Che cosa mi dà questa pagina che le altre pagine sui vettori non danno?

Le componenti, stampate come numeri accanto al versore in cui sono state divise. La riga del modulo è lo stesso numero che dà la pagina del modulo di un vettore e le righe del versore sono gli stessi numeri che dà la pagina del versore, quindi le letture in sé non sono nuove. Quello che è nuovo è averle in un pannello solo insieme alle componenti, che è l'unico posto in cui puoi vedere 3 e 4 in un gruppo e 0,6 e 0,8 in quello dopo e leggere la divisione direttamente.

Quale dei numeri è la direzione?

Le tre righe del versore, e vanno lette insieme: una componente da sola non è una direzione. Il versore punta esattamente sulla stessa retta del vettore che hai scritto, con la lunghezza tirata via, quindi la sua lunghezza è 1 in ogni caso e i valori che contiene riguardano puramente la direzione. La riga del modulo sopra di esso è un numero singolo e non può esprimere una direzione, ed è per questo che servono tutte e tre le righe.

Perché le componenti vengono stampate se le ho scritte io?

Perché vedere l'ingresso come numeri accanto al versore è il punto della pagina. Serve anche a stabilire come è stata interpretata la scrittura: 0 0 5 così com'è potrebbe essere preso per un vettore con un numero solo, e le righe delle componenti mostrano che è un vettore tridimensionale con due voci nulle. Senza di esse il pannello mostrerebbe un modulo e una direzione senza nessun legame visibile tra l'ingresso e l'una o l'altro.

Perché il vettore nullo viene rifiutato quando la pagina del modulo lo accetta?

Perché questa pagina promette tre letture e per il vettore nullo ne esistono solo due: le componenti sono 0 0 0 e il modulo è 0, ma non c'è nessuna direzione, dato che normalizzarlo significherebbe dividere per una lunghezza di zero. La pagina del modulo promette una lettura sola e può fornirla, quindi lo stesso ingresso lì riceve una risposta. Il pannello stampa un valore per ogni riga, quindi un risultato parzialmente vuoto non è qualcosa che questa pagina possa mostrare.

In che cosa è diversa dalla calcolatrice del modulo di un vettore?

Quella pagina risponde a una domanda e questa a tre; il numero del modulo è identico in entrambe. Se la lunghezza è tutto quello che vuoi, la pagina più corta ci arriva prima. Questa pagina serve quando vuoi la lunghezza e la direzione e vuoi vedere come sono legate: le componenti del versore sono le componenti divise per il modulo, e avere entrambe sullo schermo trasforma quella cosa in qualcosa che puoi verificare invece che prendere per buona.

Posso inserire un vettore bidimensionale?

Sì, e la terza componente di ogni riga torna 0. Un vettore di due componenti è un vettore nel piano, che è la stessa cosa di un vettore tridimensionale con la terza voce a 0, quindi un pannello solo serve entrambi senza nessuna impostazione della dimensione. Il modulo è la stessa radice quadrata con due termini sotto, e il versore è le due componenti divise per quella lunghezza.

Calcolatrice di vettori

Risultato

5,0000

Modulo del vettore

Componente x del versore: 0,6000
Componente y del versore: 0,8000
Componente z del versore: 0,0000
Componente x del vettore: 3,0000
Componente y del vettore: 4,0000
Componente z del vettore: 0,0000

Una calcolatrice di vettori legge un vettore solo e riporta tre cose su di esso contemporaneamente: quanto è lungo, in che direzione punta e quali sono le sue componenti. Scrivi due o tre numeri — 3 4, oppure 2 3 6 — e il pannello si riempie. Il modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti, ed è l'unico numero che dice quanto è grande il vettore. La direzione di un vettore viene data come versore: la stessa direzione con la lunghezza tirata via, quindi la sua lunghezza è 1 e sono i valori delle sue componenti a portare l'informazione. Le componenti del vettore vengono stampate esattamente come le hai scritte, convertite in numeri, e stanno accanto al versore di proposito: leggere 3 e 4 in un gruppo e 0,6 e 0,8 in quello successivo rende visibile la divisione, e quel confronto affiancato è la ragione per cui questa pagina esiste come riepilogo invece che come tre domande separate. Chi vuole soltanto la lunghezza di un vettore o soltanto la sua direzione troverà una pagina più corta che risponde solo a quella. Il vettore nullo qui viene rifiutato: non ha direzione, quindi una delle tre letture non esisterebbe.

Un vettore, tre letture

Vettore	Componente x	Componente y	Componente z	Modulo del vettore	Componente x del versore	Componente y del versore	Componente z del versore
3 4	3	4	0	5	0.6	0.8	0
0 0 5	0	0	5	5	0	0	1
1 1	1	1	0	1.4142	0.7071	0.7071	0
-3 4	-3	4	0	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	2	3	6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1	1	1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	3	4	-5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071
0 2 0	0	2	0	2	0	1	0

Otto vettori e le tre letture che questa pagina dà per ciascuno, nell'ordine in cui le stampa il pannello: le componenti, poi il modulo, poi la direzione. La seconda, la terza e la quarta colonna contengono l'ingresso riletto come numeri, ed esistono perché vederli accanto al versore è ciò che trasforma la divisione da risultato in passaggio visibile: ogni valore delle ultime tre colonne è il valore che sta direttamente sopra di esso nella stessa riga, diviso per il modulo della quinta colonna. La prima riga è l'ingresso con cui la pagina si apre, ed è esatta da entrambe le parti perché 3-4-5 è un triangolo rettangolo. La seconda riga ha un vettore con una sola componente diversa da zero, ed è il caso più chiaro per le colonne delle componenti: 0 0 5 così com'è potrebbe essere scambiato per un numero solo, e le colonne mostrano che è un vettore tridimensionale. La terza riga è il caso a componenti uguali nel piano, che dà due componenti uguali del versore, 0,7071. La quarta riga è la prima con un segno cambiato, e mostra a quali letture arrivi il segno: le componenti e il versore lo portano entrambi, il modulo no. La quinta riga è tridimensionale con modulo intero e nessuna componente esatta del versore. La sesta è la diagonale del cubo, le cui tre componenti del versore sono uguali. La settima è tridimensionale con una componente negativa, ed è l'unica riga il cui versore ha una voce negativa. L'ottava giace lungo un asse, quindi il suo versore è la direzione dell'asse stessa. Non c'è nessuna riga per il vettore nullo, di proposito: non ha direzione e la pagina lo rifiuta. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita; gli spazi nella prima colonna sono separatori e non parte dei numeri.

Formula

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

Vettore u: L'unico ingresso: due o tre numeri separati da spazi o da virgole. Due voci sono un vettore nel piano e tre sono un vettore nello spazio, e il conteggio è l'unica cosa che dice quale intendevi: non c'è nessuna impostazione della dimensione da cambiare
u = (u₁, u₂, u₃): Le componenti: i numeri che hai scritto, riletti come vettore. La terza è 0 per un ingresso di due componenti, il che non è un riempitivo: è l'aspetto che la stessa direzione ha scritta in tre coordinate
|u|: Il modulo: ogni componente al quadrato, i quadrati sommati, e la radice quadrata del totale. È la prima riga del risultato e la risposta alla domanda quanto è grande il vettore
û: Il versore, detto anche direzione: ogni componente divisa per il modulo. Giace esattamente sulla stessa retta dell'ingresso e ha lunghezza 1 per costruzione, quindi i valori che porta sono la direzione e nient'altro
u ÷ |u|: La divisione che separa le due letture. Le componenti sono quello che è entrato, le componenti del versore sono quello diviso per la lunghezza, e questa pagina stampa entrambe perché il passaggio sia visibile invece che sottinteso: è l'unica cosa che le pagine sorelle non fanno
Vettore nullo: Rifiutato, e la ragione è stretta: il suo modulo è 0, quindi la divisione per il versore sarebbe 0 ÷ 0 e non c'è nessuna direzione da riportare. Il vettore nullo non è un ingresso illegale, dato che la pagina del modulo risponde alla stessa lista di zeri con 0, ma questa pagina promette tre letture e ne può fornire solo due
Due componenti: Accettate. Un vettore di due componenti è un vettore nel piano, il suo modulo è la stessa radice quadrata con due termini sotto, e la terza componente di ogni risultato è 0
Quattro cifre decimali: L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. Le righe delle componenti riproducono l'ingresso esattamente ogni volta che era un numero intero o un decimale finito; il modulo è spesso un numero intero; il versore è quasi sempre arrotondato, dato che dividere per una radice quadrata di rado si esaurisce
Nessuna unità: Componenti, modulo e componenti del versore sono tutti numeri puri. Niente qui sa in che cosa siano state misurate le componenti, e tutte e tre le letture portano quella stessa unità ignota, tranne il versore, che è adimensionale

Usa questa pagina quando hai un vettore solo e vuoi tutto quello che se ne può dire senza coinvolgerne un secondo. Le righe delle componenti sono l'ingresso riletto come numeri, utili quando la scrittura era a mano e vuoi vedere come è stata interpretata; la riga del modulo dice quanto è grande; le righe del versore dicono dove punta. Le ultime due sono la coppia che conta di più in pratica, perché insieme sono le due metà di un vettore — una dimensione e una direzione — e questa pagina è il punto in cui si possono confrontare direttamente. È un riepilogo e non un sostituto: se ti serve solo la lunghezza, una pagina che stampa solo la lunghezza risponde prima, e lo stesso vale per la direzione, mentre per il lavoro a due vettori come sommare, proiettare o fare un prodotto scalare ti serve una pagina con due riquadri. Quello che questa pagina aggiunge è la vista affiancata. Le righe del versore sono le righe delle componenti divise per il modulo, stampate in un pannello solo, così la divisione si legge invece di doverla prendere per buona. Due o tre componenti sono entrambe accettate, e la terza componente di un vettore a due componenti è 0 dappertutto. Il vettore nullo è l'unico ingresso rifiutato, ed è rifiutato perché una delle tre letture promesse non esiste per lui, non perché l'ingresso sia invalido.

Esempi svolti

3 4
1. Componenti: l'ingresso riletto è (3, 4, 0)
2. Modulo: √(9 + 16) = √25 = 5
3. Versore x: 3 ÷ 5 = 0,6
4. Versore y: 4 ÷ 5 = 0,8
5. Versore z: 0 ÷ 5 = 0
L'ingresso con cui la pagina si apre, e la riga che mostra perché le componenti vengano stampate affatto. Ogni numero del secondo gruppo è un numero del primo gruppo diviso per 5, e avere entrambi i gruppi sullo schermo significa che la divisione si legge invece di doverla ricavare. Il modulo qui è un numero intero perché 3-4-5 è un triangolo rettangolo, ed è anche il motivo per cui le due componenti del versore vengono esatte. Controlla la divisione al contrario: 0,6 per 5 fa 3 e 0,8 per 5 fa 4, quindi moltiplicando il versore per il modulo si riottiene il vettore.
0 0 5
1. Componenti: l'ingresso riletto è (0, 0, 5)
2. Modulo: √(0 + 0 + 25) = 5
3. Versore x: 0 ÷ 5 = 0
4. Versore y: 0 ÷ 5 = 0
5. Versore z: 5 ÷ 5 = 1
Un vettore che giace lungo l'asse z, e il caso in cui le righe delle componenti si guadagnano il posto nel modo più chiaro. L'ingresso così com'è scritto, 0 0 5, potrebbe essere letto come un vettore con un numero solo; le righe delle componenti chiariscono che è un vettore tridimensionale le cui prime due voci sono per caso zero. Il versore è allora la direzione dell'asse stessa, 0 0 1, e la terza lettura è il controllo più facile possibile sulla divisione: 5 diviso 5 fa 1 e 0 diviso 5 fa 0.
2 3 6
1. Componenti: (2, 3, 6)
2. Modulo: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
3. Versore x: 2 ÷ 7 = 0,285714
4. Versore y: 3 ÷ 7 = 0,428571
5. Versore z: 6 ÷ 7 = 0,857143
Il caso tridimensionale ordinario, e quello che mostra che le tre letture sono davvero numeri diversi. Il modulo è un numero intero, 7, mentre nessuna delle componenti del versore lo è: tutte e tre sono decimali periodici arrotondati a quattro cifre. Le componenti invece sono esatte, e confrontarle con il gruppo del versore è tutto il calcolo: 2 su 7, 3 su 7, 6 su 7. Nota anche che la componente più grande, 6, dà la componente più grande del versore, dato che dividere tre numeri per lo stesso valore non può riordinarli.
−3 4
1. Componenti: (−3, 4, 0)
2. Modulo: √(9 + 16) = 5, lo stesso che per 3 4
3. Versore x: −3 ÷ 5 = −0,6
4. Versore y: 4 ÷ 5 = 0,8
5. Versore z: 0 ÷ 5 = 0
Il primo esempio con un segno cambiato, e la riga che mostra a quale delle tre letture arrivi il segno. Il modulo resta 5, perché cambiare segno a una componente non cambia la somma dei suoi quadrati. Le componenti conservano il segno, ovviamente. Anche il versore lo conserva, perché dividere per una lunghezza positiva non può girare un vettore dall'altra parte: quindi delle tre letture solo le righe delle componenti e del versore portano la direzione, e il modulo è quella che non può. Metti questa riga accanto a quella dell'esempio 3 4: differiscono esattamente per un segno.

Limiti

Sono accettate due o tre componenti e nient'altro. Le sovrapposizioni con gli strumenti vicini sono reali e vale la pena nominarle, perché questa pagina è un riepilogo e le sorelle sono specialiste: la riga del modulo porta esattamente lo stesso numero della pagina del modulo di un vettore, le tre righe del versore portano esattamente gli stessi numeri della pagina del versore, e nessuna di quelle due pagine stampa le componenti. Se quello che vuoi è una di quelle risposte singole, la pagina più corta te la dà prima; quello che questa pagina aggiunge sono le componenti accanto al versore, che è l'unico posto in cui la divisione è visibile come divisione. Tratta un vettore solo, quindi tutto ciò che ne coinvolge due — sommare, sottrarre, proiettare, prodotti scalari, angoli — appartiene alle pagine con due riquadri. Il vettore nullo viene rifiutato: il suo modulo è 0 e non ha direzione, quindi le righe del versore non si potrebbero riempire, e il pannello stampa un numero per ogni riga o per nessuna. Quel rifiuto riguarda la promessa di questa pagina e non l'ingresso, al quale la pagina del modulo risponde con 0. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Un vettore di due componenti è accettato e la sua terza componente è 0 dappertutto invece che mancante. Niente qui sa in che cosa siano state misurate le componenti: il versore è adimensionale, e le componenti e il modulo portano l'unità che aveva l'ingresso. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione.

Domande frequenti

Che cosa mi dà questa pagina che le altre pagine sui vettori non danno?: Le componenti, stampate come numeri accanto al versore in cui sono state divise. La riga del modulo è lo stesso numero che dà la pagina del modulo di un vettore e le righe del versore sono gli stessi numeri che dà la pagina del versore, quindi le letture in sé non sono nuove. Quello che è nuovo è averle in un pannello solo insieme alle componenti, che è l'unico posto in cui puoi vedere 3 e 4 in un gruppo e 0,6 e 0,8 in quello dopo e leggere la divisione direttamente.
Quale dei numeri è la direzione?: Le tre righe del versore, e vanno lette insieme: una componente da sola non è una direzione. Il versore punta esattamente sulla stessa retta del vettore che hai scritto, con la lunghezza tirata via, quindi la sua lunghezza è 1 in ogni caso e i valori che contiene riguardano puramente la direzione. La riga del modulo sopra di esso è un numero singolo e non può esprimere una direzione, ed è per questo che servono tutte e tre le righe.
Perché le componenti vengono stampate se le ho scritte io?: Perché vedere l'ingresso come numeri accanto al versore è il punto della pagina. Serve anche a stabilire come è stata interpretata la scrittura: 0 0 5 così com'è potrebbe essere preso per un vettore con un numero solo, e le righe delle componenti mostrano che è un vettore tridimensionale con due voci nulle. Senza di esse il pannello mostrerebbe un modulo e una direzione senza nessun legame visibile tra l'ingresso e l'una o l'altro.
Perché il vettore nullo viene rifiutato quando la pagina del modulo lo accetta?: Perché questa pagina promette tre letture e per il vettore nullo ne esistono solo due: le componenti sono 0 0 0 e il modulo è 0, ma non c'è nessuna direzione, dato che normalizzarlo significherebbe dividere per una lunghezza di zero. La pagina del modulo promette una lettura sola e può fornirla, quindi lo stesso ingresso lì riceve una risposta. Il pannello stampa un valore per ogni riga, quindi un risultato parzialmente vuoto non è qualcosa che questa pagina possa mostrare.
In che cosa è diversa dalla calcolatrice del modulo di un vettore?: Quella pagina risponde a una domanda e questa a tre; il numero del modulo è identico in entrambe. Se la lunghezza è tutto quello che vuoi, la pagina più corta ci arriva prima. Questa pagina serve quando vuoi la lunghezza e la direzione e vuoi vedere come sono legate: le componenti del versore sono le componenti divise per il modulo, e avere entrambe sullo schermo trasforma quella cosa in qualcosa che puoi verificare invece che prendere per buona.
Posso inserire un vettore bidimensionale?: Sì, e la terza componente di ogni riga torna 0. Un vettore di due componenti è un vettore nel piano, che è la stessa cosa di un vettore tridimensionale con la terza voce a 0, quindi un pannello solo serve entrambi senza nessuna impostazione della dimensione. Il modulo è la stessa radice quadrata con due termini sotto, e il versore è le due componenti divise per quella lunghezza.

Riferimenti

Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares printed on this page is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del modulo di un vettoreLunghezza di un vettore in due o tre dimensioni.Calcolatrice della somma di vettoriSomma e sottrai vettori, e trova il vettore risultante.Calcolatrice della proiezione di vettoriProiezione di un vettore su un altro, scalare e vettoriale.