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Calcolatrice dell'ottagono

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

173,8234 cm²

Area

Perimetro
48,0000 cm
Apotema
7,2426 cm
Diagonale minore
11,0866 cm
Diagonale media
14,4853 cm
Diagonale maggiore
15,6788 cm
Angolo interno
135 °

Una calcolatrice dell'ottagono prende la lunghezza del lato di un ottagono regolare e restituisce sette misure: l'area, il perimetro, l'apotema, le tre diagonali e l'angolo interno. Otto lati è il punto in cui un poligono regolare smette di essere una figura che si calcola a mente e comincia a essere una figura che si consulta, e l'ottagono è il primo di quelli che si incontrano nella vita di tutti i giorni. I segnali di stop, le piastrelle ottagonali, i tetti dei gazebo, le coperture delle vasche idromassaggio, i teli dei trampolini e le teste dei bulloni sono tutti ottagoni, e il motivo è quasi sempre lo stesso: l'ottagono è la figura che si ottiene tagliando gli angoli di un quadrato, quindi conserva i lati piatti e gli angoli retti del quadrato eliminando i quattro vertici che si impigliavano nelle cose. È anche il motivo per cui si incastra come si incastra: gli ottagoni piastrellano un pavimento solo se riempi i piccoli vuoti quadrati che restano tra loro, che è esattamente lo schema della piastrellatura ottagonale con inserti quadrati. L'aritmetica discende dai lati. Il perimetro è otto lati. L'angolo interno di un poligono regolare è fissato dal solo numero dei lati, e per otto lati vale 135 gradi: è il numero da ricordare di un ottagono, perché è quello che rende la figura tagliabile, dato che una troncatrice impostata a 67,5 gradi — la metà di 135 — è ciò che unisce due bordi di un ottagono, e una cornice di otto pezzi usa esattamente quell'impostazione. L'area è l'espressione con la radice di due: due per uno più la radice di due, per il lato al quadrato; vale la pena sapere che quella costante vale circa 4,83, quindi un ottagono di lato uno copre 4,83 unità quadrate contro l'uno di un quadrato dello stesso lato. L'apotema, la distanza dal centro al punto medio di un lato, è il lato per uno più la radice di due, diviso due. E l'ottagono ha tre diagonali invece delle due di un esagono, perché con otto vertici ci sono tre distanze distinte che si possono attraversare: quella corta che salta un vertice, quella media che ne salta due e quella lunga che va da parte a parte passando per il centro. La diagonale media è esattamente il doppio dell'apotema, e non è una coincidenza — vengono dalla stessa espressione, una divisa per due e l'altra no — mentre quella lunga è il diametro del cerchio circoscritto all'ottagono.

Ottagoni regolari da un lato di zero a un lato di dieci

Lato (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Apotema (cm)Diagonale corta (cm)Diagonale media (cm)Diagonale lunga (cm)Angolo interno (°)
6173.8234487.242611.086614.485315.6788135
14.828481.20711.84782.41422.6131135
219.3137162.41423.69554.82845.2263135
343.4558243.62135.54337.24267.8394135
5120.7107406.03559.238812.071113.0656135
7.5271.599609.053313.858218.106619.5984135
10482.84278012.071118.477624.142126.1313135
0000000135

Otto ottagoni, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. L'ultima colonna porta lo stesso numero su ogni riga, 135, ed è il suo senso e non un errore di copia e incolla: l'angolo interno di un ottagono regolare è fissato dall'avere otto lati, quindi non si muove quando si muove la dimensione, ed è l'unica cifra della pagina che sopravvive al lato che va a zero. Le due colonne da leggere insieme sono l'apotema e la diagonale media, che stanno in un rapporto fisso di uno a due su ogni singola riga — 1,2071 contro 2,4142, 6,0355 contro 12,0711, 12,0711 contro 24,1421 — perché entrambe vengono dalla stessa espressione, una divisa per due e l'altra no. È il controllo più economico su tutta la tabella: se la diagonale media di una riga non è esattamente il doppio del suo apotema, quella riga è sbagliata. La settima colonna, la diagonale lunga, risponde a una seconda domanda che l'etichetta non menziona: è il diametro del cerchio circoscritto all'ottagono, quindi ogni riga dice anche da quale tondo l'ottagono è uscito. Una coppia di celle ripete le cifre su due righe in un modo che sembra un errore e non lo è: la diagonale media al lato 5 è 12,0711, e lo è anche l'apotema al lato 10. È una conseguenza della regola del raddoppio e non una coincidenza — raddoppiando il lato raddoppia ogni lunghezza dell'elenco, quindi l'apotema dell'ottagono più grande deve cadere su una qualche lunghezza di quello più piccolo, e qui cade sulla diagonale media. La prima riga è anche quella che si allinea con le altre due pagine di poligoni al lato 6: 173,8234 qui, contro 93,5307 dell'esagono e 61,9372 del pentagono, quindi lo stesso spigolo compra più area quanti più lati ci sono. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo lato quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e le larghezze decimali sono le stesse che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 d_corta = s√(2 + √2) d_media = s(1 + √2) d_lunga = s√(4 + 2√2) angolo interno = 135°

Lato
La lunghezza di uno qualsiasi degli otto lati, in centimetri. Come in ogni poligono regolare è l'unico dato che si possa inserire, perché tutti e otto i lati sono uguali e tutti e otto gli angoli sono fissati a 135 gradi, quindi questo solo numero decide la dimensione dell'intera figura
Area
Lo spazio che l'ottagono copre, in centimetri quadrati: due per uno più la radice di due, per il lato al quadrato. La costante vale circa 4,828, ed è il numero da portarsi dietro: un ottagono copre quasi cinque volte l'area del quadrato disegnato su uno dei suoi lati
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: otto volte il lato, dato che tutti e otto sono uguali. È l'unico risultato che è sempre esatto quando lo è il lato, il che lo rende il numero su cui controllare gli altri quando un risultato sembra sbagliato
Apotema
La distanza dal centro al punto medio di un lato, in centimetri, cioè il lato per uno più la radice di due, diviso due. È il raggio del cerchio più grande che sta dentro l'ottagono, ed è il numero che fissa quanto distano tra loro i lati piatti: il doppio dell'apotema è l'ottagono misurato da piatto a piatto
Diagonale corta
La distanza tra due vertici con un vertice in mezzo, in centimetri, cioè il lato per la radice di due più la radice di due. È poco più corta della diagonale media e poco più lunga del lato, e su un ottagono è così vicina al lato che in un disegno le due si confondono facilmente
Diagonale media
La distanza tra due vertici con due vertici in mezzo, in centimetri: il lato per uno più la radice di due. È esattamente il doppio dell'apotema, perché entrambe sono la stessa espressione con un due in un posto diverso, ed è la diagonale attorno a cui è costruita la geometria dell'ottagono
Diagonale lunga
La distanza da un vertice al vertice opposto passando dritto per il centro, in centimetri, cioè il lato per la radice di quattro più due volte la radice di due. È la misura più larga che si possa prendere attraverso la figura ed è anche il diametro del cerchio circoscritto all'ottagono, quindi dividendola per due si ottiene il raggio con cui quel cerchio si disegna
Angolo interno
L'angolo tra due lati vicini, misurato dentro l'ottagono: 135 gradi, fissato dal solo numero dei lati. Non dipende per niente dalla lunghezza del lato, ed è per questo che questa colonna della tabella di riferimento porta lo stesso numero su ogni riga — un ottagono di lato 1 e un ottagono di lato 10 hanno lo stesso angolo interno, e cambia soltanto la loro dimensione
√2
La radice quadrata di due, circa 1,4142136. Compare in tutti i risultati tranne il perimetro e l'angolo interno, e c'è perché l'ottagono è il quadrato con gli angoli tagliati: tagliare un angolo a 45 gradi è esattamente da dove viene la radice di due

Questa pagina serve per l'ottagono come oggetto fisico, e i due casi più comuni sono il pezzo piatto e l'incastro tondo. Se stai tagliando un ottagono da un foglio o da una lastra — un piano di tavolo, una piastrella, una lastra di pavimentazione, la piastra di testa di un palo — l'area ti dice quanto materiale stai usando e l'apotema ti dice come tracciarlo. L'apotema è il numero da segnare per primo: il suo doppio è la larghezza da piatto a piatto, e sono i lati piatti quelli con cui si misura un ottagono tagliato, perché sui vertici è scomodo far passare una riga. La diagonale lunga dà poi la larghezza da vertice a vertice, che è ciò che decide se il pezzo finito entra nel cerchio da cui lo stai ricavando; quella stessa misura è il diametro del cerchio circoscritto all'ottagono, quindi un tondo grezzo di quel diametro contiene l'ottagono senza avanzo. Se stai costruendo qualcosa che unisce otto pezzi — una cornice, una lanterna, un tetto di gazebo — l'angolo interno di 135 gradi è il numero da cercare, perché il taglio a mitra di ogni pezzo è la sua metà, 67,5 gradi, e quell'impostazione vale per ogni ottagono di qualunque dimensione. Se invece il caso è l'incastro tondo, la diagonale lunga risponde alla domanda se l'ottagono passerà attraverso un'apertura circolare, e l'apotema risponde a quanta superficie piatta offre una volta arrivato lì. E se quello che vuoi è semplicemente confrontare un ottagono con un quadrato dello stesso lato, la costante dell'area 4,83 contro l'uno del quadrato è tutto il confronto: l'ottagono copre più terreno a parità di spigolo, ma ha anche il doppio degli spigoli, quindi quando quello che compri è materiale da taglio la colonna del perimetro è il numero più onesto.

Esempi svolti

  1. Un lato di 6

    1. Perimetro: 8 × 6 = 48
    2. Apotema: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7,242640…, che arrotonda a 7,2426
    3. Diagonale media: 6 × (1 + √2) = 14,485281…, che arrotonda a 14,4853
    4. Diagonale corta: 6 × √(2 + √2) = 11,086554…, che arrotonda a 11,0866
    5. Diagonale lunga: 6 × √(4 + 2√2) = 15,678754…, che arrotonda a 15,6788
    6. Area: 2 × (1 + √2) × 36 = 173,823376…, che arrotonda a 173,8234
    7. Angolo interno: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135, esatto

    È il dato con cui la pagina si apre, e in questa sola riga si vedono due controlli. La diagonale media, 14,4853, è esattamente il doppio dell'apotema, 7,2426 — vale su ogni lato, non solo su questo, perché entrambe vengono dalla stessa espressione con un due in un posto diverso. E la diagonale lunga di 15,6788 è il diametro del cerchio circoscritto all'ottagono, quindi un ottagono di lato 6 sta dentro un cerchio di diametro 15,6788 centimetri e non uno più piccolo. È anche la riga che si confronta con le due pagine vicine allo stesso lato: un lato di 6 dà 173,8234 qui, 93,5307 sulla pagina dell'esagono e 61,9372 su quella del pentagono — lo stesso spigolo, e più superficie racchiusa man mano che i lati aumentano.

  2. Un lato di 1

    1. Perimetro: 8 × 1 = 8
    2. Apotema: (1 + √2) ÷ 2 = 1,207106…, che arrotonda a 1,2071
    3. Diagonale media: 1 + √2 = 2,414213…, che arrotonda a 2,4142
    4. Diagonale corta: √(2 + √2) = 1,847759…, che arrotonda a 1,8478
    5. Diagonale lunga: √(4 + 2√2) = 2,613125…, che arrotonda a 2,6131
    6. Area: 2 × (1 + √2) = 4,828427…, che arrotonda a 4,8284
    7. Angolo interno: 135

    L'ottagono unitario, e la riga che mostra più chiaramente le due costanti: l'area è 4,8284 e la diagonale media è 2,4142, che è lo stesso numero diviso per due. Vale la pena soffermarsi sulla diagonale corta di 1,8478, perché è la diagonale che salta un solo vertice ed è meno del doppio del lato: i vertici di un ottagono sono vicini tra loro rispetto a quelli di un esagono, ed è questo che rende la figura quasi tonda. Contro un quadrato di lato uno, la cui area è 1, l'ottagono copre 4,83 volte tanto terreno.

  3. Un lato di 5

    1. Perimetro: 8 × 5 = 40
    2. Apotema: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6,035533…, che arrotonda a 6,0355
    3. Diagonale media: 5 × (1 + √2) = 12,071067…, che arrotonda a 12,0711
    4. Diagonale corta: 5 × √(2 + √2) = 9,238795…, che arrotonda a 9,2388
    5. Diagonale lunga: 5 × √(4 + 2√2) = 13,065628…, che arrotonda a 13,0656
    6. Area: 2 × (1 + √2) × 25 = 120,710678…, che arrotonda a 120,7107
    7. Angolo interno: 135

    Un ottagono di cinque centimetri, più o meno la dimensione di una piastrella piccola o della testa di un palo di recinzione. È la riga che si allinea con un'altra riga di questa stessa tabella in un modo che sembra un errore: la diagonale media di qui, 12,0711, ha le stesse quattro cifre dell'apotema al lato 10. Succede perché raddoppiare il lato raddoppia ogni lunghezza di questo elenco, quindi qualsiasi valore l'apotema assuma al lato 10 deve comparire da qualche parte al lato 5 — qui, come la diagonale che è esattamente il doppio dell'apotema dell'ottagono più piccolo. Niente viene calcolato due volte.

  4. Un lato di 10

    1. Perimetro: 8 × 10 = 80
    2. Apotema: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12,071067…, che arrotonda a 12,0711
    3. Diagonale media: 10 × (1 + √2) = 24,142135…, che arrotonda a 24,1421
    4. Diagonale corta: 10 × √(2 + √2) = 18,477590…, che arrotonda a 18,4776
    5. Diagonale lunga: 10 × √(4 + 2√2) = 26,131259…, che arrotonda a 26,1313
    6. Area: 2 × (1 + √2) × 100 = 482,842712…, che arrotonda a 482,8427
    7. Angolo interno: 135

    Un ottagono di dieci centimetri, che è una misura comune per una lastra di pavimentazione o per una piastrella decorativa. L'apotema di 12,0711 è il numero con cui tracciarlo: il suo doppio, 24,1421, è la larghezza da piatto a piatto, ed è la distanza che segni sul banco di lavoro. La diagonale lunga di 26,1313 è la larghezza da vertice a vertice, quindi un foro circolare di quel diametro è il più piccolo in cui questo ottagono passi. Confronta le due larghezze — 24,14 da piatto a piatto contro 26,13 da vertice a vertice — e hai l'ottagono in una riga sola: i vertici sporgono di circa l'8 per cento oltre i lati piatti, ed è tutto quello che il taglio degli angoli di un quadrato ha ottenuto.

  5. Un lato di 0

    1. Perimetro: 8 × 0 = 0
    2. Apotema: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
    3. Diagonale media: 0 × (1 + √2) = 0
    4. Diagonale corta: 0 × √(2 + √2) = 0
    5. Diagonale lunga: 0 × √(4 + 2√2) = 0
    6. Area: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
    7. Angolo interno: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135

    Zero è un dato legittimo e non una casella vuota, e questa riga è la dimostrazione più chiara di che cosa sia l'angolo interno: un ottagono di lato zero è collassato in un punto, sei delle sette cifre sono zero, e l'angolo interno è ancora 135 gradi. È una proprietà della figura e non della dimensione, quindi sopravvive alla dimensione che sparisce del tutto. Lasciare la casella vuota è il caso diverso: senza niente dentro la pagina non mostra alcun risultato.

Limiti

Questa pagina vale solo per gli ottagoni regolari: tutti e otto i lati della stessa lunghezza e tutti e otto gli angoli di 135 gradi. Un ottagono che non è regolare — per esempio un quadrato con gli angoli tagliati in modo diseguale, oppure uno allungato — non ha un lato unico e non si descrive con un solo numero, e la pagina ti restituirà in silenzio l'ottagono regolare con quel lato invece di dirti che la figura che hai in mente è un'altra. I risultati sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menu delle unità, quindi un lato inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire da solo. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e sono generose per un lato misurato: le ultime due cifre non significano niente se il dato inserito non era esatto. L'angolo interno è esatto a 135 gradi e per questo si stampa senza decimali, ma è lo stesso numero su ogni riga, quindi una pagina che sembra non reagire a un cambio di lato non si è bloccata — sei delle sette cifre si sono mosse. La pagina è bidimensionale e non ha un campo per lo spessore del materiale, quindi non può dare il volume di un prisma ottagonale, il peso di una piastra ottagonale o la profondità di un foro ottagonale. Non modella nemmeno gli inserti quadrati che riempiono i vuoti quando gli ottagoni si piastrellano insieme, che è una questione di posa e non la misura di una figura.

Domande frequenti

Perché l'angolo interno non cambia mai quando cambio il lato?
Perché gli angoli di un ottagono regolare sono fissati dal numero dei lati e da nient'altro. L'angolo interno di un poligono regolare è il numero dei lati meno due, per 180 gradi, diviso il numero dei lati; per otto lati fa 135 gradi, e in quell'espressione non compare nessuna lunghezza. Un ottagono di lato 1 e un ottagono di lato 100 hanno esattamente gli stessi angoli e differiscono solo per la dimensione. È il motivo per cui l'ultima colonna della tabella di riferimento porta lo stesso numero su ogni riga, ed è ciò che rende valida un'impostazione di taglio a 67,5 gradi per ogni ottagono che taglierai.
Quale delle tre diagonali è quale?
La diagonale corta salta un vertice ed è il lato per la radice di due più la radice di due, cioè 1,85 per un lato unitario. La diagonale media ne salta due ed è il lato per uno più la radice di due, cioè 2,41. La diagonale lunga passa dritta per il centro ed è il lato per la radice di quattro più due volte la radice di due, cioè 2,61. Un esagono ne ha solo due perché con sei vertici ci sono solo due distanze distinte; otto vertici ne danno tre. Quella media è esattamente il doppio dell'apotema, che è il modo più rapido per distinguerla dalle altre.
Che cos'è l'apotema e perché conta tanto in un ottagono?
È la distanza dal centro al punto medio di un lato, ed è il raggio del cerchio più grande che sta dentro la figura. In un ottagono conta più che in altre figure perché sono i lati piatti quelli con cui si misura il pezzo finito: il doppio dell'apotema è la larghezza da piatto a piatto, e a differenza dei vertici i lati piatti sono comodi da attraversare con una riga. Se stai tracciando un ottagono da tagliare, l'apotema è il primo numero da mettere sul lavoro.
Quanto è più grande un ottagono rispetto a un quadrato dello stesso lato?
Circa 4,83 volte l'area, dato che un ottagono unitario copre 4,8284 unità quadrate e un quadrato unitario ne copre 1. Quel numero è tutta la storia della figura: un ottagono è un quadrato con i quattro angoli tagliati, e tagliare gli angoli toglie area al quadrato lasciando però ai quattro lati piatti quasi tutta la loro larghezza. Ma l'ottagono ha anche otto spigoli invece di quattro, quindi se quello che compri è materiale per bordi o per cornici conviene confrontare i perimetri e non le aree.
Qual è il foro tondo più piccolo attraverso cui passa un ottagono?
Un cerchio il cui diametro è uguale alla diagonale lunga, dato che è la misura più ampia attraverso la figura e va da vertice a vertice passando per il centro. Per un lato di 10 sono 26,1313 centimetri. La stessa cifra letta al contrario è il diametro del cerchio in cui l'ottagono sta esattamente, con tutti e otto i vertici che lo toccano, ed è quella utile quando ricavi l'ottagono da un tondo e vuoi buttare via il meno possibile.
Un ottagono piastrella da solo un pavimento?
No, e i vuoti sono la parte interessante. Gli ottagoni appoggiati lasciano un piccolo buco quadrato ogni quattro, e quei quadrati sono esattamente il motivo per cui la piastrellatura ottagonale funziona come disegno: il classico pavimento a ottagoni e quadrati sono gli ottagoni che coprono e i quadrati che riempiono. La pagina misura un ottagono e non modella la posa, quindi quante piastrelle servano per un pavimento è un conto separato da quelli mostrati qui.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'esagonoArea, perimetro, apotema e diagonali di un esagono regolare.Calcolatrice del pentagonoArea, perimetro, apotema e diagonale in sezione aurea.Calcolatrice del poligono regolareDai il numero di lati e ottieni area, perimetro e angoli.Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.