Salta al contenuto principale
CalcMax

Calcolatrice della proiezione di vettori

Risultato

3,0000

Proiezione scalare

Componente x della proiezione
3,0000
Componente y della proiezione
0,0000
Componente z della proiezione
0,0000

Una calcolatrice della proiezione di vettori calcola quanto di un vettore giace lungo un altro, e riporta la risposta due volte: come scalare con segno e come vettore. Scrivi entrambi come elenchi di numeri, per esempio 3 4 e 1 0, e la pagina dà prima la proiezione scalare — la lunghezza dell'ombra che il primo vettore getta lungo il secondo, negativa quando pendono in versi opposti — e poi il vettore proiezione, che è quella stessa ombra scritta come un vettore vero e proprio giacente sul secondo. La proiezione scalare è il prodotto scalare diviso per la lunghezza del secondo vettore; il vettore proiezione prende quel numero e ci rimette dentro la direzione. Sono accettate due o tre componenti ed entrambi i vettori devono averne lo stesso numero. Mostrare entrambi i risultati è il senso della pagina e non una ridondanza: la proiezione scalare misura lungo una retta e quindi conserva un segno, mentre il vettore proiezione sa soltanto su quale retta si trova, quindi invertire il secondo vettore ribalta il primo risultato e lascia il secondo intatto. Il secondo vettore non deve essere il vettore nullo, dato che non ci sarebbe nessuna direzione su cui proiettare; il primo può esserlo, e la sua proiezione è allora zero.

Vettori e le loro proiezioni

Vettore sorgente uVettore destinazione vProiezione scalare di u su vComponente x della proiezioneComponente y della proiezioneComponente z della proiezione
3 41 03300
1 23 42.21.321.760
3 4-1 0-3300
1 00 10000
1 1 11 1 11.7321111
2 3 61 1 16.35093.66673.66673.6667
0 03 40000
1 2 22 2 12.66671.77781.77780.8889

Otto coppie, proiettate in un verso solo, con lo scalare per primo e poi le tre componenti del vettore che gli corrisponde. La prima e la terza riga sono una coppia appaiata ed è la ragione per cui la tabella vale la pena di essere letta: la sorgente è 3 4 in entrambe, la destinazione è 1 0 in una e −1 0 nell'altra, e la proiezione scalare passa da 3 a −3 mentre il vettore proiezione resta esattamente (3, 0, 0) in tutti e due i casi. Rendere negativa la destinazione mette un segno meno al numeratore e un altro al denominatore elevato al quadrato, quindi il vettore non se ne accorge e lo scalare sì. La seconda riga è il caso ordinario in cui nessuno dei due vettori è normalizzato, e lo scalare viene un 2,2 pulito mentre le componenti no. La quarta riga è la coppia perpendicolare: lo scalare è 0 e il vettore proiezione è il vettore nullo, che è una risposta corretta e l'unico punto della tabella in cui entrambi i risultati si annullano insieme senza che nessuno dei due ingressi sia nullo. La quinta riga proietta un vettore su se stesso, quindi lo scalare è la sua stessa lunghezza, √3, e le componenti tornano uguali. La sesta riga è tridimensionale con una destinazione a componenti uguali, e dà tre componenti della proiezione uguali tra loro. La settima riga è il vettore nullo come sorgente, accettato e con proiezione zero. L'ottava riga è la coppia tridimensionale disordinata, con le tre componenti della proiezione tutte diverse tra loro e nessuna uguale a un'altra: è la riga da confrontare se ne calcoli una a mano. Non c'è nessuna riga con un vettore destinazione nullo, di proposito: quel caso è rifiutato, perché la destinazione fornisce sia la direzione sia il divisore. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita; gli spazi nelle prime due colonne sono separatori e non parte dei numeri.

Formula

s = (u · v) ÷ |v| proj_v u = (s ÷ |v|) · v = ((u · v) ÷ |v|²) · v

Vettore sorgente u
Il vettore da proiettare, quello di cui si vuole l'ombra. Due o tre numeri separati da spazi o da virgole. Può essere il vettore nullo, e la sua proiezione è allora semplicemente zero
Vettore destinazione v
Il vettore su cui cade l'ombra, e quello che fornisce la direzione. Questo riquadro e l'altro non sono intercambiabili: scambiarli cambia la risposta, ed è per questo che sono etichettati per ruolo invece che numerati
u · v
Il prodotto scalare dei due vettori: ogni coppia di componenti moltiplicata e i prodotti sommati. Compare al numeratore di entrambe le formule, quindi vale la pena notare che un prodotto scalare nullo significa che i due vettori sono perpendicolari: è il caso che produce una proiezione di zero
|v|
La lunghezza del vettore destinazione, ed è per essa che il prodotto scalare viene diviso. Se la destinazione ha per caso lunghezza 1 questa divisione non cambia niente, e la proiezione scalare è allora semplicemente il prodotto scalare: la prima riga della tabella di riferimento è quel caso, ed è la riga più facile da controllare a mano
s
La proiezione scalare: quanto in là arriva la sorgente lungo la direzione della destinazione, come numero con segno. È negativa quando i due puntano grosso modo in versi opposti e zero quando sono perpendicolari. Non è la lunghezza del vettore sorgente e non è il prodotto scalare: è il prodotto scalare diviso per la lunghezza della destinazione
proj_v u
Il vettore proiezione: la proiezione scalare moltiplicata per il versore della destinazione, il che rimette dentro la direzione e dà un vettore che giace esattamente sulla retta della destinazione. La sua lunghezza è il valore assoluto di s
Segno di s
Che cosa fa invertire la destinazione. Rendere negativo il vettore destinazione ribalta il segno della proiezione scalare, perché il numeratore cambia segno e la lunghezza al quadrato al denominatore no; il vettore proiezione invece resta invariato, dato che la stessa negazione compare una volta sopra e una volta sotto
Vettore destinazione nullo
Rifiutato. La destinazione fornisce la direzione e il divisore, e il vettore nullo non ha né l'una né l'altro: il denominatore sarebbe zero e non c'è nessuna retta su cui proiettare. Un vettore sorgente nullo è un'altra questione ed è accettato, e dà una proiezione di zero
Nessuna unità
La proiezione scalare e le tre componenti del vettore proiezione sono qui tutti numeri puri. La proiezione scalare ha la stessa unità delle componenti di ingresso, dato che è una lunghezza misurata in quelle, ma niente su questa pagina sa quale fosse
Quattro cifre decimali
L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. La proiezione scalare è spesso una frazione pulita degli ingressi — 11 diviso 5 dà 2,2 esatto — mentre le componenti del vettore sono quasi sempre arrotondate

Usa questa pagina quando vuoi la parte di un vettore che punta lungo un altro, che è il passaggio dietro a qualunque scomposizione in componenti. Prendere la parte orizzontale e quella verticale di una forza è una proiezione sui due assi; il lavoro compiuto da una forza è la proiezione della forza sulla direzione dello spostamento, moltiplicata per la distanza; un'ombra, una componente lungo un piano inclinato e il coefficiente in un adattamento ai minimi quadrati sono tutti la stessa operazione. I due risultati rispondono a due domande diverse su di essa. Lo scalare con segno risponde a quanto, compreso in che verso: è quello da usare nei calcoli successivi, dove un valore negativo significa che la sorgente pende dalla parte opposta rispetto alla destinazione. Il vettore risponde a dove, ed è quello da usare quando la risposta deve essere un vettore: giace esattamente sulla retta della destinazione, quindi si può sommare a qualcos'altro o disegnare. Invertire il vettore destinazione è il modo più rapido per vedere la differenza: lo scalare cambia segno e il vettore no, perché lo scalare è misurato rispetto a un orientamento e il vettore no. Vettori perpendicolari danno una proiezione di zero da entrambi i risultati, e zero è una risposta vera: dice che la sorgente non ha nessuna componente lungo la destinazione. L'unico ingresso che non si può usare è il vettore destinazione nullo, dato che una direzione e un divisore sono esattamente quello che non riesce a fornire.

Esempi svolti

  1. 3 4 su 1 0

    1. Prodotto scalare: 3 × 1 + 4 × 0 = 3
    2. Lunghezza della destinazione: |1 0| = 1
    3. Proiezione scalare: 3 ÷ 1 = 3
    4. Vettore proiezione: (3 ÷ 1) × (1, 0) = (3, 0, 0)

    L'ingresso con cui la pagina si apre, e il caso in cui non è nascosto niente: la destinazione è un versore, quindi dividere per la sua lunghezza non cambia nulla e la proiezione scalare è semplicemente il prodotto scalare. È anche il caso più facile da controllare a occhio, perché la destinazione giace lungo l'asse x e la proiezione è la sorgente con la componente y buttata via. È quello che fa una proiezione nella situazione più semplice possibile: conserva la parte del vettore che punta lungo la destinazione e scarta il resto.

  2. 1 2 su 3 4

    1. Prodotto scalare: 1 × 3 + 2 × 4 = 11
    2. Lunghezza della destinazione: √(9 + 16) = 5
    3. Proiezione scalare: 11 ÷ 5 = 2,2
    4. Vettore proiezione: (2,2 ÷ 5) × (3, 4) = (1,32, 1,76, 0)

    Il caso ordinario, in cui la destinazione non è un versore e vanno fatte entrambe le divisioni. La proiezione scalare viene esatta (11 diviso 5 fa 2,2) mentre le componenti del vettore no. Controlla che la risposta giaccia davvero sulla retta della destinazione: 1,32 diviso 3 fa 0,44, e 1,76 diviso 4 fa 0,44, quindi le due componenti stanno nello stesso rapporto di quelle della destinazione, che è che cosa significa giacere su quella retta. La lunghezza della proiezione è 2,2, cioè lo scalare, come deve essere.

  3. 3 4 su −1 0

    1. Prodotto scalare: 3 × (−1) + 4 × 0 = −3
    2. Lunghezza della destinazione: |−1 0| = 1
    3. Proiezione scalare: −3 ÷ 1 = −3
    4. Vettore proiezione: (−3 ÷ 1) × (−1, 0) = (3, 0, 0)

    La stessa sorgente e la stessa retta del primo esempio, con la destinazione che punta dall'altra parte, ed è la dimostrazione più chiara che questa pagina offra di che cosa sappia ciascuno dei due risultati. La proiezione scalare è passata a −3: è misurata lungo un orientamento, e l'orientamento è cambiato. Il vettore proiezione è identico bit per bit a quello del primo esempio, (3, 0, 0), perché rendere negativa la destinazione introduce un segno meno al numeratore e un altro al denominatore elevato al quadrato, e i due si annullano. Lo scalare sa in che verso punta la destinazione; il vettore conosce soltanto la sua retta.

  4. 1 0 su 0 1

    1. Prodotto scalare: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Lunghezza della destinazione: |0 1| = 1
    3. Proiezione scalare: 0 ÷ 1 = 0
    4. Vettore proiezione: (0 ÷ 1) × (0, 1) = (0, 0, 0)

    Due vettori perpendicolari, e la proiezione è zero in entrambi i risultati. Questa è una risposta vera e non un guasto: dice che la sorgente non ha nessuna parte che punti lungo la destinazione, che è esattamente quello che significa perpendicolare. Un prodotto scalare nullo è il segnale da cercare, ed è l'unico modo di ottenere una proiezione scalare nulla senza che uno dei vettori sia nullo. Qui entrambi i vettori sono lunghi un'unità, quindi nessuno dei due è piccolo: una proiezione nulla tra due vettori di lunghezza piena merita una pausa la prima volta che compare.

  5. 0 0 su 3 4

    1. Prodotto scalare: 0 × 3 + 0 × 4 = 0
    2. Lunghezza della destinazione: √(9 + 16) = 5
    3. Proiezione scalare: 0 ÷ 5 = 0
    4. Vettore proiezione: (0 ÷ 5) × (3, 4) = (0, 0, 0)

    Il vettore nullo come sorgente: ogni prodotto del prodotto scalare è zero, quindi entrambi i risultati sono zero senza che si presenti nessun problema di divisione. Niente su questa pagina rifiuta questo ingresso. Il rifiuto va nella direzione opposta: è il vettore destinazione quello che non deve essere nullo, perché fornisce la direzione e il divisore, e una proiezione sul vettore nullo non ha nessuna retta su cui atterrare.

Limiti

Entrambi i vettori devono avere lo stesso numero di componenti, e ciascuno deve averne due o tre. I due riquadri non sono intercambiabili e le etichette dicono quale è quale: la sorgente è il vettore che viene proiettato e la destinazione è quello su cui viene proiettato. Scambiarli produce una risposta diversa che sembra del tutto ragionevole, quindi se un risultato ti sorprende, controlla i due riquadri prima di controllare l'aritmetica. Il vettore destinazione non deve essere il vettore nullo, perché fornisce sia la direzione sia il divisore; il vettore sorgente può essere nullo, e la sua proiezione è allora zero. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e il vettore proiezione è calcolato dallo scalare non arrotondato, quindi rileggere una componente e dividerla per la componente corrispondente della destinazione può non riprodurre esattamente lo scalare stampato. La tabella di riferimento mostra i vettori destinazione e sorgente come sono stati scritti e i quattro risultati, e di proposito non ha nessuna riga per un vettore destinazione nullo, che questa pagina non sa calcolare. Una sovrapposizione che vale la pena nominare: il prodotto scalare compare nella formula della proiezione come suo numeratore, e il versore compare nella seconda formula come la direzione che viene rimoltiplicata, quindi questa pagina si appoggia a entrambi quegli strumenti senza essere né l'uno né l'altro: la proiezione è il quoziente, non il prodotto scalare e non un vettore normalizzato.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra la proiezione scalare e il vettore proiezione?
La proiezione scalare è un numero solo, con segno: quanto in là arriva la sorgente lungo la direzione della destinazione, negativo quando le due pendono da parti opposte. Il vettore proiezione è quella stessa distanza scritta come un vettore che punta lungo la retta della destinazione. Lo scalare sa in che verso punta la destinazione e il vettore no: inverti la destinazione e lo scalare cambia segno mentre il vettore proiezione resta invariato. Usa lo scalare nei calcoli successivi e il vettore quando la risposta deve essere un vettore.
Perché la proiezione scalare viene negativa?
Perché il vettore sorgente pende dalla parte opposta rispetto alla destinazione invece che verso di essa. La proiezione scalare è misurata lungo un orientamento, quindi quando i due vettori puntano grosso modo in versi opposti la risposta è negativa. Non è un errore e non è una convenzione di segno che si possa ignorare: una forza che tira all'indietro lungo una direzione ha davvero una componente negativa lungo di essa, e per la stessa ragione il lavoro compiuto può venire negativo.
Quale dei due vettori è quello che viene proiettato?
Il vettore sorgente, nel primo riquadro. Il secondo riquadro è il vettore destinazione, che fornisce la direzione lungo cui cade l'ombra. I due non sono intercambiabili su questa pagina: proiettare u su v e proiettare v su u sono numeri diversi, e se scambi i due riquadri la risposta cambia senza che niente sembri rotto. È per questo che i riquadri sono etichettati per ruolo invece di chiamarsi vettore u e vettore v.
Che cosa succede quando i due vettori sono perpendicolari?
Entrambi i risultati sono zero, e quella è una risposta vera e non un guasto. Un prodotto scalare nullo significa che i due vettori sono perpendicolari, ed è l'unico modo di ottenere una proiezione scalare nulla senza che uno dei vettori sia esso stesso nullo, e una proiezione nulla dice che la sorgente non ha nessuna parte che punti lungo la destinazione. La quarta riga della tabella di riferimento è questo caso. Forze perpendicolari non compiono lavoro l'una sull'altra, che è la stessa affermazione detta in fisica.
Il vettore da proiettare può essere il vettore nullo?
Sì, ed entrambi i risultati sono zero: ogni prodotto del prodotto scalare è zero, e la divisione è per la lunghezza della destinazione, che va benissimo. Il rifiuto su questa pagina va nel verso opposto. È il vettore destinazione che non deve essere nullo, perché fornisce la direzione e il divisore, e non c'è nessuna retta su cui proiettare sul vettore nullo.
Qual è la formula della proiezione?
La proiezione scalare è il prodotto scalare dei due vettori diviso per la lunghezza della destinazione: s = (u · v) ÷ |v|. Il vettore proiezione moltiplica quello scalare per il versore della destinazione, che è lo stesso che il prodotto scalare per il vettore destinazione diviso per la lunghezza della destinazione al quadrato. Quando la destinazione ha già lunghezza 1 entrambe le formule si semplificano e la proiezione scalare è semplicemente il prodotto scalare, ed è per questo che la prima riga della tabella di riferimento è quella da controllare a mano.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di vettoriModulo, direzione e componenti di un vettore 2D o 3D.Calcolatrice della somma di vettoriSomma e sottrai vettori, e trova il vettore risultante.Calcolatrice del modulo di un vettoreLunghezza di un vettore in due o tre dimensioni.