Come si ricava il tasso d'interesse da una rata mensile?

Il tasso è quello al quale la rata mensile, ripetuta per tutta la durata del prestito e attualizzata a oggi, vale esattamente l'importo preso in prestito. Non c'è modo di ricavarlo con l'algebra ordinaria — l'incognita sta dentro una potenza — quindi va risolto per tentativi, ed è quello che questa pagina fa in qualche decina di iterazioni. È lo stesso calcolo che un finanziatore esegue per produrre il tasso percentuale annuo, percorso dal lato della rata invece che da quello del tasso.

Perché non c'è un campo per il tasso d'interesse?

Perché lo scopo della pagina è ricavare il tasso da quello che pagherai davvero. Se il tasso fosse un input, la risposta sarebbe un'eco di ciò che vi è stato digitato. Lasciarlo fuori significa che la cifra sul pannello dipende solo dalle tre cose che puoi verificare — quanto è stato preso in prestito, quanto esce dal tuo conto ogni mese e quante volte — e sono anche le tre cose che un finanziatore non può facilmente contestare.

La risposta è la stessa cosa del tasso percentuale annuo?

È la stessa equazione, e se le due cifre coincidano dipende da un solo input. Il tasso percentuale annuo mette in relazione il valore effettivamente ricevuto con i pagamenti fatti, quindi tiene conto delle spese; questa pagina mette in relazione quello che digiti come importo preso in prestito con le rate. Digita l'importo del contratto e ottieni il tasso nominale, perché le spese non sono nell'aritmetica. Digita l'importo che è arrivato sul tuo conto dopo che le spese sono state trattenute e ottieni il tasso percentuale annuo, perché ora la spesa è nell'aritmetica. Stesso calcolo, capitale diverso.

Perché il tasso è più basso di quello che otterrei capitalizzando?

Perché il pannello moltiplica il tasso mensile per dodici invece di comporlo. Un prestito risolto al 6,771 per cento l'anno è 0,564242 per cento al mese, e dodici di quei valori moltiplicati fra loro danno il 6,985 per cento — la differenza sono gli interessi sugli interessi, che su un prestito ammortizzato non si producono perché il saldo cala invece di accumularsi. Moltiplicare il tasso periodale per il numero di periodi è la convenzione che le informative sul credito usano per annualizzare, quindi la cifra qui coincide con quella che un'informativa stamperebbe.

E se il prestito ha una maxirata finale o mesi di soli interessi?

Allora una singola rata mensile non lo descrive, e la risposta è una media anziché un tasso. Il risolutore presuppone la stessa rata ogni mese per tutta la durata; un piano con un grosso pagamento finale o una serie di mesi di soli interessi ha una forma diversa, e forzarlo in un'unica cifra mensile produce un tasso troppo alto o troppo basso a seconda di quali rate hai mediato. Su quei prestiti chiedi il tasso percentuale annuo, che si calcola dal piano di pagamenti effettivo e non da una sua media.

La pagina riesce sempre a trovare un tasso?

No, e lo dice invece di tirare a indovinare. Se le rate sono troppo piccole per rimborsare il capitale lungo la durata a qualunque tasso concepibile — 200.000 rimborsati a 555 al mese in trent'anni non estinguono mai il debito, qualunque sia il tasso — l'equazione non ha soluzione e la pagina segnala un errore. Lo stesso accade nella direzione opposta, quando una singola rata arriva ad almeno il doppio del capitale su una durata di un mese: lì il tasso mensile implicato supererebbe il 100 per cento, cioè il 1200 per cento su base annua, e la pagina rifiuta l'input anziché stamparlo. Accade anche quando il numero di rate non è un numero intero positivo di mesi. In quei casi gli input descrivono qualcosa che non è un prestito, e nessun tasso li renderebbe tali.

Calcolatrice del tasso d'interesse

Risultato

6,771%

Tasso annuo nominale (%)

Interessi totali: 268.000,00
Totale pagato: 468.000,00

Una calcolatrice del tasso d'interesse lavora l'equazione al contrario. Quasi ogni pagina di questo gruppo parte da un tasso e calcola una rata; questa parte dalla rata e calcola il tasso. Inserisci l'importo preso in prestito, quanto paghi ogni mese e per quanti mesi lo paghi, e la pagina risolve il tasso annuo che quei tre numeri implicano, riportando poi anche gli interessi totali. È il tasso al quale le rate, attualizzate a oggi, valgono esattamente l'importo erogato — né più né meno. Su 200.000 rimborsati a 1300 al mese per trent'anni, quel tasso è il 6,771 per cento l'anno. Paga invece 1199,10 al mese ed è esattamente il 6 per cento, perché 1199,10 è la rata che un prestito di quella dimensione e durata al 6 per cento richiede. Due cose rendono la cifra degna di essere capita e non solo letta. La prima è che cosa misura. La definizione federale del tasso percentuale annuo lo chiama una misura del costo del credito, espressa come tasso annuo, che mette in relazione l'importo e la cadenza del valore ricevuto dal consumatore con l'importo e la cadenza dei pagamenti effettuati — cioè esattamente la relazione che questa pagina risolve, affrontata dal lato della rata. La seconda è che sul pannello non c'è alcun campo per il tasso. Non c'è nessun posto dove digitare quello che qualcuno ti ha detto essere il tasso, quindi la risposta non può esserne contaminata: tutto ciò che compare sul pannello viene dal flusso di cassa che hai inserito. È questo che rende la pagina il modo onesto di controllare un prestito. Se un finanziatore dichiara il 6 per cento e la rata su 200.000 in trent'anni ne implica il 7,4, allora il 7,4 è quanto costano davvero quelle rate, e lo scarto è o una spesa che è stata aggiunta al saldo o un errore nella quotazione. Entrambe le cose vale la pena saperle prima di firmare. L'unica convenzione da tenere a mente è come viene annualizzata la risposta. Il pannello riporta un tasso annuo nominale: il tasso mensile trovato dal risolutore, moltiplicato per dodici. È la convenzione che usano le informative sul credito, ed è per questo che un prestito al 6 per cento stampa 6,000 anziché il 6,168 che la capitalizzazione produrrebbe se gli interessi fossero lasciati maturare. Una seconda convenzione riguarda il piano di rimborso. Il risolutore presuppone la stessa rata ogni mese per tutta la durata, cioè il normale prestito ammortizzato. Se il piano è qualcos'altro — una maxirata finale, un periodo fisso seguito da uno più grande, rate di soli interessi che poi passano al capitale — allora la cifra mensile è una media di un piano che la pagina non modella, e il tasso che riporta descrive quella media e non il prestito. Se vuoi il tasso su un prestito che applica spese, la pagina del tasso percentuale annuo prende la spesa come input e risolve la stessa equazione con essa dentro; se invece conosci già il tasso e vuoi la rata, la calcolatrice del prestito è la stessa relazione percorsa in avanti.

200.000 su 360 mesi, a cinque rate mensili diverse

Rata mensile	Tasso annuo	Interessi totali	Totale rimborsato
1000	4.387	160000	360000
1199.1	6	231676	431676
1300	6.771	268000	468000
1500	8.232	340000	540000
2000	11.627	520000	720000

La durata è fissa a trent'anni in ogni riga, quindi la tabella è un'unica domanda posta in cinque modi: che cosa implica una data rata mensile? Leggi insieme le prime due colonne e la relazione sembra violenta — 300 in più al mese, da 1000 a 1300, spostano il tasso di più di due punti percentuali, dal 4,387 al 6,771. Non è una stranezza della tabella ma dell'equazione: sulle durate lunghe la rata è dominata dagli interessi, quindi un piccolo cambiamento in quello che paghi corrisponde a un grande cambiamento nel tasso che lo giustifica. Le ultime due colonne mostrano perché valga la pena risolvere il tasso. Ogni riga rimborsa gli stessi 200.000, e la differenza fra la prima riga e l'ultima è di 360.000 di interessi — più del prestito stesso. Se stai scegliendo fra due offerte, la rata è quello che sentirai ogni mese e il tasso è quanto vale davvero la differenza; questa tabella è la conversione fra i due, a una durata e a un capitale fissati. I numeri delle celle sono stampati senza localizzazione, con il punto decimale: 6.771 nella tabella e 6,771 nel testo sono lo stesso numero.

Formula

Importo erogato = rata mensile × [1 − (1 + tasso mensile)^(−numero di rate)] ÷ tasso mensile Tasso annuo = tasso mensile × 12

Importo preso in prestito: La somma erogata all'inizio, che le rate devono rimborsare esattamente lungo la durata — con un piano di rate costanti questa equazione ha uno e un solo tasso che la bilancia
Rata mensile: L'importo pagato ogni mese per tutta la durata, capitale e interessi insieme. È l'unica cifra che la maggior parte dei mutuatari conosce con certezza, ed è per questo che risolvere da essa è più affidabile che risolvere da un tasso dichiarato
Numero di rate: Quante rate vengono pagate — la durata del prestito espressa in mesi, quindi trent'anni sono 360. È anche, moltiplicata per la rata, tutto ciò che esce dal tuo conto
Tasso mensile: Il tasso al mese che rende le rate attualizzate uguali all'importo preso in prestito: la quantità che la pagina risolve, e l'unica incognita dell'equazione qui sopra
Tasso annuo: Il tasso mensile moltiplicato per dodici, cioè il tasso annuo nominale — la stessa annualizzazione che compie un'informativa sul credito, e non il tasso effettivo che otterresti capitalizzando dodici volte

Usala quando conosci la rata anziché il tasso, che è la situazione in cui un mutuatario si trova davvero. Le pubblicità citano tassi, ma il numero che arriva sull'estratto conto ogni mese è la rata, ed è la rata che deve entrare in un bilancio. Due degli usi più comuni sono controllare una quotazione e confrontarne due. Controllare: un finanziatore dice 6 per cento su 200.000 in trent'anni, che dovrebbe essere 1199,10 al mese; se il contratto dice 1250, inserisci 1250 e la pagina restituisce 6,392 per cento, e la differenza è ora un numero su cui puoi fare domande invece di un sospetto. Confrontare: due offerte allo stesso tasso dichiarato ma con rate diverse non sono la stessa offerta, e una a tasso dichiarato più alto con una rata più bassa non è automaticamente peggiore — inserisci ciascuna rata e confronta i tassi risolti, che è l'unica cifra che tiene conto sia del tasso sia di qualunque altra cosa la rata stia portando con sé. Un terzo uso è quello che sorprende: inserire l'importo effettivamente ricevuto anziché quello scritto sul contratto. Se si prendono in prestito 200.000 ma ne arrivano 197.000 dopo una commissione di apertura, risolvere su 197.000 con le stesse rate restituisce un tasso che comprende la commissione — che è quello che la pagina del tasso percentuale annuo calcola dalla direzione opposta, e le due dovrebbero coincidere fino all'ultimo decimale.

Esempi svolti

200.000 rimborsati a 1300 al mese per trent'anni
1. Quello che esce dal conto: 1300 × 360 = 468.000 rimborsati in totale
2. Gli interessi sono la differenza: 468.000 − 200.000 = 268.000
3. Tasso mensile: il tasso al quale 1300 × [1 − (1 + i)^−360] ÷ i = 200.000, cioè i = 0,564242% al mese
4. Tasso annuo: 0,564242% × 12 = 6,771%
Il caso predefinito. Vale la pena leggere insieme due cifre: il 6,771 per cento che le rate implicano, e i 468.000 che escono davvero dal conto — più del doppio dell'importo preso in prestito. Gli interessi non sono un piccolo supplemento a un prestito grande; su una durata di trent'anni a questo tasso sono più grandi del capitale. Nota anche quello che la pagina non mostra: se questo prestito capitalizzasse gli interessi invece di ammortizzarli, il costo annualizzato sarebbe il 6,985 per cento anziché il 6,771, perché il pannello annualizza il tasso mensile in modo lineare. Per un prestito i cui interessi vengono pagati invece che accumulati, la cifra lineare è quella giusta.
Lo stesso prestito esattamente al 6 per cento
1. La rata che un prestito al 6% richiede: 200.000 × 0,005 × 1,005^360 ÷ (1,005^360 − 1) = 1199,10 al mese
2. Risolvendo quella rata al contrario: il tasso mensile è 0,5%
3. Tasso annuo: 0,5% × 12 = 6%, cioè il tasso da cui eravamo partiti
4. Totale rimborsato: 1199,10 × 360 = 431.676, di cui 231.676 di interessi
Il giro completo, e il controllo utile: la rata che un prestito al 6 per cento produce è la rata che riporta al 6 per cento. I 100,90 al mese che separano questo caso da quello sopra sono il 6,771 per cento contro il 6 per cento — una differenza di 0,771 di punto percentuale che lungo tutta la durata costa 36.324. È anche il caso da usare quando una quotazione dà un tasso e vuoi sapere quanto dovrebbe essere la rata prima che arrivi il contratto.
100.000 in due anni a 5000 al mese
1. Quello che esce dal conto: 5000 × 24 = 120.000
2. Gli interessi sono la differenza: 120.000 − 100.000 = 20.000, cioè un quinto del capitale
3. Tasso mensile: il tasso al quale 5000 × [1 − (1 + i)^−24] ÷ i = 100.000, cioè i = 1,51312% al mese
4. Tasso annuo: 1,51312% × 12 = 18,157%
Una durata breve cambia l'aritmetica in un modo che il totale può nascondere: 20.000 di interessi su 100.000 sembrano il 20 per cento, ma vengono pagati in due anni su un saldo che cala, quindi il tasso è il 18,157 per cento l'anno e non il 10. Più la durata è breve, meno capitale resta in essere in media, ed è per questo che raddoppiare il tasso e dimezzare la durata non si annullano a vicenda. Qui il tasso mensile è l'1,513 per cento, e una carta che addebita l'1,5 per cento al mese addebita quasi esattamente questo.

Limiti

Presuppone un solo tasso per tutta la durata. Un prestito a tasso variabile, un periodo fisso che poi si riallinea a un tasso diverso, o un tasso civetta seguito da quello reale infrangono tutti questa ipotesi, e il tasso unico che questa pagina riporta è una media di un piano che non può vedere — utile per confrontare e sbagliato come descrizione di un mese qualsiasi. Presuppone che la rata sia la stessa ogni mese. Una maxirata finale, un periodo di soli interessi o qualsiasi piano a scaglioni rende la cifra mensile una media su una forma che la pagina non modella, e il tasso risolto verrà tirato verso qualunque cosa fossero le rate iniziali. Non modella alcuna spesa. Tutto ciò che le rate portano con sé viene piegato dentro il tasso risolto, quindi se l'importo erogato sul contratto non è l'importo che è arrivato sul tuo conto la risposta non è né il tasso nominale né il tasso percentuale annuo finché non inserisci il capitale giusto — e se inserisci quello che è arrivato, la risposta è un tasso che comprende le spese, cioè il tasso percentuale annuo per un'altra via. Annualizza in modo lineare, moltiplicando il tasso mensile per dodici, quindi la cifra che stampa non è il tasso annuo effettivo e sarà più bassa di una cifra composta allo stesso tasso mensile; è la convenzione delle informative e non un errore, ma i due numeri non sono intercambiabili. Presuppone che le rate siano pagate esattamente a scadenza e che nessuna venga saltata o anticipata, due cose che cambiano quanto il denaro è davvero costato. Non riesce a risolvere ogni insieme di input: se le rate sono troppo piccole per rimborsare il capitale a qualunque tasso, o se una singola rata supera il doppio del capitale su una durata di un mese, non esiste alcun tasso che bilanci l'equazione e la pagina segnala un errore invece di inventarne uno. Infine riporta un tasso e non un verdetto: se quel tasso sia legale, equo o migliore dell'alternativa è una domanda su un mercato, non sull'aritmetica.

Domande frequenti

Come si ricava il tasso d'interesse da una rata mensile?: Il tasso è quello al quale la rata mensile, ripetuta per tutta la durata del prestito e attualizzata a oggi, vale esattamente l'importo preso in prestito. Non c'è modo di ricavarlo con l'algebra ordinaria — l'incognita sta dentro una potenza — quindi va risolto per tentativi, ed è quello che questa pagina fa in qualche decina di iterazioni. È lo stesso calcolo che un finanziatore esegue per produrre il tasso percentuale annuo, percorso dal lato della rata invece che da quello del tasso.
Perché non c'è un campo per il tasso d'interesse?: Perché lo scopo della pagina è ricavare il tasso da quello che pagherai davvero. Se il tasso fosse un input, la risposta sarebbe un'eco di ciò che vi è stato digitato. Lasciarlo fuori significa che la cifra sul pannello dipende solo dalle tre cose che puoi verificare — quanto è stato preso in prestito, quanto esce dal tuo conto ogni mese e quante volte — e sono anche le tre cose che un finanziatore non può facilmente contestare.
La risposta è la stessa cosa del tasso percentuale annuo?: È la stessa equazione, e se le due cifre coincidano dipende da un solo input. Il tasso percentuale annuo mette in relazione il valore effettivamente ricevuto con i pagamenti fatti, quindi tiene conto delle spese; questa pagina mette in relazione quello che digiti come importo preso in prestito con le rate. Digita l'importo del contratto e ottieni il tasso nominale, perché le spese non sono nell'aritmetica. Digita l'importo che è arrivato sul tuo conto dopo che le spese sono state trattenute e ottieni il tasso percentuale annuo, perché ora la spesa è nell'aritmetica. Stesso calcolo, capitale diverso.
Perché il tasso è più basso di quello che otterrei capitalizzando?: Perché il pannello moltiplica il tasso mensile per dodici invece di comporlo. Un prestito risolto al 6,771 per cento l'anno è 0,564242 per cento al mese, e dodici di quei valori moltiplicati fra loro danno il 6,985 per cento — la differenza sono gli interessi sugli interessi, che su un prestito ammortizzato non si producono perché il saldo cala invece di accumularsi. Moltiplicare il tasso periodale per il numero di periodi è la convenzione che le informative sul credito usano per annualizzare, quindi la cifra qui coincide con quella che un'informativa stamperebbe.
E se il prestito ha una maxirata finale o mesi di soli interessi?: Allora una singola rata mensile non lo descrive, e la risposta è una media anziché un tasso. Il risolutore presuppone la stessa rata ogni mese per tutta la durata; un piano con un grosso pagamento finale o una serie di mesi di soli interessi ha una forma diversa, e forzarlo in un'unica cifra mensile produce un tasso troppo alto o troppo basso a seconda di quali rate hai mediato. Su quei prestiti chiedi il tasso percentuale annuo, che si calcola dal piano di pagamenti effettivo e non da una sua media.
La pagina riesce sempre a trovare un tasso?: No, e lo dice invece di tirare a indovinare. Se le rate sono troppo piccole per rimborsare il capitale lungo la durata a qualunque tasso concepibile — 200.000 rimborsati a 555 al mese in trent'anni non estinguono mai il debito, qualunque sia il tasso — l'equazione non ha soluzione e la pagina segnala un errore. Lo stesso accade nella direzione opposta, quando una singola rata arriva ad almeno il doppio del capitale su una durata di un mese: lì il tasso mensile implicato supererebbe il 100 per cento, cioè il 1200 per cento su base annua, e la pagina rifiuta l'input anziché stamparlo. Accade anche quando il numero di rate non è un numero intero positivo di mesi. In quei casi gli input descrivono qualcosa che non è un prestito, e nessun tasso li renderebbe tali.

Riferimenti

12 CFR Part 1026, Appendix J (Annual Percentage Rate Computations for Closed-End Credit Transactions), paragraph (b)(1) General Rule — the annual percentage rate shall be the nominal annual percentage rate determined by multiplying the unit-period rate by the number of unit-periods in a year, which is the annualisation this page's output performs; paragraph (a)(2) describes the actuarial method this page inverts — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR 1026.22(a)(1)–(3) — the annual percentage rate is a measure of the cost of credit, expressed as a yearly rate, that relates the amount and timing of value received by the consumer to the amount and timing of payments made; the rate is accurate if within 1/8 of 1 percentage point for a regular transaction and 1/4 of 1 percentage point for an irregular one — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR 1026.14(c)(1) and its accompanying commentary — the annual percentage rate may be computed by multiplying each periodic rate by the number of periods in the year, the linear annualisation that converts this page's solved monthly rate into the annual figure it prints — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di prestitiImporto delle rate di un prestito a tasso fisso.Calcolatrice interessi sul prestitoInteressi totali di un prestito da tasso, durata e importo.Calcolatrice di ammortamentoPiano di ammortamento con gli interessi di ogni periodo.Calcolatrice APRAPR di un prestito, commissioni e punti inclusi.