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CalcMax

Calcolatrice del prodotto scalare

Risultato

8,0000

Prodotto scalare

Modulo di u
3,0000
Modulo di v
3,0000
Angolo tra i vettori
27,2660 °

Una calcolatrice del prodotto scalare prende due vettori e restituisce il loro prodotto scalare — detto anche prodotto interno — il modulo di ciascuno dei due e l'angolo tra loro. Scrivi le componenti di ogni vettore separate da spazi o da virgole — 1 2 2 per un vettore tridimensionale, 0 3 per uno bidimensionale — e la pagina fa il resto. Un vettore è una lista di numeri che sta per qualcosa che ha sia una grandezza sia una direzione: un vento di 30 chilometri all'ora da nord-est, una forza che spinge in basso e di lato, la direzione in cui punta una telecamera. Il prodotto scalare di due vettori si ottiene moltiplicando le due prime componenti, le due seconde, le due terze e sommando tutti i prodotti. Quel singolo numero finisce per dire qualcosa su come i due vettori sono orientati l'uno rispetto all'altro, ed è il motivo per cui salta fuori ovunque, dai calcoli di illuminazione nei videogiochi alla definizione di lavoro in fisica. Il suo valore è massimo quando i due puntano nello stesso verso, è zero quando sono ad angolo retto ed è negativo quando puntano in versi opposti. La pagina trasforma questo direttamente nell'angolo, usando il fatto che il prodotto scalare è uguale ai due moduli moltiplicati fra loro e poi per il coseno dell'angolo fra i vettori. Riordinata, la formula dice che il coseno è il prodotto scalare diviso per il prodotto dei due moduli, e l'angolo è l'arcocoseno di quel valore. Tre risposte vale la pena riconoscerle a colpo d'occhio. Un prodotto scalare di zero significa che i vettori sono perpendicolari, perché il coseno di 90 gradi è zero, ed è la cosa più utile che questa pagina faccia: verificare se due direzioni sono ad angolo retto senza misurare niente. Due vettori uguali danno angolo zero, perché puntano nello stesso verso. Due vettori opposti danno 180 gradi. Un ingresso viene rifiutato invece che calcolato: il vettore nullo, che non ha direzione. Il suo prodotto scalare con qualsiasi cosa è zero, e dividere per il suo modulo per ottenere un angolo vorrebbe dire dividere per zero, quindi la pagina declina l'intero calcolo invece di restituire una risposta parziale con un buco dentro. Tutto il resto viene accettato, compresi vettori di qualsiasi lunghezza purché i due coincidano e componenti negative, che è come si scrive un vettore che punta a sinistra o in basso.

Coppie di vettori e quello che danno

Vettore uVettore vProdotto scalare|u||v|Angolo (°)
1 2 22 2 183327.266
3 4 04 3 0245516.2602
1 00 101190
1 1 11 1 131.73211.73210
1 2 34 5 6323.74178.77512.9332
-1 0 01 0 0-111180
2 -34 5-73.60566.4031107.6501
1 23 4112.2361510.3048

Otto coppie, e la prima riga è quella con cui la pagina si carica. La seconda colonna è il posto dove cercare le tre risposte da riconoscere a colpo d'occhio. La terza riga è l'angolo retto più semplice che esista, un vettore per asse, e il suo prodotto scalare è zero con l'angolo che torna esattamente 90: è il test di perpendicolarità per cui la pagina viene usata più spesso, e non richiede nessuna della trigonometria che usa la colonna dell'angolo. La quarta riga sono due copie dello stesso vettore, che danno il prodotto scalare più grande della tabella e un angolo di 0, e la sesta è un vettore e il suo opposto, che danno l'unico prodotto scalare negativo di qui e un angolo di 180. Fra loro quelle tre righe sono tutto l'intervallo: stesso verso, angolo retto, verso opposto. La quinta riga è la coppia disordinata i cui moduli sono entrambi radici, ed è la riga che mostra che l'angolo è calcolato dai moduli non arrotondati: moltiplicare 3,7417 per 8,775 e dividere 32 per il risultato dà lo stesso 12,9332, ma per un pelo. La settima riga porta componenti negative e di segno misto, che è come si scrive un vettore che punta a sinistra o in basso, e il suo prodotto scalare di −7 con un angolo di 107,6501 è il caso in cui segno e angolo devono andare d'accordo: sopra i 90 gradi e negativo, come devono essere. L'ottava riga è una coppia bidimensionale, dato che la pagina accetta qualsiasi numero di componenti. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi. I punti nelle prime due colonne sono i separatori fra le componenti, non parti dei numeri.

Formula

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

Vettore u
Il primo vettore, scritto come le sue componenti separate da spazi o da virgole: 1 2 2 per tre dimensioni, 0 3 per due, o quante te ne servono. Non c'è un numero fisso di caselle perché la pagina accetta qualsiasi dimensione, e i due vettori devono avere lo stesso numero di componenti
Vettore v
Il secondo vettore, scritto allo stesso modo e con lo stesso numero di componenti del primo. L'ordine non conta né per il prodotto scalare né per l'angolo: scambiare i due vettori dà le stesse risposte
u · v
Il prodotto scalare: moltiplica fra loro le due prime componenti, le due seconde e così via, e somma i risultati. È un singolo numero puro senza unità, dato che le componenti di un vettore portano l'unità della grandezza e il prodotto di due di esse porterebbe quell'unità al quadrato
|u| e |v|
Il modulo di ciascun vettore, nell'unità in cui sono state misurate le componenti: la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti. È la lunghezza ordinaria della freccia, ed è lo stesso calcolo della distanza dall'origine al punto verso cui il vettore punta
θ
L'angolo fra i due vettori, in gradi, da 0 quando puntano nello stesso verso passando per 90 quando sono perpendicolari fino a 180 quando puntano in versi opposti. Non esce mai da quell'intervallo, perché l'arcocoseno non può restituire niente fuori di esso
cos θ
Il prodotto scalare diviso per il prodotto dei due moduli, che è il ponte fra le due metà di questa pagina. Va da 1 per vettori che puntano nello stesso verso passando per 0 ad angolo retto fino a −1 per vettori che puntano in versi opposti, ed è il numero da cui l'angolo viene davvero calcolato
Gradi
L'unità dell'angolo in uscita, e l'unico risultato della pagina che abbia un'unità. Il prodotto scalare e i due moduli sono numeri puri
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui si scrive ogni risultato. Il prodotto scalare è spesso un numero intero quando lo sono le componenti; i due moduli portano una radice quadrata e l'angolo porta un arcocoseno, quindi quei tre non escono quasi mai esatti

Il prodotto scalare è il modo standard di chiedere quanto due direzioni sono d'accordo, e le domande a cui risponde capitano più spesso di quanto l'aritmetica suggerisca. La perpendicolarità è quella grossa: se il prodotto scalare è zero i due vettori si incontrano ad angolo retto, ed è così che un programma decide se una superficie è rivolta verso una luce, se un percorso attraversa un muro o se due linee di un disegno sono in squadra — e richiede solo le moltiplicazioni, senza trigonometria da nessuna parte. Il segno è la cosa da guardare dopo: positivo significa che i due puntano in larga misura nello stesso verso, negativo che puntano in gran parte in versi opposti, e questo è tutto il test che sta dietro al taglio delle facce nascoste e alla domanda se una forza stia facendo lavoro su un oggetto o contro di esso. La fisica usa lo stesso numero sotto il nome di lavoro: il lavoro compiuto da una forza è la forza moltiplicata scalarmente per lo spostamento, ed è il motivo per cui spingere di traverso fa meno che spingere dritto, e spingere ad angolo retto non fa niente. Quando poi vuoi l'angolo vero e non solo la relazione, la pagina lo dà, e le cifre da riconoscere sono 0, 90 e 180 gradi: paralleli, perpendicolari e opposti. Qualsiasi altro valore è una coppia di vettori che si è allontanata da quei tre, e il controllo utile è che il segno del prodotto scalare vada d'accordo con l'angolo: un prodotto scalare negativo e un angolo sotto i 90 gradi non possono essere giusti entrambi.

Esempi svolti

  1. 1 2 2 e 2 2 1

    1. Prodotto scalare: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
    2. Modulo di u: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
    3. Modulo di v: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
    4. Coseno: 8 ÷ (3 × 3) = 0,888889, e l'arcocoseno di questo è 27,2659…, che arrotonda a 27,266

    L'ingresso con cui la pagina si carica, e uno ordinato: entrambi i vettori hanno modulo esattamente 3, quindi il coseno è semplicemente il prodotto scalare diviso per nove. Due vettori diversi, un prodotto scalare, due moduli, un angolo: la pagina intera in una riga. L'angolo è sotto i 90 gradi e il prodotto scalare è positivo, che è il controllo di segno da fare su ogni risposta.

  2. 3 4 0 e 4 3 0

    1. Prodotto scalare: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
    2. Modulo di ciascuno: √(9 + 16) = 5, dato che la terza componente è zero
    3. Coseno: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96, e l'arcocoseno di questo è 16,2602…

    Due vettori che giacciono nel piano, scritti con uno zero esplicito per la terza componente per mostrare che un vettore bidimensionale è solo un vettore tridimensionale con uno zero dentro. Entrambi i moduli escono esattamente 5, che è il triangolo 3-4-5 che fa il suo solito lavoro. L'angolo è piccolo e il prodotto scalare è grande e positivo, che è la forma di due vettori che puntano più o meno nello stesso verso.

  3. 1 0 e 0 1

    1. Prodotto scalare: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Modulo di ciascuno: 1
    3. Coseno: 0 ÷ 1 = 0, e l'arcocoseno di zero è esattamente 90 gradi

    La risposta per cui la pagina viene usata più spesso. Un prodotto scalare di zero significa che i due vettori sono perpendicolari, e questi due sono l'esempio più semplice possibile: uno lungo l'asse x, uno lungo l'asse y. Da notare che l'angolo torna esattamente 90 e non una cifra arrotondata, perché il coseno è esattamente zero e per arrivarci non è servita né una radice né una divisione. Questo è il test per l'angolo retto, e non ha bisogno di nessuna della trigonometria che usa il risultato dell'angolo.

  4. 1 2 3 e 4 5 6

    1. Prodotto scalare: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
    2. Modulo di u: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3,741657…, che arrotonda a 3,7417
    3. Modulo di v: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8,774964…, che arrotonda a 8,775
    4. Coseno: 32 ÷ (3,741657 × 8,774964) = 0,974631…, e l'arcocoseno di questo è 12,9331…, che arrotonda a 12,9332

    Due vettori senza moduli ordinati, e la riga da guardare se vuoi vedere quanto costa l'arrotondamento. Entrambi i moduli sono radici che non finiscono mai, quindi il coseno è calcolato dai loro valori non arrotondati e non dal 3,7417 e dall'8,775 che si vedono sullo schermo, ed è per questo che dividere 32 per il prodotto delle due cifre stampate dà 0,9746 e arriva allo stesso angolo, ma per un pelo. L'angolo è piccolo perché i due vettori sono quasi paralleli: 4 5 6 è all'incirca 1 2 3 ingrandito.

  5. -1 0 0 e 1 0 0

    1. Prodotto scalare: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Modulo di ciascuno: 1
    3. Coseno: −1 ÷ 1 = −1, e l'arcocoseno di −1 è esattamente 180 gradi

    L'altro estremo dell'intervallo. Due vettori che puntano in direzioni esattamente opposte hanno un prodotto scalare uguale a meno il prodotto dei loro moduli, e qui è −1, il che dà un coseno di −1 e un angolo di 180 gradi. Questa è la riga che mostra perché il prodotto scalare può essere negativo e che cosa significa un valore negativo: non un errore e non un angolo più piccolo, ma due frecce che puntano in direzioni opposte.

Limiti

I due vettori devono avere lo stesso numero di componenti, e la pagina rifiuta una coppia che non ce l'ha invece di riempire il più corto di zeri. Il vettore nullo viene rifiutato del tutto: un vettore con tutte le componenti a zero non ha direzione, quindi l'angolo fra esso e qualsiasi altra cosa è indefinito, e la pagina declina l'intero calcolo invece di mostrare un angolo di zero che si leggerebbe come puntare nello stesso verso. Le componenti vengono lette come numeri ordinari: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo di sé viene letta come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un punto in mezzo alle cifre non viene mai letto come raggruppamento delle migliaia, quindi le migliaia si scrivono per esteso. Sono accettate fino a 200 componenti per vettore, che è molto oltre qualsiasi caso scritto a mano e lontano dalle dimensioni che userebbe una pipeline di dati. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e l'angolo è calcolato dai moduli non arrotondati, quindi moltiplicare fra loro le cifre stampate può non riprodurre esattamente l'angolo stampato. La pagina serve al prodotto scalare e all'angolo e basta: non dà il prodotto vettoriale, né la proiezione di un vettore sull'altro, né i versori, e non tiene conto di che cosa siano le componenti, quindi un prodotto scalare calcolato da componenti in metri torna come un numero puro e non in metri quadrati.

Domande frequenti

Come scrivo le componenti?
Separale con spazi oppure con una virgola e uno spazio: vanno bene sia 1 2 2 sia 1, 2, 2. Una virgola fra due cifre senza spazio dopo viene letta come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo); un punto in mezzo alle cifre non viene mai letto come raggruppamento delle migliaia e viene rifiutato invece che indovinato, quindi le migliaia si scrivono per esteso. I due vettori devono avere lo stesso numero di componenti, e non c'è un limite a quante possano essere purché coincidano: due dimensioni e tre dimensioni sono la stessa pagina.
Che cosa mi dice davvero il prodotto scalare?
Quanto i due vettori puntano nello stesso verso. È massimo quando sono paralleli e concordi, zero quando sono perpendicolari e negativo quando puntano in versi opposti. Il suo valore dipende anche da quanto sono lunghi i vettori, quindi un prodotto scalare grande su vettori lunghi non significa un angolo piccolo: dividi per i due moduli, cosa che la pagina fa per te, e ottieni il coseno dell'angolo.
Come faccio a capire se due vettori sono perpendicolari?
Il loro prodotto scalare è zero. È tutto il test, e richiede solo le moltiplicazioni: nessuna radice quadrata e nessuna trigonometria, ed è per questo che è la forma usata nel codice. La pagina ti dà comunque l'angolo, e leggerai 90, ma se la perpendicolarità è tutto quello che ti serve, il solo prodotto scalare lo stabilisce.
Perché il prodotto scalare può essere negativo?
Perché tiene traccia della direzione oltre che della grandezza. Due vettori che puntano in larga misura l'uno verso l'altro danno un numero positivo; ad angolo retto i due contributi si annullano e il prodotto è zero; puntando in gran parte in versi opposti se ne ottiene uno negativo. Un prodotto scalare negativo va sempre insieme a un angolo sopra i 90 gradi, e i due non dovrebbero mai essere in disaccordo: se lo sono, c'è qualcosa che non va negli ingressi.
Perché rifiuta un vettore di tutti zeri?
Perché il vettore nullo non ha direzione, quindi l'angolo fra esso e qualsiasi altra cosa è indefinito. Il suo prodotto scalare con qualsiasi cosa è zero e il suo modulo è zero, quindi calcolare il coseno vorrebbe dire dividere per zero. Una pagina che restituisse 0 gradi starebbe dicendo che punta nello stesso verso del tuo vettore, che è un'affermazione su una direzione che non esiste.
In che unità è la risposta?
L'angolo è in gradi e gli altri tre risultati non hanno alcuna unità. Il prodotto scalare è una somma di prodotti di componenti, quindi se le componenti erano misurate in metri è in metri quadrati, e se erano numeri puri è un numero puro; la pagina lascia via l'unità invece di indovinarla, dato che la stessa aritmetica serve una direzione, una forza e una lista di punteggi.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del prodotto vettorialeProdotto vettoriale di due vettori, con il suo modulo.Calcolatrice del modulo di un vettoreLunghezza di un vettore in due o tre dimensioni.Calcolatrice dell'angolo tra due vettoriAngolo tra due vettori, calcolato dal prodotto scalare.Calcolatrice della proiezione di vettoriProiezione di un vettore su un altro, scalare e vettoriale.