stessa larghezza delle altre pagine d'area di questa sottocategoria
÷ 2
La divisione per due nella formula delle diagonali. C'è perché le due diagonali tagliano il rombo in quattro triangoli rettangoli e il prodotto delle diagonali conta due volte il rettangolo che li contiene: il rombo è la metà del rettangolo i cui lati sono le sue diagonali, che è il modo più pulito di vedere da dove viene la formula
sen(θ)
Il seno dell'angolo, cioè il fattore che misura quanto il rombo è stato inclinato. Vale 1 all'angolo retto, quindi un quadrato ha l'area più grande di qualsiasi rombo con quel lato; scende verso 0 man mano che la figura si appiattisce, quindi un rombo inclinato quasi fino a schiacciarsi ha quasi area nulla. Ha il massimo a 90 gradi ed è simmetrico rispetto a quel valore, ed è per questo che un angolo di 60 e uno di 120 danno la stessa area

Usa la via delle diagonali quando il rombo è definito dalle sue diagonali, che è il caso tipico di tutto ciò che viene tracciato sul terreno o tagliato da un foglio: una lastra di pavimentazione, un aquilone, un pannello decorativo, un vetro inserito di traverso. Le diagonali sono quello che si misura su un rombo già fatto, perché sono le due distanze che lo attraversano, e la metà del loro prodotto è l'area: per il caso 6 per 8, 24 centimetri quadrati. Usa la via lato-e-angolo quando la figura è definita dai suoi bordi e dai suoi vertici, che è il caso tipico di tutto ciò che viene specificato in anticipo: una piastrella dichiarata di 5 centimetri con un angolo di 60 gradi, un motivo a rombi in un pavimento, una lastra tagliata su un disegno. Quella via risponde anche a una domanda a cui la via delle diagonali non sa rispondere, cioè quanto cambia l'area quando inclini la figura: con un lato di 5, un rombo di 60 gradi copre 21,6506 e uno di 90 gradi ne copre 25, quindi inclinarlo fino a quel punto costa circa il 13 per cento dell'area, e inclinarlo ancora ne costa di più. Due figure particolari vale la pena provarle. Inserisci lo stesso numero per entrambe le diagonali e ottieni un quadrato — 10 e 10 danno 50, con un lato di 7,0711 — che è l'area più grande che un rombo con quella diagonale possa avere, e un riferimento utile. E inserisci un angolo molto piccolo: l'area si avvia verso zero, perché un rombo inclinato a 10 gradi ha ancora la stessa lunghezza di lato e quasi nessuna area, il che dimostra che il lato da solo non basta a determinare l'area. Se stai confrontando questa pagina con la calcolatrice dell'area del parallelogramma, quella prende una base e un'altezza perpendicolare, il che funziona anche per un rombo — l'altezza è il lato per il seno dell'angolo — ma ti chiede una distanza che dovresti calcolare invece che una che puoi misurare. E se ti serve il perimetro, è quattro volte il lato: è l'unica misura del rombo che non ha bisogno di alcun angolo.

Esempi svolti

  1. Diagonali di 6 e 8

    1. Prodotto delle diagonali: 6 × 8 = 48
    2. Dimezzalo: 48 ÷ 2 = 24

    Il dato con cui la pagina si apre, e il rombo su cui è costruita tutta la pagina, perché è quello le cui due vie si possono verificare a mano entrambe. Le sue diagonali di 6 e 8 impongono un lato di 5 — la metà di ciascuna diagonale è 3 e 4, e il triangolo con quei cateti ha ipotenusa 5 — e l'angolo che va con quel lato è 73,74 gradi. Quindi l'altra via, un lato di 5 con un angolo di 73,74, dà gli stessi 24, e la tabella qui sotto stampa quella riga. È la dimostrazione più chiara, su questa pagina, che le due formule descrivono una figura sola e non due.

  2. Un lato di 5 e un angolo di 60 gradi

    1. Seno dell'angolo: sen 60° = 0,866025…
    2. Lato al quadrato: 5 × 5 = 25
    3. Area: 25 × 0,866025… = 21,650635…, che arrotonda a 21,6506

    La via lato-e-angolo, e la riga che mostra quanto costa inclinare un quadrato. Un quadrato di lato 5 copre 25 centimetri quadrati; inclinato a 60 gradi gli stessi quattro lati ne racchiudono 21,6506, cioè poco più del 13 per cento in meno. Lo 0,866 è il seno di 60 gradi, cioè la metà della radice di tre, ed è lo stesso numero che compare nell'area di un triangolo equilatero: le due cose sono la stessa geometria vista da direzioni diverse.

  3. Un lato di 5 e un angolo retto

    1. Seno dell'angolo: sen 90° = 1
    2. Lato al quadrato: 5 × 5 = 25
    3. Area: 25 × 1 = 25

    Un quadrato, cioè quello che un rombo diventa quando non è stato inclinato affatto. Ogni valore qui è un massimo o una coincidenza che vale la pena conoscere: l'area di 25 è la più grande che un rombo di lato 5 possa avere, l'altezza è cresciuta fino a coincidere con il lato stesso, e le due diagonali si sono incontrate a metà strada a 7,0711 — la radice di cinquanta, cioè il lato per la radice di due. Il perimetro è ancora 20, lo stesso del rombo a 60 gradi qui sopra, che è il modo più chiaro di vedere che il perimetro non dice nulla su quanta superficie copra la figura.

  4. Diagonali di 5 e 12

    1. Prodotto delle diagonali: 5 × 12 = 60
    2. Dimezzalo: 60 ÷ 2 = 30

    Un rombo lungo e sottile, e una riga facile da controllare contro il suo lato: la metà di 5 è 2,5 e la metà di 12 è 6, quindi il lato è l'ipotenusa di un triangolo 2,5 per 6, cioè 6,5. Il valore corrisponde alla colonna del lato nella tabella. L'area di 30 è un buon promemoria del fatto che le due vie non sono intercambiabili quanto a comodità: il perimetro di questa figura è 26 e l'area è 30, che è una coincidenza di questi numeri e non una regola.

  5. Diagonali di 1 e 1

    1. Prodotto delle diagonali: 1 × 1 = 1
    2. Dimezzalo: 1 ÷ 2 = 0,5

    Il più piccolo rombo quadrato, e la riga che mostra la divisione per due nel modo più evidente: due diagonali di uno danno un'area di un mezzo, perché il rombo è la metà del quadrato unitario i cui lati sono le diagonali. Il suo lato è 0,7071, cioè la radice di due fratto due: la stessa relazione fra la diagonale e il lato di un quadrato, letta nel verso opposto. Nota che inserire zero per entrambe le diagonali dà un'area di zero e non una casella vuota: un rombo senza dimensione è una risposta legittima.

Limiti

La pagina calcola l'area di un rombo e nient'altro: non stampa il perimetro, l'altezza, le diagonali né gli angoli, e la ragione è che tutti quanti si ricavano dalle stesse due misure che hai già. Il perimetro è quattro volte il lato, e lo leggi direttamente dal tuo dato quando hai usato la via del lato. La pagina ha bisogno o di entrambe le diagonali o di un lato con un angolo, e segnala un errore se nessuna delle due vie è completa invece di tirare a indovinare: una sola diagonale, o un lato senza angolo, non determinano la figura. Compilare più di una via è ammesso finché nessuna delle due viene contraddetta — un lato inserito accanto a due diagonali viene controllato contro di esse — ma un rombo le cui diagonali implicano un lato e la cui casella del lato ne dichiara un altro viene segnalato come contraddizione invece di essere risolto in silenzio, e la pagina non dice quale dei tuoi numeri sia quello sbagliato. La casella dell'angolo accetta gradi, radianti e gradi centesimali, e la pagina dà per scontato che l'angolo stia fra 0 e 180; un angolo di 0 o di 180 dà area zero, che è la risposta onesta per una figura schiacciata, ma un angolo espresso in un'unità diversa da quella selezionata darà una risposta sbagliata invece di un errore. I risultati sono in centimetri quadrati qualunque unità sia scelta nei menu delle lunghezze, quindi un lato inserito in pollici torna indietro come un'area in centimetri quadrati che devi convertire da solo. Quattro decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, ed è generosa per misure prese con la fettiera. La pagina non controlla che la figura sia davvero un rombo: quattro lati uguali e angoli qualsiasi vanno bene, e una figura che sembra un rombo ma ha i lati leggermente diversi riceverà una risposta come se fosse un rombo, usando la via che hai inserito. Non sa nemmeno descrivere un rombo attraverso la sua altezza, né risalire da un'area alle dimensioni che la producono, che è poi il tipo di domanda che si fa chi deve tagliare un pannello di area fissata.

Domande frequenti

Qual è la formula dell'area di un rombo?
Ce ne sono due, e basta l'una o l'altra. La metà del prodotto delle diagonali: un rombo largo 6 in un verso e 8 nell'altro copre 24 centimetri quadrati. Oppure il lato al quadrato per il seno di un angolo qualsiasi: un rombo con il lato di 5 a 60 gradi copre 21,6506. La prima è quella da usare quando hai misurato le diagonali, la seconda quando la figura è stata specificata dal suo lato e dal suo angolo. Danno la stessa risposta per la stessa figura, e la tabella di questa pagina lo mostra direttamente.
Perché nella formula delle diagonali c'è un mezzo?
Perché il rombo è la metà del rettangolo i cui lati sono le sue diagonali. Le due diagonali si incrociano ad angolo retto e si tagliano a vicenda a metà, dividendo il rombo in quattro triangoli rettangoli, e se disegni il rettangolo che ha le diagonali come lati scopri che il rombo ne occupa esattamente la metà. Quel rettangolo ha un'area pari al prodotto delle due diagonali, quindi il rombo è la metà di quel prodotto.
Rombo e diamante sono la stessa cosa?
È quello che di solito si intende con la parola diamante, sì. Un motivo a diamante, un diamante di un mazzo di carte, una piastrella a diamante: sono tutti rombi, cioè figure a quattro lati tutti uguali. In matematica si usa la parola rombo perché è precisa, in cantiere si usa diamante perché è corta, e questa pagina parla della stessa figura in entrambi i casi.
Posso inserire sia le diagonali sia un lato con un angolo?
Sì, purché siano coerenti fra loro. Un lato inserito accanto a due diagonali è un controllo di coerenza e non una contraddizione, perché le diagonali determinano il lato e la pagina sa dire se i numeri stanno insieme. Quello che la pagina non fa è scegliere un vincitore: un rombo le cui diagonali implicano un lato di 5 e la cui casella del lato dichiara 7 viene segnalato come contraddizione invece di ricevere in silenzio una risposta basata su uno dei due, dato che nessuno dei due numeri è ovviamente quello affidabile.
Qual è l'area più grande che un rombo con un lato dato può avere?
Il quadrato, con un'area pari al lato al quadrato. Un rombo di lato 5 con un angolo retto copre 25 centimetri quadrati, e ogni altro angolo dà meno: 21,6506 a 60 gradi, 17,6777 a 45, 12,5 a 30 e 4,3412 a 10. Lo si ricava dalla formula, dato che il seno dell'angolo vale al massimo 1 e raggiunge quel valore a 90 gradi. Quindi se stai scegliendo l'angolo di una piastrella o di un pannello e vuoi la massima copertura da un bordo dato, scegli l'angolo retto.
Come trovo il lato a partire dalle diagonali?
Dimezza ciascuna diagonale e usa le due metà come cateti di un triangolo rettangolo: il lato è l'ipotenusa. Per diagonali di 6 e 8 le metà sono 3 e 4, quindi il lato è 5. Per 5 e 12 le metà sono 2,5 e 6, e il lato è 6,5. Funziona perché le diagonali di un rombo si incrociano ad angolo retto e si bisecano a vicenda, che è anche il fatto su cui è costruita la formula dell'area.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del romboArea, diagonali e altezza da un lato e un angolo.Calcolatrice area parallelogrammaArea e perimetro di un parallelogramma da basi e altezza.Calcolatrice del quadratoLato, perimetro o area di un quadrato, più la diagonale.Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.