Calcolatrice dell'intervallo medio

intervallo medio = (min + max) / 2

min

Il valore più piccolo dell'insieme di dati. Nel calcolo entrano solo questo e il valore più grande, quindi tutti i valori intermedi possono cambiare senza spostare il risultato

max

Il valore più grande dell'insieme di dati. Vale la pena controllare la coppia di estremi prima di fidarsi della risposta, dato che una sola cifra digitata male finisce dritta nel risultato

intervallo medio

Il punto centrale fra gli estremi, nelle stesse unità di misura dei dati. Sta sempre fra il valore più piccolo e il più grande, e coincide con entrambi quando la lista contiene un solo valore. Sul pannello dei risultati compare come punto medio dell'intervallo

media

La media aritmetica, stampata accanto all'intervallo medio per il confronto. Lo scarto fra i due mostra quanta parte dei dati sta lontana dal centro degli estremi

L'intervallo medio è il riassunto giusto quando il soggetto sono gli estremi: il punto centrale fra la temperatura massima e minima di una giornata, il centro fra il livello più alto e il più basso di un fiume in un anno, il centro fra il miglior punteggio e il peggiore di una gara, il punto medio fra una richiesta e un'offerta. In tutti questi casi i due estremi sono i dati: non stai campionando da una popolazione più grande, stai descrivendo un intervallo che ha due capi. È la scelta sbagliata quando conta l'interno dei dati, perché scarta tutto tranne due punti e ha quindi una varianza più alta della media o della mediana su qualsiasi campione reale. Non è nemmeno la stessa cosa della mediana: per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9 la mediana è 4,5 e l'intervallo medio è 5,5, e i due coincidono solo per dati simmetrici. Usalo come stima rapida del centro quando ti basta un numero approssimativo: si legge da una tabella di valori massimi e minimi senza nessun altro calcolo.

1. Otto valori: l'intervallo medio è 5,5, la media è 5

   1. Il valore più piccolo è 2 e il più grande è 9
   2. intervallo medio = (2 + 9) / 2 = 5,5
   3. La media della stessa lista è 40 / 8 = 5 — mezzo punto più in basso, perché sei degli otto valori stanno a 5 o sotto

   I due numeri non concordano, ed è la parte utile. L'intervallo medio vede soltanto che i dati cominciano a 2 e finiscono a 9; la media vede anche che i dati si addensano verso il basso. Nessuno dei due è sbagliato: rispondono a domande diverse, e stamparli entrambi permette di capire a colpo d'occhio se i dati sono distribuiti uniformemente fra i loro estremi o ammassati da un lato.

2. Un valore cambiato: l'intervallo medio più che raddoppia

   1. È cambiato solo il valore più grande, da 9 a 90: gli altri sette sono identici al primo esempio
   2. intervallo medio = (2 + 90) / 2 = 46
   3. La media della stessa lista è 121 / 8 = 15,125, salita da 5

   L'intervallo medio si è spostato di più di quaranta unità mentre la media si è spostata di dieci. L'intervallo medio assorbe metà di qualsiasi cambiamento di un valore estremo, senza nulla che lo diluisca; la media distribuisce lo stesso cambiamento su ogni valore della lista. Se una lettura dei tuoi dati non è affidabile, l'intervallo medio sbaglierà della metà di quell'errore, ed è per questo che si riserva ai casi in cui gli estremi sono il punto.

3. Temperature sotto e sopra lo zero

   1. La lettura più fredda è −10 e la più calda è 40
   2. intervallo medio = (−10 + 40) / 2 = 30 / 2 = 15
   3. I valori negativi non richiedono nessun trattamento speciale: si sommano al massimo, quindi una lista che attraversa lo zero si comporta esattamente come una che non lo attraversa

   L'intervallo medio giornaliero riportato da un servizio meteo è questo numero: il punto centrale fra la minima e la massima del giorno, non la media delle letture orarie. Vale la pena conoscere quella convenzione, perché i due valori differiscono ogni volta che la temperatura ha passato più tempo vicino a un capo del suo intervallo che all'altro.

L'intervallo medio non è robusto, e il motivo è strutturale e non questione di grado: è calcolato dai due punti più estremi, quindi non ha difese contro una cifra digitata male, un disturbo dello strumento o un'osservazione davvero insolita. Il suo uso è di norma ristretto alle situazioni in cui ciò che conta è il comportamento agli estremi. Non è nemmeno la mediana, nonostante il nome simile che ha in alcune lingue: la mediana è il valore centrale della lista ordinata e l'intervallo medio è il punto centrale fra gli estremi, e coincidono solo per dati simmetrici rispetto al proprio centro. Con un valore solo l'intervallo medio, la media, il valore più piccolo e il più grande sono tutti quell'unico numero. La lista è limitata a 200 valori, e un numero come 1,500 viene rifiutato invece di essere interpretato, perché una virgola fra le cifre è un segno decimale in alcuni paesi e un separatore di migliaia in altri. Questa pagina non segnala i valori anomali: gli estremi che definiscono l'intervallo medio sono esattamente i valori che una regola del genere metterebbe alla prova.

Come si calcola l'intervallo medio?

Somma il valore più piccolo al più grande e dividi per due: intervallo medio = (min + max) / 2. Per la lista 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 è (2 + 9) / 2 = 5,5. Nessun altro valore dell'insieme partecipa, quindi non serve ordinare la lista: servono i due estremi, e una scorsa veloce basta di solito a trovarli. La calcolatrice qui sopra stampa il minimo e il massimo che ha usato, così la somma si può controllare.

L'intervallo medio è una misura di posizione o di dispersione?

È una misura di posizione: un modo per dire all'incirca dove stanno i dati, come la media e la mediana. È facile scambiarlo per una misura di dispersione perché i due estremi che lo definiscono definiscono anche il campo di variazione, e perché le due formule distano un'operazione: il campo di variazione è max − min e l'intervallo medio è (max + min) / 2. Rispondono a domande diverse. Il campo di variazione dice quanto sono larghi i dati; l'intervallo medio dice dove sta il loro centro. Il riferimento standard lo elenca fra le misure di posizione e non fra quelle di scala.

Perché l'intervallo medio non è robusto?

Perché è costruito dai due valori più estremi del campione e da nient'altro, quindi qualsiasi errore in uno dei due finisce dritto nella risposta, e se ne assorbe solo la metà. Nell'esempio, cambiare 9 in 90 fa saltare l'intervallo medio da 5,5 a 46, mentre la media si sposta soltanto da 5 a 15,125. Quella sensibilità è preziosa quando gli estremi sono ciò che stai misurando, come in una massima e una minima giornaliera, ed è un difetto quando non lo sono.

L'intervallo medio è la stessa cosa della mediana?

No. La mediana è il valore centrale della lista ordinata, quindi con otto valori è la media del quarto e del quinto: (4 + 5) / 2 = 4,5. L'intervallo medio è il punto centrale fra i due estremi: (2 + 9) / 2 = 5,5. Coincidono solo quando i dati sono simmetrici rispetto al loro centro, e lo scarto fra i due è di per sé informativo: qui l'intervallo medio sta sopra la mediana, il che significa che la metà superiore dei dati è più allungata dal centro di quella inferiore.

Quando userei davvero l'intervallo medio?

Quando i due estremi sono i dati, e non un campione di qualcosa di più grande. Un riepilogo meteo che riporta la massima e la minima del giorno sta descrivendo un intervallo medio. Lo stesso vale per un controllo di tolleranza in produzione, dove il capitolato dà un minimo e un massimo e tu vuoi il loro centro. È anche una prima stima utile quando sono stati registrati solo gli estremi: se una tabella elenca il preventivo più basso e il più alto, l'intervallo medio è il punto centrale di quella forbice, disponibile senza sapere nulla dei prezzi intermedi.

E se tutti i valori sono uguali, o ce n'è uno solo?

Entrambi i casi funzionano e danno lo stesso valore. Con il solo valore 42, il più piccolo e il più grande sono entrambi 42, quindi l'intervallo medio, la media, il minimo e il massimo valgono tutti 42: a questo calcolo non serve una seconda osservazione. Lo stesso vale per 3, 3, 3, 3, dove gli estremi sono uguali e l'intervallo medio è 3. Qui non c'è un numero minimo di valori, a differenza della varianza e della deviazione standard, che hanno bisogno di un divisore e quindi di più di un valore.

• Measures of Location — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (lists the midrange among the alternative measures of location as (smallest + largest)/2, and states that it is not robust because it is based on the two most extreme points) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the companion list of spread measures, where the midrange does not appear — the reason this page treats it as a measure of location) — National Institute of Standards and Technology
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the location measures; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China