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Calcolatrice del pentagono

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

61,9372 cm²

Area

Perimetro
30,0000 cm
Apotema
4,1291 cm
Diagonale
9,7082 cm
Angolo interno
108 °

Una calcolatrice del pentagono prende la lunghezza del lato di un pentagono regolare e restituisce cinque misure: l'area, il perimetro, l'apotema, la diagonale e l'angolo interno. Cinque lati è il punto in cui un poligono regolare comincia ad assomigliare a un cerchio invece che a una scatola, e il pentagono è il primo di quelli con una proprietà davvero sorprendente. L'angolo interno di un poligono regolare è fissato dal numero dei lati, e per cinque lati vale 108 gradi; la sua metà, 54 gradi, è il taglio a mitra che serve a una cornice a cinque lati, ed è il genere di numero che un corniciaio o un costruttore di lanterne va a cercare invece di ricavare. L'area è la radice di venticinque più dieci volte la radice di cinque, diviso quattro, per il lato al quadrato, e la costante viene circa 1,72 — un numero insolitamente compatto per una figura che si porta dentro una radice annidata. L'apotema, la distanza dal centro al punto medio di un lato, è il lato diviso due volte la tangente di 36 gradi. E la diagonale, cioè il segmento che unisce due vertici non vicini, ha la proprietà per cui la figura è famosa: è il lato moltiplicato per la sezione aurea, circa 1,618, su ogni pentagono di ogni dimensione. Quel rapporto è il motivo per cui il pentagono è dappertutto nel design e in natura mentre l'esagono è dappertutto nell'ingegneria. La sezione aurea è il numero per cui il tutto sta alla parte maggiore come la parte maggiore sta alla minore, e le diagonali di un pentagono regolare si tagliano esattamente in quella proporzione — ed è anche il motivo per cui la stella a cinque punte disegnata sulle diagonali di un pentagono non è altro che triangoli aurei impilati uno dentro l'altro, e per cui la figura compare sulle bandiere, nei loghi e nelle disposizioni a spirale di foglie e semi. Il pentagono è anche l'unica figura di questo lotto che non piastrella da sola il piano: i pentagoni regolari lasciano vuoti quando li appoggi bordo contro bordo, ed è per questo che una piastrellatura pentagonale ha bisogno di una seconda figura che riempia, e che la figura è più spesso decorativa che strutturale.

Pentagoni regolari da un lato di zero a un lato di dieci

Lato (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Apotema (cm)Diagonale (cm)Angolo interno (°)
661.9372304.12919.7082108
11.720550.68821.618108
26.8819101.37643.2361108
315.4843152.06464.8541108
543.0119253.4418.0902108
7.596.776937.55.161412.1353108
10172.0477506.881916.1803108
00000108

Otto pentagoni, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. L'ultima colonna porta lo stesso numero su ogni riga, 108, ed è la proprietà e non un errore di copia e incolla: l'angolo interno di un pentagono regolare è fissato dall'avere cinque lati, quindi non si muove quando si muove la dimensione, ed è l'unica cifra della pagina che sopravvive al lato che va a zero. La colonna da controllare è quella della diagonale, e si controlla allo stesso modo su ogni riga — dividila per il lato e ottieni la sezione aurea: 1,618 ÷ 1, 4,8541 ÷ 3, 8,0902 ÷ 5, 16,1803 ÷ 10, tutte uguali a 1,618. È la cosa più riconoscibile di questa figura e il motivo per cui compare nel design e nelle piante molto più di quanto a un poligono di cinque lati spetterebbe. Due celle di questa tabella ripetono le cifre su righe diverse in un modo che sembra un errore e non lo è: l'apotema al lato 10 è 6,8819, e lo è anche l'area al lato 2. Sono la stessa espressione con la radice raggiunta da direzioni diverse, una una lunghezza e l'altra un'area, e la coincidenza non significa niente oltre al fatto che le due espressioni capita che condividano un valore a quelle due dimensioni. La prima riga è anche quella che si confronta con le due pagine di poligoni che stanno accanto a questa al lato 6: 61,9372 qui, contro 93,5307 dell'esagono e 173,8234 dell'ottagono — lo stesso spigolo, e più superficie racchiusa quanti più lati ci sono, sulla strada verso il cerchio. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo lato quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e le larghezze decimali sono le stesse che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) diagonale = φ·s angolo interno = 108°

Lato
La lunghezza di uno qualsiasi dei cinque lati, in centimetri. Come in ogni poligono regolare è l'unico dato che si possa inserire: tutti e cinque i lati sono uguali e tutti e cinque gli angoli sono fissati a 108 gradi, quindi il lato da solo determina l'intera figura
Area
Lo spazio che il pentagono copre, in centimetri quadrati: la radice di venticinque più dieci volte la radice di cinque, diviso quattro, per il lato al quadrato. La costante vale circa 1,7205, ed è il numero da portarsi dietro — un pentagono copre circa 1,72 volte il quadrato disegnato su uno dei suoi lati
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: cinque volte il lato, dato che tutti e cinque sono uguali. È l'unico risultato che è sempre esatto quando lo è il lato, il che lo rende il numero su cui controllare gli altri quando un risultato sembra sbagliato
Apotema
La distanza dal centro al punto medio di un lato, in centimetri, cioè il lato diviso due volte la tangente di 36 gradi. È il raggio del cerchio più grande che sta dentro il pentagono, e il suo doppio è la larghezza della figura misurata da lato piatto a lato piatto
Diagonale
La distanza tra due vertici con un vertice in mezzo, in centimetri, cioè il lato per la sezione aurea. Su questa pagina c'è una sola diagonale e non due come sull'esagono, perché le cinque diagonali di un pentagono regolare sono tutte della stessa lunghezza — ognuna salta esattamente un vertice, quindi non esiste una coppia lunga-corta da distinguere
Angolo interno
L'angolo tra due lati vicini, misurato dentro il pentagono: 108 gradi, fissato dal solo numero dei lati. Non dipende dalla lunghezza del lato, ed è per questo che questa colonna della tabella di riferimento porta lo stesso numero su ogni riga. La sua metà, 54 gradi, è il taglio a mitra che serve a una cornice a cinque lati
φ
La sezione aurea, circa 1,6180339887, cioè il numero per cui la diagonale è il lato moltiplicato. È il rapporto in cui le diagonali di un pentagono si tagliano l'una con l'altra, ed è il motivo per cui questa figura compare nel design e nelle piante molto più spesso di quanto la sua aritmetica lascerebbe supporre
√5
La radice quadrata di cinque, circa 2,2360680. Compare nell'area attraverso l'espressione venticinque più dieci radice di cinque, ed è ciò che rende la sezione aurea un numero irrazionale invece di una frazione — uno più la radice di cinque, diviso due

Questa pagina serve per il pentagono come oggetto fisico, e i pentagoni sono di solito decorativi più che strutturali, il che cambia quello che vuoi dai numeri. Se ne stai tagliando uno da un foglio o da una lastra — un piano di tavolo, un cartello, una pietra da pavimentazione, una fioriera — l'area ti dice quanto materiale stai usando e l'apotema ti dice come tracciarlo dal centro, dato che il doppio dell'apotema è la larghezza da lato piatto a lato piatto ed è la misura su cui una riga si appoggia davvero. La diagonale è poi quella che ti dice se il pezzo finito entra nello spazio in cui deve andare, perché è la linea più ampia attraverso la figura, da vertice a vertice passando per il centro. Se stai costruendo qualcosa con cinque pezzi — una cornice, una lanterna, un tetto di gazebo, una fioriera — l'angolo interno di 108 gradi è il numero da cercare, dato che il taglio a mitra di ogni pezzo è la sua metà, 54 gradi, e quell'impostazione vale per ogni pentagono regolare di qualunque dimensione. La sezione aurea è il motivo per cui vale la pena guardare la colonna della diagonale anche quando non ti serve: è la firma della figura, e un pentagono la cui diagonale non sia 1,618 volte il suo lato non è un pentagono regolare, qualunque cosa sembri. E se stai confrontando figure invece di misurarne una, la tabella a parità di lato di questa pagina e delle due che le stanno accanto dà il confronto più onesto che ci sia: con un lato di 6 il pentagono copre 61,9372, l'esagono 93,5307 e l'ottagono 173,8234, quindi lo stesso spigolo compra più area quanti più lati ci sono, sulla strada verso il cerchio.

Esempi svolti

  1. Un lato di 6

    1. Perimetro: 5 × 6 = 30
    2. Diagonale: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, che arrotonda a 9,7082
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, che arrotonda a 4,1291
    4. Area: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, che arrotonda a 61,9372
    5. Angolo interno: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, esatto

    È il dato con cui la pagina si apre. Il controllo da fare è la diagonale divisa per il lato: 9,7082 ÷ 6 fa 1,618, che è la sezione aurea, e quel rapporto vale su ogni riga della tabella e su ogni pentagono regolare che sia mai esistito. È anche la riga che si allinea con le due pagine che le stanno accanto alla stessa lunghezza di lato: un lato di 6 dà 61,9372 qui contro 93,5307 sulla pagina dell'esagono e 173,8234 su quella dell'ottagono — stesso spigolo, più lati, più area. Il pentagono è il più piccolo dei tre ed è anche il più largo rispetto alla sua area, dato che con soli cinque lati è il meno simile a un cerchio.

  2. Un lato di 1

    1. Perimetro: 5 × 1 = 5
    2. Diagonale: φ × 1 = 1,6180339…, che arrotonda a 1,618
    3. Apotema: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, che arrotonda a 0,6882
    4. Area: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, che arrotonda a 1,7205
    5. Angolo interno: 108

    Il pentagono unitario, e la riga in cui le costanti stanno da sole: l'area è 1,7205, che è tutta la costante dell'area, e la diagonale è 1,618, che è la sezione aurea stessa. Vale la pena ricordarle entrambe in questa forma. Confronta l'area con quella del quadrato di lato uno, che è 1, e con lo 0,433 del triangolo e il 2,598 dell'esagono: cinque lati cadono tra un quadrato e un esagono, che è lo schema seguito da tutta la famiglia.

  3. Un lato di 3

    1. Perimetro: 5 × 3 = 15
    2. Diagonale: φ × 3 = 4,854101…, che arrotonda a 4,8541
    3. Apotema: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, che arrotonda a 2,0646
    4. Area: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, che arrotonda a 15,4843
    5. Angolo interno: 108

    La riga che mostra la sezione aurea nel suo momento più scomodo e quindi più convincente: la diagonale è 4,8541 e il lato è 3, e 4,8541 ÷ 3 fa 1,618. Un rapporto che esce con le stesse tre cifre su un lato di 1, su un lato di 3 e su un lato di 6 è una proprietà della figura e non dell'aritmetica. Questa riga ha anche l'area e il perimetro più vicini di tutta la tabella — 15,4843 contro 15 — che è un quasi incontro e non un'uguaglianza, e le due sono comunque grandezze diverse in unità diverse.

  4. Un lato di 10

    1. Perimetro: 5 × 10 = 50
    2. Diagonale: φ × 10 = 16,180339…, che arrotonda a 16,1803
    3. Apotema: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, che arrotonda a 6,8819
    4. Area: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, che arrotonda a 172,0477
    5. Angolo interno: 108

    Un pentagono di dieci centimetri, più o meno la dimensione di una pietra da pavimentazione. L'apotema di 6,8819 è il numero con cui tracciarlo: il suo doppio, 13,7638, è la larghezza da lato piatto a lato piatto. In questa riga c'è una coincidenza che vale la pena notare prima che sembri un errore: l'apotema di qui, 6,8819, ha le stesse quattro cifre dell'area al lato 2, più in alto nella tabella. Sono la stessa espressione con la radice raggiunta da direzioni diverse, una delle due una lunghezza e l'altra un'area, e il fatto che condividano quattro cifre a queste due dimensioni non significa niente di più.

  5. Un lato di 0

    1. Perimetro: 5 × 0 = 0
    2. Diagonale: φ × 0 = 0
    3. Apotema: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
    4. Area: 1,7204774… × 0 = 0
    5. Angolo interno: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

    Zero è un dato legittimo e non una casella vuota, e questa riga rende più chiara di tutte la natura dell'angolo interno: un pentagono di lato zero è collassato in un punto, quattro delle cinque cifre sono zero, e l'angolo interno è ancora 108 gradi. È una proprietà della figura e non della dimensione, quindi sopravvive del tutto alla dimensione che sparisce. Lasciare la casella vuota è il caso diverso: senza niente dentro la pagina non mostra alcun risultato, perché non c'è niente da cui partire.

Limiti

Questa pagina vale solo per i pentagoni regolari: tutti e cinque i lati della stessa lunghezza e tutti e cinque gli angoli di 108 gradi. Un pentagono che non è regolare — uno a forma di casetta, oppure uno allungato — non ha un lato unico e non si descrive con un solo numero, e la pagina ti restituirà in silenzio il pentagono regolare con quel lato invece di dirti che la figura che hai in mente è un'altra. I risultati sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menu delle unità, quindi un lato inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire da solo. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e sono generose per un lato misurato: le ultime due cifre non significano niente se il dato inserito non era esatto. L'angolo interno è esatto a 108 gradi e si stampa senza decimali, ma è lo stesso su ogni riga, quindi una pagina che sembra non reagire a un cambio di lato non si è bloccata — quattro delle cinque cifre si sono mosse. La diagonale è una sola e non due, e non è una dimenticanza: le cinque diagonali di un pentagono regolare sono tutte della stessa lunghezza, quindi non esiste una coppia lunga-corta da stampare. La pagina è bidimensionale e non ha un campo per lo spessore del materiale, quindi non può dare il volume di un prisma pentagonale o il peso di una piastra pentagonale. Non copre nemmeno la stella a cinque punte disegnata sulle diagonali, che è una figura fatta di triangoli equivalenti a più pentagoni e non un pentagono solo.

Domande frequenti

Perché la diagonale del pentagono è sempre 1,618 volte il suo lato?
Perché quel numero è la sezione aurea, e un pentagono regolare è uno dei posti in cui compare più chiaramente. Il rapporto è definito come quello per cui il tutto sta alla parte maggiore come la parte maggiore sta alla minore, e le diagonali di un pentagono si tagliano l'una con l'altra esattamente in quella proporzione — il che rende il rapporto tra diagonale e lato di nuovo lo stesso numero. Vale su ogni pentagono di ogni dimensione, ed è per questo che la colonna della diagonale nella tabella di riferimento si controlla dividendo la diagonale di una riga qualsiasi per il suo lato.
Perché la pagina mostra una sola diagonale quando quella dell'esagono ne mostra due?
Perché un pentagono regolare ha una sola lunghezza di diagonale. Ogni diagonale unisce due vertici con esattamente un vertice in mezzo, e per simmetria tutte e cinque vengono uguali. Un esagono è diverso: con sei vertici ci sono due distanze distinte, una che salta un vertice e una che va da parte a parte, quindi quella pagina le stampa entrambe. Stampare una diagonale lunga e una corta per un pentagono vorrebbe dire stampare due volte lo stesso numero e invitarti a cercare una differenza che non c'è.
Perché l'angolo interno non cambia mai quando cambio il lato?
Perché gli angoli di un pentagono regolare sono fissati dal numero dei lati e da nient'altro. L'angolo interno di un poligono regolare è il numero dei lati meno due, per 180 gradi, diviso il numero dei lati; per cinque lati fa 108 gradi, e in quell'espressione non compare nessuna lunghezza. Un pentagono di lato 1 e un pentagono di lato 100 hanno gli stessi angoli e differiscono solo per la dimensione. È il motivo per cui l'ultima colonna della tabella di riferimento porta lo stesso numero su ogni riga, ed è ciò che rende valida un'impostazione di taglio a 54 gradi per ogni pentagono che taglierai.
Che cos'è l'apotema e a cosa serve qui?
È la distanza dal centro al punto medio di un lato, ed è il raggio del cerchio più grande che sta dentro la figura. Per un pentagono è il numero con cui tracciare la figura: il suo doppio è la larghezza da lato piatto a lato piatto, e sui lati piatti una riga si appoggia facilmente mentre sui vertici no. Se stai tracciando un pentagono su un foglio, misura l'apotema dal centro cinque volte e hai i punti medi di tutti e cinque i lati.
I pentagoni regolari piastrellano un pavimento?
No, ed è l'unica figura della famiglia che non ci riesce. Tre pentagoni regolari attorno a un punto lasciano un vuoto, perché tre volte 108 gradi fa 324 e un giro completo è 360 — i 36 gradi che mancano non si riempiono mai. È il motivo per cui i pavimenti pentagonali hanno bisogno di una seconda figura che riempia, ed è la ragione per cui il pentagono è più spesso decorativo che strutturale mentre l'esagono, che piastrella perfettamente, è la forma delle piastrelle e dei favi.
Il lato può essere zero, ed è la stessa cosa di lasciare la casella vuota?
Zero è un dato reale: quattro dei cinque risultati tornano zero, che è la risposta onesta per un pentagono senza dimensione, e l'angolo interno è ancora 108 gradi perché non dipende per niente dalla dimensione. Una casella vuota è diversa — senza niente inserito la pagina non mostra alcun risultato, perché non c'è niente da cui partire. Quella distinzione conta mentre stai digitando, dato che svuotare la casella per riscrivere un numero non deve far lampeggiare una riga di zeri.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'esagonoArea, perimetro, apotema e diagonali di un esagono regolare.Calcolatrice dell'ottagonoArea, perimetro, apotema e tre diagonali di un ottagono.Calcolatrice del poligono regolareDai il numero di lati e ottieni area, perimetro e angoli.Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.