Calcolatrice della forza gravitazionale

forza gravitazionale = G × m₁ × m₂ / r²

G

La costante gravitazionale, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². È la costante misurata con meno precisione di tutta la fisica — il valore raccomandato porta un'incertezza relativa di 2,2 × 10⁻⁵, quattro ordini di grandezza o più peggio della costante successiva nella classifica — quindi le ultime cifre di qualsiasi risposta su questa pagina non hanno significato, e nessun dato che tu possa digitare lo cambierà

m₁

La massa del primo oggetto, in chilogrammi. Il campo accetta anche grammi, tonnellate e libbre, e deve essere una massa e non un peso: due persone da 70 kg qui sono semplicemente due quantità di materia. Deve essere positiva, perché qualcosa senza massa non esercita nessuna forza gravitazionale

m₂

La massa del secondo oggetto, nelle stesse unità e con la stessa regola. Le due masse entrano nella formula moltiplicate fra loro, quindi sono intercambiabili: scambiarle non cambia nulla, ed è per questo che la pagina non ha modo di dire quale sia l'una e quale l'altra

r

La distanza fra i due centri di massa, in metri, non lo spazio fra le loro superfici. Un satellite a 400 km dal suolo sta a 6771 km dal centro della Terra, ed è il secondo di questi numeri che l'equazione vuole. Il campo accetta anche chilometri, centimetri, piedi e miglia, e deve essere positiva

F

La forza gravitazionale che i due oggetti esercitano l'uno sull'altro, in newton e in libbre-forza, in notazione scientifica. È una forza sola e non due: la Terra ti attira con 687 N e tu attiri la Terra con 687 N in direzione opposta. La seconda riga dei risultati è lo stesso numero convertito, non un secondo risultato

Usa questa pagina quando hai due masse e la distanza fra loro e ti serve l'attrazione: la forza che tiene la Luna sulla sua orbita, l'attrazione fra un satellite e il pianeta che gli gira intorno, se la forza gravitazionale fra due masse da laboratorio sia misurabile o no (non lo è: sta intorno a 10⁻⁷ N, ed è per questo che l'esperimento si è fatto aspettare fino al 1798), oppure quale sarebbe la gravità superficiale di un corpo se davi in pasto a questa stessa equazione la sua massa e il suo raggio. Quest'ultimo caso è esattamente quello che fa la tabella qui sotto: otto corpi con la loro gravità superficiale calcolata così, che è il numero da cui dipende quanto peseresti su ciascuno. Due cose vale la pena controllare prima di fidarti di una risposta. Primo, r è una distanza fra centri: mettere l'altitudine al posto del raggio gonfia la forza in modo severo, di un fattore circa 290 a 400 km, mentre ignorare l'altitudine e usare da solo il raggio del corpo sbaglia di poco più del dieci per cento, uno scarto che cresce con la quota. Secondo, la formula tratta ogni oggetto come un punto, il che è esatto per le sfere e una buona approssimazione per qualsiasi cosa sia piccola rispetto a r: ma due oggetti quasi a contatto ne restano del tutto fuori.

1. Due persone da 70 kg, a un metro di distanza

   1. Masse: 70 kg e 70 kg, e la distanza fra i loro centri è 1 m
   2. Prodotto delle masse: 70 × 70 = 4900 kg²
   3. Quadrato della distanza: 1² = 1 m²
   4. Forza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. In libbre-forza: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Un terzo di micronewton, ed è la risposta che fa capire tutta la materia: due persone in piedi una accanto all'altra si attirano con più o meno la forza che peserebbe qualche decina di microgrammi di materia, e niente nella vita quotidiana lo lascia intuire. Nota come l'aritmetica non esca mai dall'esponente: 4900 è solo un numero di quattro cifre, e il fattore che rimpicciolisce la risposta è quel 10⁻¹¹. È in questo senso che la gravità è debole: non perché la costante sia piccola rispetto ad altri numeri, ma perché è piccola rispetto a qualsiasi massa che un essere umano possa mettere insieme.

2. La Terra e la Luna

   1. Masse: 5,972 × 10²⁴ kg per la Terra, 7,342 × 10²² kg per la Luna
   2. Distanza fra i centri: 384.400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Prodotto delle masse: 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. Quadrato della distanza: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Forza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. In libbre-forza: 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ N sono all'incirca 200 exanewton, ed è il numero che fa credere che la gravità sia forte: è la forza che tiene un corpo a 384.400 km di distanza a girare in curva ogni mese. Confrontalo con l'esempio precedente e tutta la lezione sta negli esponenti: le masse sono cresciute di un fattore circa 10⁴⁴, la distanza di circa 3,8 × 10⁸ (quindi 1,5 × 10¹⁷ una volta al quadrato), e la forza di 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷. Fra i due calcoli non è cambiato niente nella legge: è cambiato solo quanta materia ci fosse ai due lati dell'uguale.

3. La Terra e una persona di 70 kg che le sta sopra

   1. La distanza che serve alla formula è il raggio medio terrestre: 6371 km = 6,371 × 10⁶ m, non la distanza dal suolo sotto i tuoi piedi
   2. Prodotto delle masse: 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ kg²
   3. Quadrato della distanza: (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ m²
   4. Forza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 N
   5. In libbre-forza: 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   Sono gli stessi 687 N che la bilancia del bagno ti riporta come 70 kg, e vale la pena essere chiari sul fatto che la bilancia sta misurando una forza e divide per 9,8 per stampare una massa. È anche l'unica riga di questa pagina che cade nella notazione ordinaria: la risposta sta fra 10⁻³ e 10⁶, quindi la pagina la lascia come 687,398 invece di riscriverla come 6,874 × 10². E la cifra è un po' bassa di proposito: usa il raggio medio, quindi una persona all'equatore sta 21 km più lontana dal centro di una ai poli, e questo unico numero è la media delle due.

Il limite più grande non è nel modello ma nella costante. G è nota a circa quattro cifre significative — il valore raccomandato CODATA è 6,67430 con un'incertezza di 15 sulle ultime due cifre, cioè un'incertezza relativa di 2,2 × 10⁻⁵ — ed è la costante misurata peggio di tutta la fisica, peggiore della successiva di quattro ordini di grandezza o più. Ogni risposta su questa pagina ha quindi una quarta cifra che è decorativa: 1,980 × 10²⁰ N in realtà è 1,98 × 10²⁰ N, e digitare masse più precise non lo migliorerà. Al di là di questo, l'equazione tratta entrambi gli oggetti come punti, il che è esatto solo per le sfere; ignora ogni altra forza, quindi non dice niente sul fatto che i due corpi siano davvero in orbita o stiano cadendo l'uno verso l'altro; ignora la relatività generale, che conta per il perielio di Mercurio e per qualsiasi cosa vicino a un buco nero; e presume che le masse siano costanti, cosa che non vale per un razzo o per una cometa che evapora. Dal lato delle distanze piccole il modello viene anche usato fuori dal suo campo: due oggetti a un millimetro di distanza non sono ben descritti come punti, e l'attrazione fra due atomi è chimica e non questa equazione, ed è per questo che il campo della distanza si ferma a 1 mm. Infine le gravità superficiali della tabella usano i raggi medi e presumono che il corpo sia una sfera perfetta e senza rotazione, quindi la riga della Terra esce a 9,82 m/s² invece che al valore standard definito di 9,80665 m/s².

Qual è la formula della forza gravitazionale?

F = G × m₁ × m₂ / r², dove G è la costante gravitazionale 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², le due m sono le masse in chilogrammi e r è la distanza fra i loro centri in metri. Due persone di 70 kg a un metro di distanza danno 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ N. Quel r² al denominatore è ciò che ne fa una legge dell'inverso del quadrato: allontana i due oggetti del doppio e la forza scende a un quarto, non a metà.

Perché la forza gravitazionale fra due persone è così piccola?

Perché G stessa è piccola: 6,6743 × 10⁻¹¹, cioè undici ordini di grandezza sotto 1. Le masse sono l'unica cosa che lavora in direzione opposta, e 70 kg per parte non sono molta materia. Metti la stessa equazione al lavoro con un pianeta da un lato e l'esponente si ribalta: la Terra e la Luna si attraggono con 1,98 × 10²⁰ N. Fra i due casi non c'è niente di diverso nella legge: la gravità è debole, e ci vuole la materia di un pianeta per farla sembrare altro, ed è per questo che la forza che tiene insieme il sistema solare è la stessa che non riesce ad avvicinare due persone.

r è la distanza fra le superfici o fra i centri?

Fra i centri, sempre. Per una persona in piedi sulla Terra, r è il raggio terrestre, 6371 km, e non zero. Per un satellite a 400 km di quota, r è 6771 km e non 400 km: l'altitudine è una distanza dalle superfici e va sommata al raggio. È il modo più comune di sbagliare la risposta, e vale la pena vedere quanto è grande l'errore: digitare i 400 km di quota al posto del raggio rende la forza circa 290 volte troppo grande, mentre lasciare fuori del tutto la quota e usare 6371 km la lascia comunque circa il 12 per cento troppo grande.

Che cos'è la gravità superficiale e come si ricava qui?

La gravità superficiale è l'accelerazione che un corpo imprime a qualcosa appoggiato su di esso, g = GM/R², ed è la stessa formula della forza gravitazionale con la seconda massa posta a 1 e r posto al raggio del corpo stesso. La tabella di questa pagina fa esattamente questo per otto corpi: la Luna esce a 1,62 m/s², la Terra a 9,82 m/s² e il Sole a 274 m/s². È quel numero a decidere quanto peseresti lì: una persona di 70 kg ha bisogno di 687 N sulla Terra, di 113 N sulla Luna e di circa 19 kN sul Sole, ed è per questo che la domanda se si possa atterrare sul Sole trova risposta prima ancora che si parli della temperatura.

Quanto è accurato questo calcolo?

A circa quattro cifre significative, e il limite è la costante, non l'aritmetica. G è la costante meno precisamente nota della fisica: il valore raccomandato è 6,67430 con un'incertezza di 15 sulle ultime due cifre, che è un'incertezza relativa di 2,2 × 10⁻⁵, quattro ordini di grandezza o più peggio della costante successiva. Quindi 1,980 × 10²⁰ N va letto come 1,98 × 10²⁰ N, e inserire le masse con dieci cifre non aggiungerà una quinta cifra significativa. Del resto sono di solito le masse e le distanze in ingresso il punto più debole: la massa della Terra è nota a circa una parte su 10⁵, e la cifra usata qui è il raggio medio invece del raggio alla tua latitudine.

Attira di più l'oggetto più pesante, o si attraggono allo stesso modo?

Allo stesso modo. Le due masse entrano moltiplicate nella formula, quindi la forza che la Terra esercita su di te e quella che tu eserciti sulla Terra sono gli stessi 687 N in direzioni opposte: non ha senso dire che la Terra attira di più. Quello che cambia è l'effetto di quella forza: 687 N accelerano te a 9,82 m/s² e accelerano la Terra a 1,15 × 10⁻²² m/s², ed è per questo che cadi tu e il pianeta non si muove in modo visibile. Lo stesso ragionamento è il motivo per cui questa pagina ha bisogno di una sola distanza e di una sola risposta, invece che di una coppia di forze.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology