Calcolatrice del poligono regolare

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) angolo interno = (n − 2) × 180 ÷ n lunghezze delle diagonali = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

Il numero di lati, e l'unico input di questa pagina che cambia quale figura stai guardando invece di quanto è grande. Deve essere un numero intero di almeno tre: due lati non racchiudono niente, e mezzo lato non è un lato. Tutto tranne il perimetro è una funzione curva di n, ed è per questo che questa pagina stampa lo stesso lato a dieci numeri di lati diversi invece dei dieci lati diversi che stampano le tre pagine a forma singola

s

La lunghezza di uno qualsiasi dei lati, in centimetri. Come su ogni pagina di poligoni regolari è l'unica lunghezza che esista: la figura è fissata dall'avere tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali, quindi un lato e il numero di lati determinano l'intera figura

A

L'area, in centimetri quadrati: il numero di lati diviso quattro volte la tangente di pi greco diviso il numero di lati, per il lato al quadrato. Il fattore davanti al lato al quadrato vale 0,4330 a tre lati e da lì cresce senza limite — supera 1 al quadrato, è 31,5688 a venti lati e 79.577,2097 a mille — perché un lato fisso su una figura con più angoli copre più superficie. Se invece si fissa il perimetro la crescita si ferma: una figura di mille lati con perimetro 6000 copre 2.864.779,5509 contro 2.864.788,9757 del cerchio con lo stesso perimetro, una differenza dello 0,0003 per cento. La grandezza che sale verso pi greco, 3,1416, è l'area divisa per il quadrato della distanza dal centro a un vertice

P

Il perimetro, in centimetri: il lato per il numero di lati. È l'unico output esattamente lineare in entrambi gli input e l'unico esatto ogni volta che lo sono i suoi input, il che ne fa la grandezza con cui controllare le altre quando un risultato sembra sbagliato

a

L'apotema, in centimetri: la distanza dal centro fino al punto medio di un lato, cioè il lato diviso due volte la tangente di pi greco diviso il numero di lati. È il raggio del cerchio più grande che entra nella figura, e il suo doppio è la larghezza fra i lati piatti — la misura che si riesce davvero a prendere con un righello

Angolo interno

L'angolo fra due lati vicini, all'interno della figura: il numero di lati meno due, per 180, diviso il numero di lati. Non dipende per niente dalla lunghezza del lato, quindi è lo stesso numero su ogni riga di una tabella il cui lato è fisso e il cui numero di lati cambia. Questa pagina lo stampa con due decimali perché quello di un ettagono è 128,571428 e verrebbe altrimenti arrotondato a 129, che non è una risposta più grossolana ma una risposta sbagliata

⌊n ÷ 2⌋ − 1

Quante lunghezze diverse hanno le diagonali della figura. Le corde che uniscono coppie di vertici si presentano in metà del numero di lati di lunghezze distinte, e una di quelle è il lato stesso, quindi un triangolo non ne ha, un quadrato e un pentagono ne hanno una a testa, un esagono due, un ottagono tre. Questo è un conteggio e non una lunghezza, quindi non porta unità di misura e non si muove quando si muove il lato

π

Il rapporto fra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, circa 3,14159265. Compare qui perché la tangente di pi greco diviso il numero di lati è ciò che lega la figura ai suoi angoli: la stessa costante che descrive il cerchio cui queste figure si avvicinano man mano che i lati aumentano

Questa è la pagina da usare quando la figura non è una di quelle con un nome, o quando il punto della domanda è la figura stessa invece di una sua misura. Se sai di avere a che fare con un esagono o un ottagono, la pagina di quella forma chiede un numero invece di due e stampa anche le lunghezze delle diagonali; vieni qui quando è il numero di lati che stai scegliendo. È la situazione ogni volta che una forma viene scelta invece che misurata — quanti lati debbano avere un'aiuola rialzata, il tetto di un gazebo, una moneta o una piastrella — perché la tabella permette di leggere lo stesso spigolo a dieci numeri di lati in una sola colonna e di vedere che cosa compra ogni lato in più. Lo schema vale la pena di essere detto chiaramente, e si divide in due metà facili da confondere. A lato fisso, ogni lato aggiunto compra area e le quantità crescono invece di calare: passando da tre lati a quattro si aggiungono 20,4 centimetri quadrati a uno spigolo di sei centimetri, da quattro a cinque se ne aggiungono 25,9, da cinque a sei 31,6, e la corsa da venti lati a mille ne aggiunge 2.863.643, perché la figura sta crescendo oltre che arrotondandosi e il perimetro cresce con lei. Se invece si fissa il perimetro lo scambio si inverte. A un perimetro di 6000 il singolo passo da cinque lati a sei compra 120.589 centimetri quadrati, mentre l'intera corsa da venti lati a mille — 980 lati in più — ne compra 23.591. È il confronto per cui esistono le ultime due colonne della tabella, ed è il motivo per cui la testa di un bullone, una piastrella e una cella di favo sono esagoni: oltre i sei lati l'area in più smette di valere lo spigolo in più da tagliare e l'angolo in più da far combaciare. La colonna dell'apotema serve a tracciare una figura su un foglio, dato che il suo doppio è la larghezza fra i lati piatti, e la colonna dell'angolo interno serve a costruirne una a pezzi, dato che la sua metà è la mitra che serve a ogni pezzo ed è la stessa per ogni dimensione di quella figura. Se stai confrontando questa pagina con quella del cerchio, la riga dei mille lati è il confronto onesto: a un lato di 6 il suo perimetro è 6000 e la sua area è 2.864.779,5509, contro 2.864.788,9757 di un cerchio vero con lo stesso perimetro, una differenza dello 0,0003 per cento.

1. Un esagono, lato 6

   1. Perimetro: 6 × 6 = 36
   2. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, esatto
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, che arrotonda a 5,1962
   4. Area: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, che arrotonda a 93,5307
   5. Lunghezze delle diagonali: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   È il dato con cui la pagina si carica, e la riga che riconcilia questa pagina con quella dell'esagono: 93,5307 e 5,1962 sono i due numeri che la pagina dell'esagono mostra prima che tu tocchi qualcosa. Il 2 dell'ultima colonna sono anche le due diagonali di quella pagina — una che salta un vertice e una che va da parte a parte — scritti come conteggio invece che come lunghezze, che è quello che questa pagina può fare e quella no. L'angolo interno di 120 compare qui come 120,00 nel pannello dei risultati e come 120 nella tabella sotto, cioè lo stesso numero a due larghezze di visualizzazione.

2. Un triangolo, lato 6

   1. Perimetro: 3 × 6 = 18
   2. Angolo interno: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, esatto
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, che arrotonda a 1,7321
   4. Area: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, che arrotonda a 15,5885
   5. Lunghezze delle diagonali: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

   È la figura più piccola che la pagina accetta, e l'unica che non abbia diagonali: ogni corda che unisce due vertici di un triangolo è uno dei suoi tre lati, quindi non avanza niente che possa essere una diagonale. Lo zero è una risposta e non una cella vuota, e l'area di 15,5885 concorda con quella della pagina del triangolo equilatero allo stesso lato, che è il controllo che la formula generale non si sia allontanata da quella specifica della forma. Vale la pena notare l'apotema: a tre lati è il più corto di tutta la tabella, 1,7321 contro un lato di 6, perché il cerchio che sta dentro un triangolo è piccolo rispetto al triangolo.

3. Un ettagono, lato 6

   1. Perimetro: 7 × 6 = 42
   2. Angolo interno: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, che arrotonda a 128,57
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, che arrotonda a 6,2296
   4. Area: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, che arrotonda a 130,8208
   5. Lunghezze delle diagonali: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   È la riga per cui questa pagina esiste, e quella di cui la pagina dell'ottagono metteva in guardia. Ogni numero di lati fino a dodici dà un angolo interno che è un numero intero tranne sette e undici, quindi una pagina che stampasse gli angoli senza decimali scriverebbe 129 qui — non una risposta più grossolana, ma una risposta sbagliata. Due decimali bastano per ogni numero di lati che la pagina accetta: a mille lati l'angolo è 179,64, ancora a due decimali da 180. La figura a sette lati è anche la prima che ha meno lunghezze distinte di quante sembrerebbe doverne avere: un ettagono ha quattordici diagonali in tutto, ma si presentano in sole due lunghezze, saltando 2 e 3 vertici, perché le altre sono le stesse due spanne misurate da altri vertici.

4. Un quadrato, lato 6

   1. Perimetro: 4 × 6 = 24
   2. Angolo interno: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, esatto
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, esatto
   4. Area: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
   5. Lunghezze delle diagonali: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

   Il quadrato, dove la formula generale incontra un inciampo in virgola mobile che vale la pena conoscere: la tangente di 45 gradi è 1 dal punto di vista matematico, ma la pagina calcola la tangente di pi greco quarti in virgola mobile e ottiene 0,9999999999999999, quindi l'area arriva come 36,000000000000014. Viene stampata come 36 perché il risultato è arrotondato a quattro decimali in uscita, ed è esattamente a questo che serve quell'arrotondamento. L'ultima colonna è l'altra cosa da guardare qui: un quadrato ha due diagonali, attraversano la figura allo stesso modo, e ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 le conta come una lunghezza sola, il che è corretto ed è proprio la trappola che questa pagina evita non stampando lunghezze.

5. Mille lati, lato 6

   1. Perimetro: 1000 × 6 = 6000
   2. Angolo interno: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179.640 ÷ 1000 = 179,64, esatto
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, che arrotonda a 954,9265
   4. Area: 1000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79.577,2097… × 36 = 2.864.779,5509…, che arrotonda a 2.864.779,5509
   5. Lunghezze delle diagonali: ⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

   Il limite superiore della pagina, e la riga che risponde a una domanda di cui le altre pagine di questa famiglia possono solo parlare. Una figura regolare di mille lati con un perimetro di 6000 ha un'area di 2.864.779,5509 centimetri quadrati; un cerchio vero con lo stesso perimetro ne ha 2.864.788,9757, cioè lo 0,0003 per cento in più. Il suo apotema di 954,9265 sta contro il raggio del cerchio, 954,9297, con una differenza di 0,0032 centimetri. È qui dunque che il poligono ha smesso di essere un poligono in qualunque senso pratico — ed è il motivo per cui la pagina non accetta più di mille lati: oltre questo punto la lunghezza del lato ha smesso di descrivere la figura, che è un cerchio con qualche passaggio in più.

La pagina vale solo per poligoni regolari: tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli uguali. Una figura con lati disuguali o angoli disuguali non ha un'unica lunghezza del lato né un unico angolo interno, e nessun numero di input di questa pagina la descriverà — inserisci un numero di lati e un lato e la pagina risponderà tranquillamente con la figura regolare di quella dimensione, senza dirti che quella che hai in testa è un'altra. Il numero di lati deve essere un numero intero di almeno tre, e la pagina segnala un errore invece di arrotondare se non lo è; anche tutto ciò che supera mille viene rifiutato, perché oltre quel punto la figura è un cerchio per qualunque scopo questi numeri possano servire. Gli output sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menu delle unità, quindi un lato inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire da solo. Quattro decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, ed è generosa per un lato misurato: le ultime due cifre non significano niente se l'input non era esatto. L'angolo interno porta due decimali invece di nessuno, il che significa che gli angoli interi vengono stampati come 120,00 qui e come 120 sulle pagine di pentagono e ottagono — lo stesso numero a due larghezze di visualizzazione, non un disaccordo fra le pagine. Le ultime due colonne sono un conteggio e un angolo e nessuna delle due si muove quando si muove il lato, quindi una pagina che sembra non reagire a un cambio di lato non si è bloccata: tre delle cinque grandezze sono cambiate. C'è una sola grandezza sulle diagonali ed è un conteggio, non una lunghezza: le lunghezze stanno sulle tre pagine a forma singola, e la ragione è che il loro numero dipende dal numero di lati, cosa che un elenco fisso di output non può contenere. La pagina è bidimensionale e non ha un campo per lo spessore del materiale, quindi non può dare il volume di un prisma né il peso di una piastra ritagliata da una di queste figure, e il conteggio delle diagonali è un conteggio di lunghezze distinte e non di diagonali — un ettagono ha quattordici diagonali e questa pagina ne dice due, e le due affermazioni sono vere di due grandezze diverse.

Come si trova l'area di un poligono regolare a partire dal lato?

Moltiplica il quadrato del lato per il numero di lati, poi dividi per quattro volte la tangente di pi greco diviso il numero di lati. Il fattore che moltiplica il quadrato del lato dipende solo dal numero di lati — 0,4330 per un triangolo, 1 per un quadrato, 1,7205 per un pentagono, 2,5981 per un esagono — e cresce senza limite man mano che i lati aumentano: 3,6339 a sette lati, 31,5688 a venti, 79.577,2097 a mille. È l'area, e non questo fattore, ad avvicinarsi a quella di un cerchio, e solo se si tiene fermo il perimetro; il fattore che sale verso pi greco, 3,1416, è l'area divisa per il quadrato della distanza dal centro a un vertice. Dato che è un fattore e non un termine additivo, raddoppiare il lato quadruplica l'area per qualsiasi figura di questa pagina.

Perché l'angolo interno non cambia quando cambio la lunghezza del lato?

Perché l'angolo interno di un poligono regolare è fissato dal numero di lati e da nient'altro: è il numero di lati meno due, per 180 gradi, diviso il numero di lati. In quell'espressione non compare nessuna lunghezza del lato. Un triangolo vale sempre 60 gradi, un pentagono sempre 108, un esagono sempre 120, un ottagono sempre 135, qualunque sia la dimensione. È il motivo per cui la quarta colonna della tabella di riferimento è prevedibile invece che misurata, e per cui la mitra che tagli per una cornice esagonale è di 30 gradi sia che la cornice sia un sottobicchiere sia che sia un tavolo.

Quante diagonali ha un poligono, e quante lunghezze diverse hanno?

Dentro questa domanda ce ne sono due, e la pagina risponde alla seconda. Il numero di diagonali è il numero di lati per il numero di lati meno tre, diviso due: un pentagono ne ha cinque, un esagono nove, un ottagono venti. Il numero di lunghezze diverse che le diagonali hanno è metà del numero di lati, arrotondata per difetto, meno uno: un pentagono una, un esagono due, un ottagono tre, un ettagono due. Questa pagina stampa la seconda, perché è la grandezza su cui sono costruite le pagine a forma singola qui accanto, e perché un conteggio di lunghezze è l'unica grandezza sulle diagonali che resti vera per ogni numero di lati.

Che cos'è l'apotema, e a cosa serve?

È la distanza dal centro fino al punto medio di un lato, ed è il raggio del cerchio più grande che entra nella figura. È la grandezza con cui si traccia un poligono, perché il doppio dell'apotema è la larghezza fra i lati piatti e sono i lati piatti quelli che un righello riesce a misurare; i vertici no. Se stai tracciando una figura su un foglio, misura l'apotema dal centro tante volte quanti sono i lati e hai il punto medio di ogni lato. A tre lati è piccolo rispetto alla figura, e si avvicina al raggio del cerchio circoscritto man mano che il numero di lati aumenta.

Quando conviene usare questa pagina invece di quella del pentagono o dell'ottagono?

Quando è il numero di lati che stai decidendo invece di quello che già conosci. Le pagine a forma singola chiedono un solo numero e danno anche le lunghezze delle diagonali, perché sanno con quale figura hanno a che fare; questa pagina chiede due numeri e in cambio gestisce qualunque numero di lati da tre a mille e ti lascia leggere lo stesso lato a dieci di essi in una sola colonna. Se hai un esagono fisso da misurare, la pagina dell'esagono è qualche passo in meno. Se stai scegliendo fra un esagono e un ottagono per il piano di un tavolo, questa pagina è il confronto.

Che cosa mi dice la colonna del perimetro che la colonna dell'area non mi dice?

Ti dice quanto costa costruire la figura, dove l'area ti dice quanto copre. Il perimetro è il lato per il numero di lati, quindi a lato fisso sale in linea retta mentre l'area gli va dietro arcuatamente: passare da un triangolo a un quadrato aggiunge 6 al perimetro e 20,4 all'area di uno spigolo di sei centimetri, ma passare da venti lati a mille aggiunge 5880 al perimetro e 2.863.643 all'area, cioè moltissimo spigolo in più per una figura che all'occhio non sembra diversa. Se invece fissi il perimetro lo scambio va nel verso opposto: a un perimetro di 6000, un lato in più al passo fra cinque e sei compra 120.589 centimetri quadrati, mentre gli ultimi 980 lati messi insieme ne comprano 23.591. È il motivo per cui la testa di un bullone e una piastrella sono esagoni e non figure con più lati: oltre i sei, lo spigolo in più costa più di quanto valga l'area in più.

• Regular polygon — the family this page covers end to end, with the area, the apothem, the interior angle and the diagonal structure all defined in terms of the side count — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of the shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)
• Polygon — the general closed figure this page specialises to the regular case, including the distinction between the number of diagonals and the number of distinct diagonal lengths — Wolfram MathWorld (United States)