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CalcMax

Calcolatrice dell'ellisse

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

47,1239 cm²

Area

Perimetro
25,5270 cm
Eccentricità
0,8000

Una calcolatrice dell'ellisse prende i due assi di un ovale e restituisce tre cifre: l'area che copre, la distanza lungo il suo bordo e quanto si allontana dall'essere un cerchio. Le prime due tornano in centimetri — al quadrato per l'area, semplici per il perimetro — e la terza è un numero puro senza alcuna unità, per i motivi che la pagina spiega più sotto. Un'ellisse è quello che diventa un cerchio quando lo si stira più in una direzione che nell'altra, e i due assi sono quelle due direzioni. L'asse maggiore è quello più lungo, che attraversa il centro da un'estremità all'altra; l'asse minore è quello più corto, ad angolo retto con il primo. La metà di ciascuno si chiama semiasse, e la distinzione qui conta perché le formule standard sono scritte in semiassi mentre questa pagina chiede le lunghezze intere: i due campi prendono quello che darebbe un metro da un bordo all'altro di un tavolo o di una pista, e il dimezzamento avviene dentro. L'area è la cifra per cui tutti hanno una formula utilizzabile da soli. È pi greco moltiplicato per i due semiassi, cioè la stessa espressione dell'area di un cerchio una volta che si nota che un cerchio è solo un'ellisse con i due assi uguali. Se le tue due misure sono uguali, questa pagina e quella dell'area del cerchio andranno d'accordo esattamente, e così la lunghezza del bordo qui e la circonferenza là: la prima riga della tabella è lì per essere confrontata con entrambe. Il perimetro è la cifra che richiede l'avvertenza. A differenza dell'area, la distanza lungo il bordo di un'ellisse non ha una formula che si possa scrivere con un numero finito di operazioni ordinarie; è un integrale ellittico, e l'unico modo pratico di ottenere un numero è un'approssimazione. Quella usata qui è la seconda di Ramanujan, abbastanza accurata perché l'errore non si veda mai nelle quattro cifre decimali stampate per qualsiasi ellisse tu possa misurare, ma è pur sempre un'approssimazione, e si comporta in un modo preciso ai due estremi. Quando i due assi sono uguali è esatta, perché i due termini della formula si annullano. Quando l'asse minore si riduce verso lo zero l'ellisse si appiattisce verso un segmento, e l'approssimazione esce leggermente per difetto: un asse maggiore di 10 e un asse minore di 0 dovrebbero dare un bordo di 20 lungo il semiasse raddoppiato, e questa pagina stampa 19,992. L'eccentricità è la terza cifra e quella che nessuno si aspetta. È un unico numero fra 0 e 1 che dice quanto l'ellisse è lontana dall'essere un cerchio: 0 è un cerchio, e più si avvicina a 1 più l'ellisse è schiacciata. Non ha unità perché è un rapporto: è lo stesso numero sia che tu misuri in centimetri sia in miglia, ed è per questo che la pagina la stampa senza unità. Le tre cifre scalano in modo diverso, e la tabella lo rende visibile in una coppia di righe. Raddoppia entrambi gli assi e l'area quadruplica, il bordo raddoppia soltanto, e l'eccentricità non si muove affatto, perché un'ellisse più grande delle stesse proporzioni è la stessa forma. È il motivo per cui una fotografia si può ingrandire senza cambiarne il soggetto, e per cui la sola eccentricità basta a descrivere la forma di un'orbita mentre gli assi servono a descriverne la dimensione. Una cosa che la pagina non farà è raddrizzarti le due misure. Se l'asse più corto viene inserito nella casella più lunga, te lo dice e si ferma invece di scambiarli in silenzio: una pagina che riordina i tuoi numeri fa sì che la cifra sullo schermo non vada d'accordo con l'etichetta accanto, e tu non avresti modo di sapere che è successo.

Ellissi comuni: l'area, il perimetro e l'eccentricità dai due assi

Asse maggiore (cm)Asse minore (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Eccentricità
101078.539831.41590
10862.831928.36170.6
10647.123925.5270.8
2012188.495651.0540.8
10431.415923.01310.9165
10215.70821.010.9798
1017.85420.31960.995
100019.9921

Otto ellissi e cinque colonne, con i due assi in ingresso e tre cifre in uscita. La prima riga è il cerchio ed è la riga da controllare contro altre pagine: un'ellisse di 10 per 10 è un cerchio di raggio 5, quindi la sua area di 78,5398 è quella che stampa la pagina dell'area del cerchio e il suo perimetro di 31,4159 è quello che stampa la pagina della circonferenza. La seconda riga è un ovale più dolce, 10 per 8, con un'eccentricità di 0,6: la forma di parecchi oggetti reali, da una pista a un tavolo ovale. La terza riga è la coppia con cui la pagina si carica, 10 per 6, la cui eccentricità è esattamente 0,8. La quarta riga è quella stessa ellisse con entrambi gli assi raddoppiati, e le tre cifre rispondono in tre modi diversi — l'area quattro volte più grande, il perimetro il doppio e l'eccentricità invariata — che è tutto il motivo per cui l'eccentricità si cita separatamente dalla dimensione. La quinta e la sesta riga appiattiscono lo stesso asse maggiore di 10 ancora di più, a 4 e poi a 2, e mostrano l'eccentricità che sale verso il suo limite mentre il perimetro si muove appena. L'ultima riga è il caso degenere in cui l'ellisse è collassata a un segmento: l'area è zero e l'eccentricità ha raggiunto il suo limite di 1, e la colonna del perimetro mostra 19,992 dove il valore vero è esattamente 20, che è l'errore più grande che l'approssimazione commetta in tutta la tabella. Da notare che le ultime due righe hanno un perimetro quasi uguale — 20,3196 e 19,992 — pur essendo una un'ellisse sottile e l'altra una linea retta, perché la lunghezza di un bordo smette di rispondere all'asse minore una volta che la forma è abbastanza sottile. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a
La metà dell'asse maggiore, cioè il semiasse maggiore. Questa pagina chiede l'asse maggiore intero e lo dimezza, perché è quello che dà il metro; la formula è scritta in semiassi perché è così che si scrive sempre
b
La metà dell'asse minore. Quando b è uguale ad a l'ellisse è un cerchio, e la formula dell'area si riduce al familiare πr² con r che sta per uno qualsiasi dei due semiassi
πab
L'area. È esatta, al contrario del perimetro qui sotto: moltiplica i due semiassi e moltiplica per pi greco e hai la risposta con tutte le cifre che ti interessa calcolare
h
Una misura di quanto i due semiassi sono disuguali, calcolata come il quadrato della loro differenza diviso la loro somma. È 0 per un cerchio e si avvicina a 1 man mano che l'ellisse si appiattisce verso una linea, ed è la quantità su cui è costruita l'approssimazione del perimetro
P
Il perimetro di un'ellisse, in centimetri. Non ha una forma chiusa elementare, quindi questa è la seconda approssimazione di Ramanujan: esatta quando i due assi sono uguali e leggermente per difetto quando l'asse minore si avvicina a zero
e = √(1 − b² ÷ a²)
L'eccentricità, un numero puro da 0 a 1 senza unità. È 0 per un cerchio e sale verso 1 man mano che l'ellisse si appiattisce, ed è la misura che astronomi e ottici citano quando conta solo la forma e non la dimensione
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui vengono stampate le letture. L'area è esatta sotto; il perimetro è un'approssimazione; e l'eccentricità è un rapporto, quindi su un'ellisse quasi circolare le sue cifre iniziali portano quasi tutte le informazioni

Qualsiasi cosa ovale che vada misurata è il caso più semplice: un tavolo rotondo che si scopre non rotondo, uno specchio o un tappeto o un lavabo ovale, una pista o un anello la cui descrizione sono i suoi due assi, un tavolo ovale per riunioni, una piscina con le estremità arrotondate, e una cornice o un passe-partout con un ritaglio ovale. In ognuno di questi l'area è quello che serve a un calcolo di materiale o di copertura, e la lunghezza del bordo è quello con cui si compra una cornice, una finitura, una fascia o un metro di bordura. Il giardinaggio e l'edilizia la usano per aiuole ovali, pavimentazioni curve, patii ellittici e qualsiasi forma tracciata con uno spago fra due picchetti, che è il modo standard di segnare un'ellisse sul terreno. La produzione la usa per fori di presa ellittici, tubi ovali, tubazioni schiacciate e la sezione di qualsiasi cosa tracciata o pressata in forma ovale; lì l'eccentricità conta perché due ovali con la stessa area possono essere forme notevolmente diverse e solo uno dei due entrerà in un raccordo dato. In astronomia l'eccentricità è la cifra che conta di più: le orbite dei pianeti sono ellissi con il Sole in uno dei fuochi, e l'eccentricità dice quanto ciascuna orbita è vicina a un cerchio, con la Terra a 0,0167 e una cometa molto più in alto. L'ottica la usa per gli specchi piani ellittici che ripiegano un percorso luminoso in un telescopio, dove gli assi dello specchio sono fissati dall'angolo a cui è inclinato, e la medicina per le sezioni di vasi e camere e per i campi ellittici usati in radioterapia. In statistica è la forma di un'ellisse di confidenza, i cui assi vengono da due scarti standard e la cui area dà una copertura. In aula è la dimostrazione che un cerchio è un caso particolare di qualcosa di più generale: infila un anello di spago attorno a due puntine, traccialo con una matita, e la forma cambia man mano che le puntine si allontanano mentre il perimetro resta esattamente quello dell'anello, che è un fatto che vale la pena notare di per sé. E nell'aritmetica quotidiana risponde a se un tappeto ovale coprirà un pavimento, quanta stoffa serve per una tovaglia ovale e quanta bordura vuole un'aiuola ovale.

Esempi svolti

  1. Un'ellisse di 10 per 6

    1. Dimezza entrambi: il semiasse maggiore è 5, il semiasse minore è 3
    2. Area: π × 5 × 3 = 47,1239 centimetri quadrati
    3. Eccentricità: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
    4. Perimetro: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, da cui π × 8 × 1,0157… = 25,527 centimetri

    La coppia con cui la pagina si carica, scelta perché l'eccentricità esce esattamente 0,8: un numero che un lettore può controllare a mano e un'illustrazione pulita di che cosa significhi quella cifra. I passaggi cominciano dimezzando, che è il passo che i due campi nascondono: moltiplicare 10 per 6 e poi per pi greco darebbe quattro volte l'area, ed è l'errore più comune con questa pagina.

  2. La stessa ellisse raddoppiata: 20 per 12

    1. Dimezza entrambi: 10 e 6
    2. Area: π × 10 × 6 = 188,4956 — quattro volte l'esempio precedente
    3. Eccentricità: √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, invariata
    4. Perimetro: 51,054 — il doppio dell'esempio precedente

    Tutti gli assi raddoppiati, e le tre cifre rispondono in tre modi diversi. L'area quadruplica, il bordo raddoppia soltanto e l'eccentricità non si muove affatto. Della forma non è cambiato niente, ed è esattamente quello che l'eccentricità sta dicendo: descrive la proporzione e non la dimensione, ed è per questo che è la cifra usata per confrontare le orbite.

  3. Un cerchio travestito: 10 per 10

    1. Dimezza entrambi: i semiassi sono 5 e 5
    2. Area: π × 5 × 5 = 78,5398 centimetri quadrati
    3. Eccentricità: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
    4. Perimetro: l'approssimazione diventa π × 10 × 1 = 31,4159 centimetri

    Un'ellisse con gli assi uguali è un cerchio, e questa riga si può controllare contro altre due pagine. Un'ellisse di 10 per 10 è un cerchio di raggio 5, e 78,5398 è l'area che la pagina dell'area del cerchio stampa per quel raggio, mentre 31,4159 è la circonferenza che la pagina della circonferenza e quella della conversione da circonferenza a diametro stampano entrambe. Qui l'approssimazione del perimetro è anche esatta e non vicina, che è una delle due ragioni per cui è stata scelta.

  4. Un'ellisse molto schiacciata: 10 per 2

    1. Dimezza entrambi: 5 e 1
    2. Area: π × 5 × 1 = 15,708 centimetri quadrati
    3. Eccentricità: √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
    4. Perimetro: 21,01 centimetri — circa un ventesimo in più dei 20 che sarebbe l'andata e ritorno lungo l'asse maggiore

    Un'eccentricità di 0,9798 è vicina al limite, e questa è la riga che chiarisce che l'eccentricità non è la percentuale di qualcosa. Un bordo di 21,01 attorno a una figura la cui dimensione più lunga è 10 mostra quanta poca distanza aggiunga un'ellisse molto schiacciata rispetto alla linea retta verso cui sta collassando: il cinque per cento, non la metà.

  5. Completamente appiattita: 10 per 0

    1. Dimezza entrambi: 5 e 0
    2. Area: π × 5 × 0 = 0 — la figura si è ridotta a un segmento e non copre niente
    3. Eccentricità: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, il limite
    4. Perimetro: 19,992 centimetri — ed è qui che l'approssimazione mostra il suo unico difetto

    L'estremo su cui la pagina è onesta. Un asse minore pari a zero rende l'ellisse un segmento lungo 10, quindi il bordo vero è 20: due volte il semiasse maggiore, andata e ritorno. L'approssimazione stampa 19,992, con un difetto di 0,008. È tutto il costo di usare una formula invece di un integrale ellittico, ed è l'errore più grande che l'approssimazione commetta in tutta la pagina.

Limiti

Questa pagina calcola un'ellisse dai suoi due assi e da nient'altro: non prende un'area o un perimetro e ne ricava gli assi, non dà i fuochi o la distanza focale, non dà la tangente o la normale in un punto e non disegna niente. Entrambi gli assi sono obbligatori, e il più corto deve essere inserito nella casella dell'asse minore; metti lì la cifra più lunga e la pagina segnala che la maggiore delle due va nella casella dell'asse maggiore invece di scambiarle in silenzio. Le due possono essere uguali, che è un cerchio, ed entrambe possono essere zero, che è un punto. Nessuna delle due può essere negativa. Il perimetro è un'approssimazione e non una cifra esatta — la seconda approssimazione di Ramanujan, esatta quando i due assi sono uguali e leggermente per difetto man mano che l'asse minore si avvicina a zero, dove un asse maggiore di 10 con un asse minore di 0 dà 19,992 contro un valore vero di 20. Per un'ellisse che puoi davvero misurare l'errore non arriva mai alla quarta cifra decimale, e non c'è modo di ottenere una cifra più accurata su questa pagina perché il perimetro esatto è un integrale ellittico. L'eccentricità non ha unità, perché è un rapporto fra due lunghezze e viene uguale qualunque cosa sia stata misurata; qualsiasi cosa che le stampi accanto un'unità è sbagliata. Entrambi gli assi accettano centimetri, metri, millimetri, pollici o piedi ed entrambi i risultati in centimetri tornano così qualunque cosa sia stata inserita, perché la conversione avviene in ingresso; un'area misurata in pollici si converte con il quadrato del fattore di lunghezza, quindi è 6,4516 e non 2,54. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e vale la pena ricordare che su un'ellisse quasi circolare l'eccentricità è piccola e le sue cifre iniziali portano quasi tutte le informazioni. Qui non si gestisce nessuna ellisse ruotata, e nessun ovale che non sia una vera ellisse: una forma a uovo e una forma a stadio sembrano entrambe ovali e nessuna delle due lo è.

Domande frequenti

Le due caselle sono gli assi interi o i semiassi?
Gli assi interi: quello che un metro ti dà da un'estremità all'altra dell'ovale. Le formule usano la metà di ciascuno, quindi la pagina li dimezza per te, e scrivere il dimezzamento nelle caselle vorrebbe dire chiederti di dividere le tue misure per due prima di inserirle. È l'unico passo dell'aritmetica che resta nascosto, ed è per questo che ogni esempio svolto comincia nominandolo.
Perché il perimetro non è esatto?
Perché la distanza lungo il bordo di un'ellisse non ha una formula scrivibile con operazioni ordinarie: è un integrale ellittico, e non c'è modo di aggirarlo. Quella che la pagina usa è la seconda approssimazione di Ramanujan, esatta quando i due assi sono uguali e un po' per difetto man mano che l'ellisse si appiattisce; all'estremo, un asse maggiore di 10 con un asse minore di 0 dà 19,992 dove la risposta vera è 20. Per qualsiasi ellisse misurabile con un righello la differenza non arriva mai alla quarta cifra stampata.
Che cosa mi dice davvero l'eccentricità?
Quanto l'ellisse è lontana dall'essere un cerchio, come un unico numero fra 0 e 1. Zero è un cerchio perfetto e il numero sale man mano che la forma si appiattisce. Non ha unità perché è un rapporto fra due lunghezze, quindi è la stessa cifra sia che tu abbia misurato in centimetri sia in miglia: ed è per questo che è il numero usato per confrontare le forme delle orbite planetarie, le cui dimensioni sono diversissime e le cui forme no.
Perché l'area è cambiata quando ho raddoppiato gli assi e l'eccentricità no?
Perché l'eccentricità descrive la forma e l'area descrive la dimensione, e raddoppiare entrambi gli assi ne cambia una sola. Raddoppia entrambi e l'area quadruplica e il bordo raddoppia soltanto, mentre l'eccentricità resta esattamente dov'era. Un'ellisse ingrandita è la stessa forma, e il numero che dice che forma è non ha motivo di muoversi.
Ho inserito la misura più lunga nella casella più corta. Perché un errore invece di uno scambio?
Perché scambiare metterebbe sullo schermo una cifra che non va d'accordo con l'etichetta sopra la casella da cui viene, e tu non avresti modo di accorgerti che è successo. La pagina ti dice in quale casella va la misura più lunga e lascia la decisione a te: è a una correzione di distanza dall'essere giusta, e resta la tua misura invece di diventare quella della pagina.
È la stessa cosa della pagina dell'area del cerchio?
Per un'ellisse i cui due assi sono uguali va d'accordo con essa esattamente, e la prima riga della tabella è quel caso: un'ellisse di 10 per 10 è un cerchio di raggio 5, ed entrambe le pagine stampano 78,5398 per l'area e 31,4159 per la distanza lungo il bordo. Per qualsiasi altra ellisse la pagina del cerchio non si applica affatto, perché un cerchio ha una sola misura e un'ellisse ne ha due.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.Calcolatrice dell'area del cerchioQuanto spazio c'è dentro un cerchio, in unità quadrate.Calcolatrice della sferaRaggio, diametro o circonferenza: volume e area della sfera.Calcolatrice del perimetroPerimetro delle figure piane più comuni dai loro lati.