Calcolatrice IRR

Trova r tale che −investimento iniziale + CF₁ ÷ (1+r) + CF₂ ÷ (1+r)² + … + CFₙ ÷ (1+r)ⁿ = 0. Non esiste una soluzione algebrica per r quando i periodi sono più di un paio, quindi lo si trova restringendo un intervallo finché il valore attuale netto non è zero su due decimali.

Investimento iniziale

Quanto ti costa il progetto oggi, nel momento in cui cominci. Si inserisce come numero positivo e viene sottratto nell'equazione invece di essere scritto come flusso di cassa negativo, il che tiene la convenzione dei segni in vista invece che sepolta nell'elenco.

Flussi di cassa

Quello che rientra, periodo per periodo, separato da spazi. La prima voce è a un periodo da adesso, non adesso: il denaro incassato al giorno zero appartiene all'investimento iniziale come riduzione. I periodi sono quelli che vuoi, mesi o anni, purché il tasso di attualizzazione sia espresso sullo stesso periodo.

Tasso di attualizzazione

Il tuo tasso di soglia su questa pagina: quanto ti costa il denaro, o il rendimento che potresti ottenere altrove allo stesso rischio. Non cambia affatto il tasso interno di rendimento. Decide se il progetto supera l'asticella, quindi è il numero che trasforma un tasso in una risposta.

Valore attuale netto

Quanto vale oggi il progetto una volta attualizzato ogni incasso futuro al tuo tasso e sottratto il costo. Positivo significa che batte il tasso di soglia; il tasso interno di rendimento è il tasso al quale questa cifra attraversa lo zero.

Tasso interno di rendimento

Il tasso di attualizzazione che azzera il valore attuale netto, espresso in percentuale. È una proprietà dei soli flussi di cassa — lo stesso progetto ha lo stesso tasso interno di rendimento qualunque sia il tasso di soglia che stai usando — ed è esattamente per questo che le due uscite possono non discordare su nulla e sembrare comunque consigli opposti.

Usala quando vuoi confrontare un progetto con un costo del capitale invece che con un altro progetto, che è la domanda da cui parte di solito la valutazione degli investimenti. Un tasso è facile da citare — questo progetto rende il 22 per cento, il nostro denaro costa l'8 — e non dipende dal sapere quanto devi investire, quindi funziona come primo filtro su una lista lunga di candidati. Tre cose che non sa fare. Non dice nulla sulla dimensione: un progetto che rende il 200 per cento su 1000 investiti e uno che rende il 25 per cento su un milione possono avere lo stesso tasso interno di rendimento, e solo il valore attuale netto ti dice quale preferire. Presuppone che ogni incasso sia reinvestito a quel medesimo tasso fino alla fine, che è un'ipotesi forte su un tasso molto alto: l'aritmetica è giusta, il racconto che ci si attacca è ottimista. E richiede che i flussi di cassa cambino segno una sola volta: una spesa, poi gli incassi. Quando in un periodo successivo c'è un costo, l'equazione può avere più di una soluzione, e questa pagina rifiuta quell'input invece di restituire in silenzio una delle radici.

1. 100.000 investiti, 205.000 restituiti in sei anni, denaro che costa l'8 per cento

   1. Gli incassi totalizzano 205.000 contro un costo di 100.000, ma questo confronto ignora quando arriva il denaro
   2. Attualizzando ogni anno all'8 per cento si ottiene un valore attuale di 153.968,13 contro il costo di 100.000, quindi il valore attuale netto è 53.968,13
   3. Risolvendo per il tasso che azzera il valore attuale netto si ottiene 22,49 per cento
   4. 22,49 è sopra il tasso di soglia dell'8 per cento, quindi il verdetto è accettare

   Leggi le due risposte insieme. Il tasso interno di rendimento dice che il progetto può sopportare un costo del capitale fino al 22,49 per cento, e il valore attuale netto dice che all'8 per cento vale 53.968,13 più di quanto costi — lo stesso giudizio, uno espresso come tasso e uno come denaro. La terza cifra, 205.000, è lì per essere sottratta all'investimento da chi vuole saltare l'attualizzazione: è 105.000 più del costo, e con un tasso di soglia pari a zero il valore attuale netto sarebbe esattamente quello.

2. Un solo incasso: 10.000 dentro, 12.000 indietro un periodo dopo

   1. Con un solo periodo c'è una forma chiusa: 12.000 ÷ 10.000 − 1 = 20 per cento
   2. Attualizzando i 12.000 al 20 per cento si ottengono 10.000, che è esattamente il costo
   3. Valore attuale netto: 10.000 − 10.000 = 0
   4. Il verdetto è pareggio

   Questo è il caso su cui la pagina verifica il proprio risolutore, perché la risposta si ricava a mano. È anche l'unico punto in cui un verdetto può sembrare strano: il valore attuale netto si visualizza come 0,00 e il badge dice pareggio invece che rifiutare. Tutto ciò che si arrotonda a zero su due decimali viene riportato come pareggio, perché un verdetto di rifiuto stampato accanto a un valore attuale netto di 0,00 si legge come un errore di aritmetica — e il lettore confronta il badge proprio con quello che vede.

3. Lo stesso progetto giudicato contro un tasso di soglia del 25 per cento

   1. Il tasso interno di rendimento resta invariato al 20 per cento: non dipende dal tasso di soglia
   2. Attualizzando 12.000 al 25 per cento si ottengono 9600
   3. Valore attuale netto: 9600 − 10.000 = −400
   4. Il 20 per cento è sotto il tasso di soglia del 25 per cento, quindi il verdetto si ribalta in rifiutare

   Due esecuzioni dello stesso progetto con la stessa prima uscita e verdetti opposti, che è il modo più chiaro di vedere a che serve ciascuna cifra. Il tasso interno di rendimento descrive il progetto; il tasso di soglia descrive te. Cambiane uno e il verdetto può ribaltarsi senza che sia cambiato nulla del progetto.

4. Un progetto che distrugge valore: 10.000 dentro, 5000 indietro

   1. Ancora un solo periodo, quindi vale la forma chiusa: 5000 ÷ 10.000 − 1 = −50 per cento
   2. Anche senza alcuna attualizzazione l'incasso sta 5000 sotto il costo
   3. Valore attuale netto con tasso di soglia zero: 5000 − 10.000 = −5000
   4. Il verdetto è rifiutare, e il tasso negativo è la descrizione onesta

   Un tasso interno di rendimento negativo è una risposta reale, non un errore: dice che il progetto andrebbe in pareggio solo se potesse essere finanziato a un costo del capitale negativo, cioè che non può. È il caso che decide il limite inferiore del risolutore: una versione di questa pagina che prendesse in prestito l'intervallo da zero a cento per cento di un risolutore di rendimento obbligazionario darebbe qui un errore invece di restituire meno 50.

5. Diecimila dentro, una unità indietro dopo cinque anni

   1. Gli zeri nei primi quattro periodi sono legittimi: non arriva denaro, ma non se ne spende nemmeno
   2. L'equazione diventa 1 ÷ (1+r)^5 = 10.000 ÷ 10.000, quindi (1+r)^5 = 0,0001
   3. Risolvendo si ottiene r = −84,15 per cento, non −100 per cento, perché l'incasso è piccolo ma non nullo
   4. Valore attuale netto con tasso di soglia zero: 1 − 10.000 = −9999

   Input legittimi possono spingere la risposta molto sotto zero, e la pagina deve arrivarci, altrimenti segnalerebbe un errore su una serie di numeri perfettamente ben definita. La distinzione da tenere: questo progetto ha un tasso interno di rendimento di meno 84 per cento, mentre un progetto che non restituisce nulla non ha alcun tasso interno di rendimento, perché nessun tasso può rendere il valore di nulla uguale a un costo.

Il tasso interno di rendimento è un tasso, e i tassi nascondono la dimensione. Due progetti possono condividere un tasso pur differendo di mille volte nel denaro in gioco, quindi questa cifra è un filtro più che una decisione: una volta che una rosa di candidati supera il tasso di soglia, è il valore attuale netto a ordinarli. Presuppone inoltre che gli incassi siano reinvestiti al tasso interno di rendimento stesso fino alla fine del progetto, che è una descrizione ragionevole quando il tasso è modesto e una forzatura quando è del 200 per cento: l'aritmetica regge ancora, ma l'interpretazione che guadagnerai quel tasso su ogni euro nel frattempo no. I flussi di cassa devono cambiare segno esattamente una volta, una spesa seguita da incassi; un progetto con un costo di smantellamento nell'ultimo anno può avere due tassi matematicamente validi, e questa pagina rifiuta quell'input invece di sceglierne uno. Il tasso non è corretto per il rischio, le imposte o l'inflazione, e il tasso di attualizzazione che fornisci si porta da solo tutte quelle ipotesi.

Che cos'è il tasso interno di rendimento?

È il tasso di attualizzazione al quale i flussi di cassa futuri di un progetto valgono esattamente quanto il progetto costa, cioè il tasso al quale il valore attuale netto è zero. Sopra quel tasso il progetto crea valore; sotto, il progetto distrugge valore. Sui numeri predefiniti, investire 100.000 e incassare 205.000 in sei anni dà un tasso interno di rendimento del 22,49 per cento, il che significa che il progetto può sopportare un costo del capitale fino al 22,49 per cento prima di smettere di valere la pena.

In che cosa è diverso dal valore attuale netto?

Sono la stessa equazione con due incognite diverse. Il valore attuale netto prende il tasso di attualizzazione come dato e ti dice quanto vale il progetto; il tasso interno di rendimento prende il valore come dato, a zero, e ti dice quale tasso di attualizzazione lo produce. Siccome sono una sola equazione, non possono mai contraddirsi: un tasso sopra il tuo tasso di soglia e un valore attuale netto positivo sono la stessa affermazione. Quello che cambia è ciò che devi sapere prima di poterli calcolare: il valore attuale netto richiede il tuo costo del capitale, mentre un tasso si può citare senza, ed è per questo che i tassi si confrontano fra progetti e i valori attuali netti si usano per ordinarli.

Che cosa devo usare come tasso di soglia?

Quello che il denaro ti costa davvero per questo progetto: un tasso di finanziamento se è finanziato a debito, il rendimento che ti aspetteresti altrimenti dallo stesso denaro a rischio simile se non lo è, oppure un tasso pubblicato dove una norma lo impone. La pagina non lo sceglie per te, ed è l'input più facile da fissare in modo arbitrario. Il suo ruolo si vede bene eseguendo due volte lo stesso progetto: con un tasso di soglia del 20 per cento un progetto che rende il 20 per cento va in pareggio, e al 25 per cento lo stesso identico progetto viene rifiutato. Si è mossa solo l'asticella.

Perché il tasso interno di rendimento non si risolve con una formula?

Perché non c'è una formula. Un incasso singolo ha una forma chiusa — 12.000 indietro su 10.000 fanno il 20 per cento — ma da due periodi in poi l'equazione è un polinomio di quel grado, e nessun riarrangiamento isola il tasso. La calcolatrice invece restringe un intervallo: trova un tasso al quale il valore attuale netto è positivo e uno al quale è negativo, poi dimezza ripetutamente la distanza fra i due finché il valore non è zero entro due decimali. È anche per questo che la pagina è attenta all'intervallo che esplora, visto che un progetto che rende meno 84 per cento deve caderci dentro.

Perché i flussi di cassa non possono contenere un numero negativo?

Perché la risposta smetterebbe di essere unica. Con una spesa seguita da incassi, il valore attuale netto scende in modo costante al crescere del tasso, quindi c'è esattamente un tasso al quale attraversa lo zero, e cercarlo è garantito che lo trovi. Metti un costo in un periodo successivo — una fattura di smantellamento al quinto anno — e la curva può piegarsi all'indietro e attraversare lo zero due volte, dando due tassi interni di rendimento matematicamente validi. La pagina rifiuta i flussi di cassa negativi e lo dice, invece di restituire una delle due radici senza nulla sullo schermo che indichi che l'altra esiste.

Il tasso interno di rendimento può essere negativo?

Sì, e significa che il progetto non restituisce il denaro che consuma. Investire 10.000 e riceverne indietro 5000 dà meno 50 per cento, cioè il progetto andrebbe in pareggio solo se il denaro costasse meno di nulla. La pagina cerca deliberatamente sotto lo zero per questa ragione: un'implementazione che prendesse in prestito un intervallo che parte da zero, come fa ragionevolmente un risolutore di rendimento obbligazionario, segnalerebbe un errore su questa serie di numeri del tutto ordinaria.

Quando il tasso interno di rendimento è lo strumento sbagliato?

Quando i progetti differiscono per dimensione o per durata, e quando la risposta dipende da che cosa fai del denaro nel frattempo. Un tasso non vede la scala, quindi un progetto piccolo con un tasso spettacolare può superare in classifica un progetto grande che crea molto più valore in denaro, ed è per questo che la valutazione degli investimenti affianca il tasso al valore attuale netto invece di usarlo da solo. Presuppone inoltre in silenzio che gli incassi siano reinvestiti allo stesso tasso fino alla fine, che è una descrizione ragionevole all'8 per cento e una speranza al 200. Dove conta una delle due cose, ordina per valore attuale netto e usa il tasso come filtro.

• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs (revised November 9, 2023) — section 5a on the decision rule this page's verdict follows: projects with positive discounted net benefits generally increase welfare the most and are preferred, while those with negative discounted net benefits should generally be avoided — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)
• Compound Interest — the glossary definition of the growth that discounting runs backwards, which is the whole of the arithmetic behind a present value — Investor.gov, U.S. Securities and Exchange Commission (United States)