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CalcMax

Calcolatrice dell'esagono

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

93,5307 cm²

Area

Perimetro
36,0000 cm
Diagonale maggiore
12,0000 cm
Diagonale minore
10,3923 cm
Apotema
5,1962 cm
Angolo interno
120 °

Una calcolatrice dell'esagono prende la lunghezza del lato di un esagono regolare e ne restituisce sei misure: l'area, il perimetro, le due diagonali, l'apotema e l'angolo interno. L'esagono regolare è la forma di una cella di favo, di un dado, di una testa di bullone e di una piastrella, e la ragione per cui compare così spesso è che è il modo più efficiente di dividere una superficie in celle uguali senza lasciare vuoti, tanto che le api l'hanno trovato prima che qualcuno lo dimostrasse. L'altro suo pregio è aritmetico: un esagono regolare è fatto di sei triangoli equilateri uniti in un punto, e quasi tutto quello che lo riguarda discende da questo fatto soltanto. Il perimetro è sei volte il lato. La diagonale maggiore, quella che attraversa il centro da un vertice a quello opposto, è due volte il lato, perché sono due di quei triangoli messi uno in fila all'altro. La diagonale minore, quella che salta un solo vertice, è l'altezza di due di quei triangoli schiena contro schiena, cioè radice di tre per il lato. L'area è sei triangoli equilateri, ognuno dei quali è un quarto di radice di tre per il lato al quadrato, e sei di quelli fanno tre volte radice di tre diviso due, per il lato al quadrato. E l'apotema, la distanza dal centro fino al punto medio di un lato, che è anche il raggio del cerchio inscritto nell'esagono, è metà della diagonale minore, cioè radice di tre diviso due per il lato. Sei uscite, un solo dato. Quel dato unico vale la pena di soffermarcisi, perché è ciò che distingue questa pagina dalla maggior parte di quelle che le stanno intorno. Un rettangolo ha bisogno di due numeri, un triangolo di tre, e un quadrilatero generico di ancora di più; un esagono regolare ha bisogno solo del suo lato, perché la parola regolare ha già fissato ogni angolo a 120 gradi e ogni lato alla stessa lunghezza. Cambia il lato e l'intera figura scala con lui: raddoppia il lato e raddoppiano il perimetro e le diagonali, ma l'area diventa quattro volte tanto, dato che l'area va sempre con il quadrato della lunghezza e questa pagina non fa eccezione. L'angolo interno è l'unica cifra che non si muove affatto quando si muove il lato: è fissato a 120 gradi dal semplice fatto che i lati sono sei, ed è quello che si vede nella tabella qui sotto, dove lo stesso numero corre lungo l'ultima colonna di ogni riga. Le cinque cifre di dimensione sono stampate con quattro cifre decimali perché tre di esse portano la radice di tre e quasi mai vengono esatte, mentre il perimetro e la diagonale maggiore sono esatti quando lo è il lato; l'angolo è un numero intero e viene stampato come tale.

Esagoni regolari da un lato di zero a un lato di dieci

Lato (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Diagonale maggiore (cm)Diagonale minore (cm)Apotema (cm)Angolo interno (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

Otto esagoni, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. Leggi le prime due colonne dall'alto verso il basso per vedere l'unica relazione che coglie la gente di sorpresa: passando da un lato di 5 a un lato di 10 raddoppiano il perimetro, le diagonali e l'apotema, ma l'area passa da 64,9519 a 259,8076, cioè quattro volte tanto e non due, perché l'area va con il quadrato della lunghezza. L'ultima colonna è lo stesso 120 su ogni riga, e quella è la proprietà e non un errore di copia e incolla: l'angolo interno di un esagono regolare è fissato dall'avere sei lati, quindi non si muove quando si muove la dimensione, ed è l'unica cifra di questa pagina che sopravvive al lato che va a zero mentre tutte e cinque le altre collassano nel nulla. La seconda riga è l'esagono unitario, dove le tre uscite con la radice di tre sono al loro stato più puro: 1,7321 per la diagonale minore e 0,866 per l'apotema, che sono √3 e √3 diviso due. La terza riga è dove si annida la prima coincidenza: un esagono di lato 2 ha un'area di 10,3923, e l'esagono di lato 6 della prima riga ha una diagonale minore dello stesso 10,3923. La settima riga, un lato di 10, ne porta la seconda: il suo apotema è 8,6603, che è la diagonale minore di un esagono di lato 5, dato che entrambe sono 5√3 raggiunte da direzioni diverse. Due grandezze che condividono quattro cifre stampate sulla stessa tabella sono esattamente il genere di cosa che sembra un errore di copia e incolla, e sono entrambe reali. L'ultima riga è un lato di zero, dove le cinque colonne di dimensione sono zero e la risposta è vera invece che mancante, e dove la colonna dell'angolo, per la ragione detta sopra, è ancora 120. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo lato quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e le larghezze decimali sono le stesse che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d_maggiore = 2s d_minore = √3 × s apotema = (√3 ÷ 2) × s angolo interno = 120°

Lato
La lunghezza di uno qualsiasi dei sei lati, in centimetri. C'è solo questo dato perché un esagono regolare ha i sei lati uguali e i sei angoli fissi a 120 gradi, quindi questo numero da solo determina l'intera figura
Area
Lo spazio dentro l'esagono, in centimetri quadrati, cioè tre volte radice di tre diviso due, per il lato al quadrato. I sei triangoli equilateri di cui è fatto sono la vera origine di quella costante, non una formula da mandare a memoria
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: sei volte il lato, dato che i sei lati sono uguali. È l'unica uscita sempre esatta quando lo è il lato, il che la rende quella con cui controllare le altre
Diagonale maggiore
La distanza da un vertice attraverso il centro fino al vertice opposto, in centimetri. È esattamente due volte il lato, il che la rende il diametro del cerchio circoscritto all'esagono, ed è anche la misura più larga che si possa prendere attraverso la figura
Diagonale minore
La distanza fra due vertici che hanno esattamente un vertice in mezzo, in centimetri, cioè radice di tre per il lato. È poco meno del doppio dell'apotema e poco più di una volta e mezzo il lato, e divide l'esagono in un rettangolo e due triangoli
Apotema
La distanza dal centro fino al punto medio di un lato, in centimetri, cioè radice di tre diviso due per il lato. È il raggio del cerchio inscritto nell'esagono ed è esattamente metà della diagonale minore: le due sono la stessa misura vista dal centro e vista da un vertice
√3
La radice quadrata di tre, circa 1,7320508. Compare nell'area, nella diagonale minore e nell'apotema, ed è l'altezza di un triangolo equilatero di lato uno: il numero che trasforma il lato di un triangolo nella sua altezza
Angolo interno
L'angolo fra due lati vicini dentro l'esagono, che vale 120 gradi per ogni esagono regolare e quindi non dipende affatto dal lato. Viene dalla regola per cui gli angoli di un poligono sommano a numero di lati meno due, per 180 gradi: sei lati, quattro triangoli, 720 gradi divisi fra sei angoli uguali. È l'unica uscita di questa pagina che un esagono più grande stampa identica
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui è scritta ogni uscita. L'area, la diagonale minore e l'apotema portano quasi sempre una radice di tre e quindi quasi mai finiscono; il perimetro e la diagonale maggiore sono esatti, e stamparli con quattro decimali è una larghezza, non una dichiarazione. L'angolo interno vale 120 esatto, quindi è stampato come numero intero senza alcun punto decimale: le larghezze sono per uscita e non una sola per la pagina

La pagina serve per l'esagono come oggetto fisico, e il favo è la ragione per cui continua a saltare fuori. Se stai piastrellando una superficie e vuoi sapere quanto materiale consuma una piastrella esagonale, l'area è la cifra che ti serve, e vale la pena sapere che un esagono di lato uno ha un'area di circa 2,6 mentre un quadrato di lato uno ha un'area di 1: un esagono copre più terreno a parità di lunghezza del bordo, che è l'efficienza per cui i favi vale la pena copiarli negli imballaggi e nei pannelli. Se ritagli le piastrelle da una lastra, l'apotema è quello che ti dice a che distanza mettere i centri, e le due diagonali ti dicono quanto spazio libero serve alla figura finita: la lunghezza attraverso la parte più larga per la diagonale maggiore, la misura fra i lati piatti per quella minore, che è quella che decide se un dado entrerà nella chiave giusta. La testa di un bullone si quota fra i lati piatti, cioè due volte l'apotema, e la bussola che ci va sopra si quota allo stesso modo, quindi è l'apotema l'uscita da prendere e non la diagonale maggiore. E se stai controllando un disegno, le due diagonali hanno un rapporto fisso fra loro: la minore è esattamente metà della maggiore per radice di tre, quindi un esagono calcolato le cui diagonali non stanno in quel rapporto ha un refuso dentro, non una differenza di arrotondamento.

Esempi svolti

  1. Un lato di 6

    1. Perimetro: 6 × 6 = 36
    2. Diagonale maggiore: 2 × 6 = 12
    3. Apotema: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, che arrotonda a 5,1962
    4. Diagonale minore: √3 × 6 = 10,392304…, che arrotonda a 10,3923
    5. Area: (3√3 ÷ 2) × 36 = 93,530743…, che arrotonda a 93,5307
    6. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 gradi, e vale lo stesso per ogni esagono regolare

    Il dato con cui la pagina si apre. Due delle sei uscite sono esatte — il perimetro a 36 e la diagonale maggiore a 12 — e tre portano la radice di tre e stampano quattro cifre. L'angolo interno è la sesta: 120 gradi, la stessa cifra che la tabella qui sotto stampa su tutte e otto le sue righe. Il controllo che vale la pena fare una volta: l'apotema è esattamente metà della diagonale minore, 5,1962 contro 10,3923, e vale per ogni lato, non solo per questo.

  2. Un lato di 1

    1. Perimetro: 6 × 1 = 6
    2. Diagonale maggiore: 2 × 1 = 2
    3. Diagonale minore: √3 × 1 = 1,7320508…, che arrotonda a 1,7321
    4. Apotema: 0,8660254…, che arrotonda a 0,866
    5. Area: (3√3 ÷ 2) × 1 = 2,5980762…, che arrotonda a 2,5981
    6. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 gradi, e vale lo stesso per ogni esagono regolare

    L'esagono unitario, quello da cui ricordare le costanti: un esagono regolare di lato uno ha un'area di 2,5981, una diagonale minore di 1,7321 e un apotema di 0,866. Batte anche il quadrato di lato uno, che ha area 1, ed è l'aritmetica che sta dietro al favo. L'apotema si stampa come 0,866 e non 0,8660 perché la quarta cifra decimale è uno zero finale e la forma stampata è la più breve possibile; l'angolo interno, a 120, non ha alcuna parte decimale da stampare.

  3. Un lato di 2

    1. Perimetro: 6 × 2 = 12
    2. Diagonale maggiore: 2 × 2 = 4
    3. Diagonale minore: √3 × 2 = 3,4641016…, che arrotonda a 3,4641
    4. Apotema: 1,7320508…, che arrotonda a 1,7321
    5. Area: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,392304…, che arrotonda a 10,3923
    6. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 gradi, e vale lo stesso per ogni esagono regolare

    La riga che sorprende: l'area di questo esagono è 10,3923, e un esagono di lato 6 ha una diagonale minore di 10,3923. Due grandezze diverse su due esagoni diversi che stampano le stesse quattro cifre sono una coincidenza dei numeri e non un calcolo ripetuto, e vale la pena saperlo prima di scorgerlo nella tabella e pensare al peggio. L'angolo interno, al contrario, è l'unica colonna senza sorprese: 120 su ogni riga.

  4. Un lato di 10

    1. Perimetro: 6 × 10 = 60
    2. Diagonale maggiore: 2 × 10 = 20
    3. Diagonale minore: √3 × 10 = 17,320508…, che arrotonda a 17,3205
    4. Apotema: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, che arrotonda a 8,6603
    5. Area: (3√3 ÷ 2) × 100 = 259,807621…, che arrotonda a 259,8076
    6. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 gradi, e vale lo stesso per ogni esagono regolare

    Un esagono da dieci centimetri, più o meno la misura di una piastrella piccola. L'apotema di 8,6603 è la seconda delle due coincidenze di questa pagina: sono le stesse quattro cifre della diagonale minore di un esagono di lato 5, dato che entrambe sono 5√3 viste da posti diversi. La cifra da portarsi via da questa riga è la diagonale maggiore di 20 contro la minore di 17,32: l'esagono è più largo da vertice a vertice che da lato a lato, di circa il 15 per cento, ed è per questo che un dado e la chiave che lo stringe si quotano fra i lati piatti.

  5. Un lato di 0

    1. Perimetro: 6 × 0 = 0
    2. Diagonale maggiore: 2 × 0 = 0
    3. Diagonale minore: √3 × 0 = 0
    4. Apotema: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. Area: (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. Angolo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 gradi, e vale lo stesso per ogni esagono regolare

    Lo zero è un dato legittimo e non una casella vuota. Un esagono di lato zero è un punto singolo e le cinque misure di dimensione sono tutte zero, quindi una riga di zeri è una risposta vera e non il segno che qualcosa non si è compilato. L'angolo interno fa eccezione e resta a 120 gradi, perché è una proprietà dell'avere sei lati e non della dimensione: la figura è collassata, ma non è diventata un'altra figura. La pagina distingue uno zero da una casella lasciata vuota, che non mostra alcun risultato perché non c'è nulla da cui partire.

Limiti

La pagina vale solo per gli esagoni regolari: sei lati della stessa lunghezza e sei angoli di 120 gradi. Un esagono che non è regolare non ha una lunghezza del lato unica e non si lascia descrivere da un solo numero, e la pagina ti darà tranquillamente i valori dell'esagono regolare con quel lato invece di dirti che la figura che hai in mente è un'altra. L'angolo interno è fissato a 120 gradi per qualsiasi dimensione ed è stampato immutato su ogni riga della tabella, compresa quella in cui il lato è zero; la pagina non dà l'angolo esterno né l'angolo al centro, e nessun angolo per un esagono che non sia regolare, perché non c'è una risposta unica da dare. Le uscite sono in centimetri, centimetri quadrati e gradi, qualunque unità dica il menù, quindi un lato inserito in pollici torna indietro come una risposta in centimetri che devi convertire da solo. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione: è generosa per un lato misurato e le ultime due cifre non sono significative se il dato non era esatto. L'area cresce con il quadrato del lato mentre il perimetro e le diagonali crescono con il lato stesso, quindi ingrandire un esagono cambia quelle cifre a velocità diverse: l'angolo interno è l'unico che non cambia affatto. L'apotema e la diagonale minore sono stampati come due uscite anche se uno è esattamente metà dell'altra, perché i due si quotano in mestieri diversi e la pagina preferisce stamparli entrambi piuttosto che farti dimezzare l'uno. Qui non c'è nulla che gestisca un esagono con un foro passante, un esagono disegnato su una superficie curva, o lo spessore di una piastrella o di un dado esagonale, che è una terza dimensione per cui questa pagina non ha un campo.

Domande frequenti

Perché per un esagono basta una sola misura?
Perché la pagina è per gli esagoni regolari, dove i sei lati sono uguali e i sei angoli sono fissi a 120 gradi. Quei due fatti lasciano da decidere soltanto la dimensione, e una lunghezza del lato la fissa. È questo che separa un esagono regolare da un rettangolo, che ha bisogno di due numeri, o da un triangolo generico, che ne ha bisogno di tre.
Che cos'è l'apotema e a che cosa serve?
È la distanza dal centro dell'esagono fino al punto medio di un lato, ed è il raggio del cerchio più grande che ci sta dentro. È utile perché è così che si misurano in pratica gli oggetti a facce piatte: un dado e la chiave che lo stringe si quotano entrambi fra i lati piatti, cioè due volte l'apotema, e non da vertice a vertice, che è invece la diagonale maggiore.
Quale diagonale è quale?
La diagonale maggiore va da un vertice attraverso il centro fino al vertice opposto ed è esattamente due volte il lato. La diagonale minore va fra due vertici che hanno un vertice in mezzo ed è radice di tre per il lato. La maggiore è circa il 15 per cento più lunga della minore, e la minore è esattamente due volte l'apotema.
Perché tre uscite hanno quattro decimali e le altre nessuno?
Perché le larghezze sono impostate per uscita e non per la pagina. L'area, la diagonale minore e l'apotema contengono tutte la radice di tre, che non finisce mai, quindi anche le loro risposte quasi mai finiscono, e vengono stampate con quattro cifre. Il perimetro è sei volte il lato e la diagonale maggiore è due volte il lato, quindi entrambi sono esatti quando lo è il lato: sono stampati con quattro cifre come larghezza fissa, e gli zeri finali semplicemente non si vedono. L'angolo interno vale 120 esatto, quindi è stampato come numero intero senza alcun punto decimale.
Come si confronta un esagono con un quadrato dello stesso lato?
L'esagono copre di più. Un esagono regolare di lato uno ha un'area di circa 2,6 unità quadrate contro 1 di un quadrato di lato uno, a parità di lunghezza del bordo: ma ha anche un perimetro più lungo per quel bordo, sei lati invece di quattro, quindi il confronto è onesto solo se lo si esprime come area per unità di bordo. È quell'efficienza che fa usare celle esagonali nei favi, negli inserti degli imballaggi e nei pannelli radianti.
Il lato può essere zero?
Sì, e tutte e cinque le uscite di dimensione tornano zero, che è la descrizione onesta di un esagono senza dimensione. Lo zero è trattato come un dato reale e non come una casella vuota, quindi una riga di zeri è una risposta. Una casella vuota è diversa: senza niente dentro la pagina non mostra alcun risultato, perché non c'è nulla da cui partire.
Perché l'angolo interno non cambia mai quando cambio il lato?
Perché è una proprietà della figura e non della sua dimensione. Gli angoli di un poligono sommano a numero di lati meno due, per 180 gradi; per sei lati fanno 720 gradi, e un esagono regolare li divide in parti uguali fra sei vertici, il che dà 120 ciascuno. In quel calcolo non compare mai la lunghezza del lato, quindi un esagono di lato 1 e uno di lato 10 hanno entrambi angoli di 120 gradi: e un esagono collassato in un punto continua a riportare 120, che è la risposta onesta per una figura che ha perso la dimensione ma non la forma.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del perimetroPerimetro delle figure piane più comuni dai loro lati.Calcolatrice area parallelogrammaArea e perimetro di un parallelogramma da basi e altezza.Calcolatrice del poligono regolareDai il numero di lati e ottieni area, perimetro e angoli.Calcolatrice dell'ottagonoArea, perimetro, apotema e tre diagonali di un ottagono.