Che cos'è il modulo di un vettore?

È la lunghezza del vettore: ogni componente al quadrato, i quadrati sommati, e la radice quadrata di quel totale. È un numero solo, e dice quanto è grande il vettore senza dire niente su dove punti. Un vettore disegnato dall'origine a un punto ha lo stesso modulo della distanza dall'origine a quel punto, ed è per questo che l'espressione somiglia alla formula della distanza: è la formula della distanza.

Come si calcola a mano la lunghezza di un vettore?

Eleva al quadrato ogni componente, somma i quadrati tra loro e prendi la radice quadrata del totale. Per 3 4 è 9 più 16, che fa 25, e la radice di 25 è 5. Per 1 1 è 1 più 1, che fa 2, e la radice di 2 è 1,4142 a quattro cifre. Il passaggio intermedio è l'unico in cui ci sia spazio per un errore, ed è il passaggio che la tabella di riferimento della pagina elenca per ogni riga.

Posso inserire un vettore bidimensionale o tridimensionale?

Uno dei due, e non c'è nessuna impostazione da cambiare: due voci sono un vettore bidimensionale e tre voci sono un vettore tridimensionale. Lo stesso riquadro accoglie entrambi perché il calcolo è lo stesso calcolo: un vettore nel piano è un vettore nello spazio la cui terza componente è per l'appunto 0, e la sua lunghezza è la stessa radice quadrata con due termini sotto invece che tre.

Qual è il modulo del vettore nullo?

Zero, e questa pagina lo riporta invece di rifiutare l'ingresso. Ogni componente è 0, quindi ogni quadrato è 0, quindi la somma è 0 e la sua radice è 0. Nel calcolo non si è diviso per la lunghezza, ed è questa la ragione per cui qui non c'è nessun errore: la pagina del versore rifiuta questo stesso ingresso proprio perché lì la lunghezza è un divisore.

Il modulo mi dice la direzione?

No, e non può: è un numero solo, e una direzione ne richiede almeno due. I vettori 3 4, −3 4 e 0 5 hanno tre direzioni diverse e sono tutti e tre lunghi cinque, quindi la lunghezza non può servire a distinguerli. Se ti serve la direzione, leggi direttamente le componenti oppure normalizza il vettore in un versore, che conserva la direzione e scarta invece la dimensione.

A che cosa serve il modulo di un vettore?

A confrontare dimensioni e ad alimentare il passaggio successivo di un calcolo più lungo. Due forze o due velocità si ordinano per modulo quando le direzioni sono fuori tema. È anche il numero per cui moltissime altre formule dividono o che moltiplicano: normalizzare un vettore, proiettare un vettore su un altro e il prodotto scalare lo consumano tutti, quindi calcolarlo da solo è comune anche quando la lunghezza non è la risposta finale.

Calcolatrice del modulo di un vettore

Risultato

5,0000

Modulo del vettore

Una calcolatrice del modulo di un vettore dà la lunghezza di un vettore a partire dalle sue componenti. Scrivi due o tre numeri separati da spazi o da virgole — 3 4, oppure 2 3 6 per un vettore tridimensionale — e la pagina eleva al quadrato ogni componente, somma i quadrati e prende la radice quadrata. Quel numero solo è il modulo del vettore, ed è anche la distanza dall'origine al punto che quelle componenti nominano, dato che la lunghezza di una freccia disegnata dall'origine è esattamente quella distanza. Due componenti e tre componenti sono entrambe accettate, ed è il numero delle voci a dire quale intendevi. Essere un numero solo è insieme l'utilità e il limite della risposta: è come si confrontano le dimensioni quando le direzioni sono irrilevanti, ed è esattamente quello che viene buttato via quando ti serve sapere in che verso punta qualcosa. Tre vettori molto diversi condividono una lunghezza di 5 nella tabella qui sotto. Qui non si divide per niente, quindi il vettore nullo è un ingresso ordinario e la sua lunghezza di 0 è una risposta ordinaria.

Vettori e i loro moduli

Vettore	Modulo del vettore
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Otto vettori e le loro lunghezze. La seconda colonna è quella da leggere per prima, perché tre delle otto righe stampano lo stesso valore: 3 4, −3 4 e 0 5 sono tre vettori diversi — uno in alto a destra, uno in alto a sinistra, uno dritto in alto — e ognuno di loro è lungo 5. Quella ripetizione è il punto della tabella. Un modulo è un numero solo e un numero solo non può dire in che verso punti un vettore, quindi la pagina che riporta soltanto il modulo ha buttato via quell'informazione per costruzione. Le prime due righe sono i casi interi, 3-4-5 e 5-12-13, dove la somma dei quadrati è per l'appunto un quadrato perfetto e non si arrotonda niente. La terza e la sesta riga sono i casi a componenti uguali, nel piano e nello spazio, ed entrambe danno radici che non si esauriscono mai. La quinta riga è il caso tridimensionale intero: 2-3-6 dà esattamente 7. La settima riga giace lungo un asse, quindi la sua lunghezza è semplicemente la componente che non è zero. L'ottava riga è il vettore nullo, che stampa 0, e questa pagina gli risponde invece di rifiutarlo, perché qui una lunghezza non è un divisore. La prima colonna contiene l'ingresso esattamente come è stato scritto; gli spazi che ci sono dentro sono separatori e non parte dei numeri.

Formula

|u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)

Vettore u: Il vettore di cui si vuole la lunghezza: due o tre numeri separati da spazi o da virgole. Niente altro segnala di che tipo sia: è il numero delle voci a dire se intendevi un vettore nel piano o uno nello spazio
|u|: La lunghezza stessa: ogni componente al quadrato, i quadrati sommati, e la radice quadrata di quel totale. È il numero sul pannello
u₁² + u₂² + …: La somma dei quadrati, che gli esempi svolti qui sotto elencano termine per termine. È l'unico passaggio intermedio del calcolo, e vederlo scritto è ciò che rende il risultato controllabile a mano
√: La radice quadrata, che è il motivo per cui tante risposte sono irrazionali. 3 4 dà 5 esatto perché 9 più 16 fa per l'appunto 25; 1 1 dà 1,4142 e nessun decimale finito è uguale a quel numero
Due componenti: Un vettore nel piano. Entrambi i conteggi sono accettati e nessuno dei due è un caso speciale: un vettore bidimensionale è un vettore tridimensionale la cui terza componente è 0
Vettore nullo: Un vettore le cui componenti sono tutte 0. La sua lunghezza è 0, e questa è una risposta e non un rifiuto: qui non si divide per niente, ed è precisamente per questo che il vettore nullo è accettato qui e viene respinto dalle pagine che normalizzano
Quattro cifre decimali: L'ampiezza con cui viene scritta la risposta. Esatta quando la somma dei quadrati è un quadrato perfetto, altrimenti arrotondata a quattro cifre
Nessuna unità: Niente su questa pagina sa in che cosa siano state misurate le componenti, e la risposta porta l'unità che avevano. Una lunghezza di 5 significa 5 di qualunque cosa sia stata scritta

Usa questa pagina quando quanto è grande qualcosa conta e in che direzione punti no. Il caso più chiaro è confrontare dimensioni: due forze, due velocità o due spostamenti si ordinano per lunghezza e basta, e la direzione è solo d'intralcio. Il secondo caso è una lunghezza che è un passaggio dentro un calcolo più lungo: il modulo è il divisore nel normalizzare un vettore, il denominatore nella formula della proiezione e uno dei due fattori in un prodotto scalare, quindi viene calcolato da solo molto più spesso di quanto venga usato per se stesso. Il terzo caso è il più concreto di tutti: le componenti di un vettore sono le coordinate di un punto, quindi la sua lunghezza è quanto quel punto dista dall'origine, e l'espressione è la formula della distanza che forse già conosci sotto un altro nome. In molti testi la stessa grandezza si chiama norma. Quello che la risposta non porta è la direzione, e vale la pena dirlo esplicitamente perché è facile leggerci troppo. Una lunghezza di 5 è venuta da 3 4, da −3 4 e da 0 5 allo stesso modo. Se ti serve sapere quale di quelli hai davanti, la lunghezza non è la pagina che fa per te: lo sono le componenti o il versore. Un ingresso di due componenti va benissimo e non viene completato: è un vettore nel piano piatto, e la sua lunghezza è la stessa formula della distanza con due termini. Il vettore nullo è accettato, e la sua lunghezza di 0 è un'affermazione vera e non un errore.

Esempi svolti

3 4
1. Eleva al quadrato ogni componente: 3² = 9 e 4² = 16
2. Somma i quadrati: 9 + 16 = 25
3. Prendi la radice quadrata: √25 = 5
L'ingresso con cui la pagina si apre e il caso più pulito che ci sia. 9 più 16 fa 25, un quadrato perfetto, quindi la risposta è un numero intero senza niente di arrotondato, il che accade perché 3 e 4 sono i due cateti del triangolo rettangolo 3-4-5. Controllala al contrario: un punto a tre di lato e quattro in su dista cinque dall'origine, che è la stessa cosa che dire che il vettore 3 4 è lungo cinque.
5 12
1. Eleva al quadrato ogni componente: 5² = 25 e 12² = 144
2. Somma i quadrati: 25 + 144 = 169
3. Prendi la radice quadrata: √169 = 13
La terna pitagorica successiva alla 3-4-5, e quella che mostra che una risposta esatta non è un caso isolato. Entrambe le componenti sono più grandi che nel primo esempio e la risposta viene comunque intera. Mostra anche che la risposta non è limitata da nessuna delle due componenti: 13 è più grande di 5 e più grande di 12, che è quello che fa la radice quadrata di una somma.
1 1
1. Eleva al quadrato ogni componente: 1² = 1 e 1² = 1
2. Somma i quadrati: 1 + 1 = 2
3. Prendi la radice quadrata: √2 = 1,414214, stampata come 1,4142
Il caso ordinario e non l'eccezione: la maggior parte delle somme di quadrati non sono quadrati perfetti, quindi la maggior parte delle risposte è irrazionale e viene arrotondata a quattro cifre. √2 è la più semplice di tutte e quella che vale la pena riconoscere: salta fuori ogni volta che un'unità viene divisa in parti uguali tra due componenti. Controlla che la definizione regga all'indietro: 1,4142 al quadrato fa 1,99996, che entro l'arrotondamento è 2.
0 0
1. Eleva al quadrato ogni componente: 0² = 0 e 0² = 0
2. Somma i quadrati: 0 + 0 = 0
3. Prendi la radice quadrata: √0 = 0
Il vettore nullo, e questa pagina gli risponde invece di respingerlo. La lunghezza di un vettore che va dall'origine all'origine è 0, e nel calcolo non si è diviso per niente, quindi non c'è nessuna ragione di rifiutare. Le pagine che normalizzano un vettore rifiutano questo stesso ingresso, perché lì la lunghezza è un divisore: il verdetto appartiene alla domanda che viene posta, non all'ingresso.

Limiti

Sono accettate due o tre componenti, e soltanto quelle: un numero solo è una grandezza con segno più che una direzione, e quattro o più non corrispondono a nessuna lunghezza che qualcuno abbia chiesto a questa pagina. Un ingresso di due componenti non viene completato a tre: giace nel piano piatto, e la stessa direzione scritta in tre coordinate ha terza componente 0, ed è per questo che il riquadro non ha bisogno di chiedere quale intendevi. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e la risposta è calcolata dalla somma dei quadrati non arrotondata, quindi la cifra stampata può non tornare esattamente al numero da cui eri partito quando la elevi al quadrato. La lunghezza è un numero puro: niente qui sa se le componenti fossero metri, newton o niente affatto, e un modulo porta l'unità che avevano. L'unica cosa che la risposta davvero non può fare è dirti qualcosa sulla direzione. Una lunghezza di 5 è condivisa da 3 4, da −3 4 e da 0 5, e una pagina che riporta solo la lunghezza ha, per costruzione, buttato via la distinzione. Per la direzione usa le componenti stesse o il versore costruito da esse; per un confronto che ignora la direzione questa pagina è la risposta completa, e questo è il suo senso.

Domande frequenti

Che cos'è il modulo di un vettore?: È la lunghezza del vettore: ogni componente al quadrato, i quadrati sommati, e la radice quadrata di quel totale. È un numero solo, e dice quanto è grande il vettore senza dire niente su dove punti. Un vettore disegnato dall'origine a un punto ha lo stesso modulo della distanza dall'origine a quel punto, ed è per questo che l'espressione somiglia alla formula della distanza: è la formula della distanza.
Come si calcola a mano la lunghezza di un vettore?: Eleva al quadrato ogni componente, somma i quadrati tra loro e prendi la radice quadrata del totale. Per 3 4 è 9 più 16, che fa 25, e la radice di 25 è 5. Per 1 1 è 1 più 1, che fa 2, e la radice di 2 è 1,4142 a quattro cifre. Il passaggio intermedio è l'unico in cui ci sia spazio per un errore, ed è il passaggio che la tabella di riferimento della pagina elenca per ogni riga.
Posso inserire un vettore bidimensionale o tridimensionale?: Uno dei due, e non c'è nessuna impostazione da cambiare: due voci sono un vettore bidimensionale e tre voci sono un vettore tridimensionale. Lo stesso riquadro accoglie entrambi perché il calcolo è lo stesso calcolo: un vettore nel piano è un vettore nello spazio la cui terza componente è per l'appunto 0, e la sua lunghezza è la stessa radice quadrata con due termini sotto invece che tre.
Qual è il modulo del vettore nullo?: Zero, e questa pagina lo riporta invece di rifiutare l'ingresso. Ogni componente è 0, quindi ogni quadrato è 0, quindi la somma è 0 e la sua radice è 0. Nel calcolo non si è diviso per la lunghezza, ed è questa la ragione per cui qui non c'è nessun errore: la pagina del versore rifiuta questo stesso ingresso proprio perché lì la lunghezza è un divisore.
Il modulo mi dice la direzione?: No, e non può: è un numero solo, e una direzione ne richiede almeno due. I vettori 3 4, −3 4 e 0 5 hanno tre direzioni diverse e sono tutti e tre lunghi cinque, quindi la lunghezza non può servire a distinguerli. Se ti serve la direzione, leggi direttamente le componenti oppure normalizza il vettore in un versore, che conserva la direzione e scarta invece la dimensione.
A che cosa serve il modulo di un vettore?: A confrontare dimensioni e ad alimentare il passaggio successivo di un calcolo più lungo. Due forze o due velocità si ordinano per modulo quando le direzioni sono fuori tema. È anche il numero per cui moltissime altre formule dividono o che moltiplicano: normalizzare un vettore, proiettare un vettore su un altro e il prodotto scalare lo consumano tutti, quindi calcolarlo da solo è comune anche quando la lunghezza non è la risposta finale.

Riferimenti

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)
Pythagorean theorem — the relation behind the cases where a sum of squares is itself a perfect square, which is why 3-4-5 and 5-12-13 come out whole while most vectors do not — Wolfram MathWorld

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di vettoriModulo, direzione e componenti di un vettore 2D o 3D.Calcolatrice della somma di vettoriSomma e sottrai vettori, e trova il vettore risultante.Calcolatrice della proiezione di vettoriProiezione di un vettore su un altro, scalare e vettoriale.