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CalcMax

Calcolatrice della somma di vettori

Risultato

4,0000

Componente x della risultante

Componente y della risultante
6,0000
Componente z della risultante
0,0000
Modulo della risultante
7,2111

Una calcolatrice della somma di vettori somma o sottrae due vettori componente per componente e stampa il risultato come tre componenti più la sua lunghezza. Scrivi ciascun vettore come un elenco di numeri — 3 4 e 1 2 — e scegli se vuoi sommarli o separarli. Sommare due vettori significa sommare le prime componenti, poi le seconde, poi le terze, e lasciare che quei totali siano le componenti della risposta. Tra loro non c'è nessuna moltiplicazione e nessun angolo da calcolare, ed è questo che rende sommare vettori molto più semplice che moltiplicarli: l'operazione non mischia mai una componente con un'altra. La sottrazione tra vettori è la stessa operazione con i segni del secondo vettore ribaltati, quindi u − v e u + (−v) sono un solo calcolo scritto in due modi, ed entrambi stanno dietro a un unico controllo qui perché il segno è tutta la differenza. Sono accettate due o tre componenti ed entrambi i vettori devono averne lo stesso numero. Il risultato può benissimo essere il vettore nullo: sommare un vettore al suo opposto è una somma corretta, non un guasto, quindi niente su questa pagina rifiuta un ingresso perché produce zeri.

Vettori e le loro somme

Vettore uVettore vComponente x di u + vComponente y di u + vComponente z di u + vModulo di u + v
3 41 24607.2111
1 00 11101.4142
1 1 11 1 12223.4641
2 -34 56206.3246
-1 23 -52-303.6056
1 0 01 0 02002
1 2 3-1 -2 -30000
3 4 -51 2 246-37.8102

Otto coppie di vettori e le loro somme, con la lunghezza di ciascuna somma nell'ultima colonna. Questa tabella è solo la somma: l'opzione sottrazione della pagina non può essere mostrata qui, perché la tabella viene generata senza sapere quale opzione sia scelta, quindi la sottrazione è lasciata agli esempi svolti e a una frase: si sottrae ribaltando i segni del secondo vettore e sommando. La prima riga è la coppia con cui la pagina si apre. La seconda è la coppia che giace lungo i due assi, perpendicolare a se stessa, e la sua lunghezza è la più piccola della tabella rispetto ai due ingressi: √2 contro lunghezze di 1 e 1. La terza riga è la prima delle due righe con versi concordi, dove il secondo vettore è una copia esatta del primo e la risposta è il suo doppio; qui la lunghezza della somma è davvero la somma delle lunghezze, 2√3, e questo è l'unico tipo di coppia per cui è vero. La quarta e la quinta riga coinvolgono componenti negative in due schemi diversi, una in cui i segni si annullano nella componente x e una in cui la prima componente più grande del secondo vettore tira la somma oltre lo zero. La sesta riga è il secondo caso a versi concordi, e il più facile da controllare a occhio: entrambi gli ingressi sono lunghi un'unità e la somma è due. La settima riga è un vettore sommato al suo esatto opposto, che dà il vettore nullo con lunghezza 0: l'estremo opposto, e un risultato ordinario invece che un errore. L'ottava riga è tridimensionale senza componenti nulle, quindi la sua terza colonna fa un lavoro vero. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita; gli spazi nelle prime due colonne sono separatori e non parte dei numeri.

Formula

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

Vettore u
Il primo vettore, come elenco di due o tre numeri separati da spazi o da virgole. In quale dei due riquadri finisca non cambia la risposta per la somma e ribalta soltanto il segno per la sottrazione, quindi non si perde niente a trattarlo semplicemente come il primo
Vettore v
Il secondo vettore, scritto allo stesso modo. Deve avere lo stesso numero di componenti del primo: non esiste una regola per sommare un vettore di due componenti a uno di tre, dato che il terzo numero non avrebbe con che cosa accoppiarsi
u + v
La somma, calcolata componente per componente. Ogni componente della risposta usa solo le componenti che stanno nella stessa posizione nei due ingressi: le prime componenti insieme, le seconde insieme, e così via
u − v
La differenza, che è la somma con ogni componente del secondo vettore resa negativa prima. Ribaltare il segno del secondo vettore è l'intera differenza tra sommare e sottrarre, ed è per questo che un solo controllo serve entrambe
Componenti x, y e z del vettore risultante
Le tre righe della risposta, da leggere insieme come un vettore solo. La terza è 0 ogni volta che entrambi gli ingressi hanno due componenti: quello zero non è un riempitivo ma l'aspetto che la stessa direzione ha scritta in tre coordinate
|u + v|
La lunghezza del vettore ottenuto, che è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti. È una domanda separata dalle tre componenti e merita una riga propria: le componenti dicono dove punta la risposta, la lunghezza dice fin dove arriva
Somma o sottrazione
L'unica scelta che questa pagina chiede, e l'unica cosa che cambia tra le due modalità. Gli stessi due riquadri e le stesse quattro righe di risultato valgono in entrambi i casi; cambia solo l'aritmetica
Vettore nullo
Un vettore le cui componenti sono tutte 0. Una somma o una differenza può essere il vettore nullo e quella è una risposta corretta, non un guasto: sommare un vettore al suo opposto dà esattamente questo, e la tabella di riferimento contiene una riga in cui accade
Quattro cifre decimali
L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. Le componenti sono esatte ogni volta che gli ingressi sono numeri interi, dato che sono in gioco solo addizioni e sottrazioni; l'arrotondamento riguarda la lunghezza, che è una radice quadrata

Usa questa pagina quando due vettori agiscono insieme sulla stessa cosa e ti serve il loro effetto combinato: è l'addizione nella sua forma più diretta. Due forze su un oggetto, due velocità sommate in una corrente, due spostamenti percorsi uno dopo l'altro: tutti sono somme componente per componente, e la risposta è il vettore unico che farebbe il lavoro di entrambi. La sottrazione risponde all'altra metà della stessa domanda: u − v è il vettore che ti porta dalla punta di v alla punta di u, ed è per questo che è l'operazione dietro ogni calcolo di posizione relativa e di velocità relativa. La ragione per cui i vettori si sommano così facilmente è che le componenti non si mescolano mai — ogni posizione della risposta dipende dalla stessa posizione negli ingressi e da nient'altro — e vale la pena saperlo perché non è vero per la moltiplicazione, dove ogni componente della risposta dipende da ogni componente di entrambi gli ingressi e salta fuori un angolo. Due componenti e tre componenti vanno bene entrambe, e i due ingressi devono corrispondersi. Una somma nulla è un esito ordinario: un vettore più il suo opposto fa zero, e zero è un vettore perfettamente valido. L'unica cosa da tenere dritta è che la lunghezza stampata accanto è la lunghezza del risultato e non la somma delle due lunghezze degli ingressi: a meno che i due vettori puntino nello stesso verso, quei due sono numeri diversi, e la differenza tra loro è tutta la ragione per cui i vettori non si sommano sommando le loro dimensioni.

Esempi svolti

  1. 3 4 + 1 2

    1. Componente x: 3 + 1 = 4
    2. Componente y: 4 + 2 = 6
    3. Componente z: 0 + 0 = 0, dato che entrambi gli ingressi hanno due componenti
    4. Modulo: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103

    L'ingresso con cui la pagina si apre, e un caso in cui ogni passaggio è visibile. I due vettori puntano all'incirca nella stessa direzione, quindi la risposta è lunga: 7,2111 contro lunghezze degli ingressi di 5 e 2,2361, la cui somma sarebbe 7,2361. Qui i due valori sono vicini ma non uguali, e sono uguali solo quando i due vettori puntano esattamente nella stessa direzione: due righe della tabella di riferimento sono quel caso, e in tutte le altre la somma viene più corta delle due lunghezze addizionate.

  2. 3 4 − 1 2

    1. Componente x: 3 − 1 = 2
    2. Componente y: 4 − 2 = 2
    3. Componente z: 0 − 0 = 0
    4. Modulo: √(4 + 4) = √8 = 2,828427

    Gli stessi due vettori del primo esempio con l'altra opzione selezionata, e l'unica cosa cambiata è il segno applicato al secondo ingresso. La risposta è in effetti 2u − (u + v) e viene molto più corta di entrambi gli ingressi, perché i due vettori puntano in direzioni simili e separarli lascia poco. Passare avanti e indietro tra questo e il primo esempio è il modo più rapido per vedere che cosa fa il controllo.

  3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

    1. Componente x: 1 + (−1) = 0
    2. Componente y: 2 + (−2) = 0
    3. Componente z: 3 + (−3) = 0
    4. Modulo: √(0 + 0 + 0) = 0

    Un vettore sommato al suo opposto, che dà il vettore nullo. Non è andato storto niente: le due frecce hanno la stessa lunghezza e versi opposti, quindi il cammino che descrivono finisce dove era iniziato. La pagina lo riporta invece di rifiutarlo, e la settima riga della tabella di riferimento è lo stesso caso. Porta il controllo su sottrazione con lo stesso ingresso e la risposta raddoppia invece: 2 4 6 con una lunghezza di 7,4833, che è quanto di più chiaro si possa avere sull'effetto del segno.

  4. −1 2 − 3 −5

    1. Componente x: −1 − 3 = −4
    2. Componente y: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
    3. Componente z: 0 − 0 = 0
    4. Modulo: √(16 + 49) = √65 = 8,062258

    Il caso in cui i segni non si annullano e l'aritmetica va fatta con attenzione. Sottrarre meno cinque equivale ad aggiungere cinque, quindi la componente y sale a 7, e la componente x diventa negativa perché la prima componente del secondo vettore è più grande. Il risultato è più lungo di entrambi gli ingressi, cosa che accade ogni volta che i due vettori puntano in versi opposti, e la lunghezza è il segno più evidente di ciò, dato che le componenti −4 e 7 non sembrano un vettore lungo finché non le si eleva al quadrato e le si somma.

Limiti

Entrambi i vettori devono avere lo stesso numero di componenti, e ciascuno deve averne due o tre: il pannello ha tre righe di componenti, e una discordanza lascerebbe il terzo numero di un ingresso senza niente con cui accoppiarsi. Un vettore di due componenti non viene completato a tre: giace nel piano piatto, e lo 0 stampato nella terza riga è l'aspetto che quella direzione ha in tre coordinate. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. La tabella di riferimento mostra solo la somma, perché viene generata senza sapere quale opzione sia selezionata; la sottrazione è quelle stesse righe con i segni del secondo vettore ribaltati, e gli esempi svolti qui sotto la coprono. La lunghezza stampata accanto al risultato è la lunghezza del risultato e non la somma delle due lunghezze degli ingressi. Sommare le due lunghezze dà la risposta giusta solo quando i vettori puntano esattamente nella stessa direzione; sommare un vettore al suo opposto dà 0 invece del doppio della lunghezza, che è quanto di più lontano ci sia da quel caso. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione. Niente qui sa in che cosa siano state misurate le componenti, e la risposta porta l'unità che avevano: le componenti e la lunghezza sono tutte in quella stessa unità, quindi le tre componenti non vanno lette da sole come se fossero una lunghezza.

Domande frequenti

Che cosa significa sommare due vettori?
Sommare due vettori significa sommare le loro componenti posizione per posizione: le prime componenti insieme, poi le seconde, poi le terze, e quei tre totali sono le componenti della risposta. Non si moltiplica niente e non serve nessun angolo, ed è questo che rende la somma tra vettori molto più facile della moltiplicazione: le componenti non si mescolano mai, quindi ogni voce della risposta dipende esattamente da una voce di ciascun ingresso.
In che cosa la sottrazione differisce dalla somma?
Per un segno. Sottrarre è sommare dopo aver reso negativo il secondo vettore, quindi u − v e u + (−v) sono lo stesso calcolo scritto in due modi. È per questo che entrambi stanno dietro a un solo controllo su questa pagina: l'aritmetica che cambia è un singolo segno, e metterli fianco a fianco sugli stessi ingressi è il modo più chiaro di vederlo. Sottrai 1 2 da 3 4 e ottieni 2 2; sommali e ottieni 4 6.
La somma può essere il vettore nullo?
Sì, ed è una risposta corretta e non un guasto. Sommare un vettore al suo esatto opposto dà zero: le due frecce hanno lunghezze uguali e versi opposti, quindi lo spostamento che descrivono torna al punto di partenza. La pagina riporta 0 per tutte e tre le componenti e una lunghezza di 0. La settima riga della tabella di riferimento è questo caso, e lo stesso ingresso con la sottrazione dà invece 2u.
I due vettori devono avere lo stesso numero di componenti?
Sì. Non esiste una regola per sommare un vettore di due componenti a uno di tre, perché il terzo numero non avrebbe con che cosa accoppiarsi. Ogni ingresso può avere due o tre componenti — questo è il limite del pannello, non dell'aritmetica — ma i due conteggi devono coincidere, e la pagina lo dice invece di trattare in silenzio la voce mancante come uno zero.
La lunghezza della somma è la somma delle lunghezze?
No, e questo è l'errore che la pagina vuole prevenire più di ogni altro. La lunghezza della somma è la somma delle due lunghezze solo quando i vettori puntano esattamente nella stessa direzione; quando puntano in versi opposti può essere la differenza delle lunghezze, e quando sono perpendicolari è minore di entrambe. La ragione è che le componenti possono annullarsi in parte, e in che direzione vada l'annullamento dipende dalle direzioni e non dalle dimensioni.
Posso sommare un vettore bidimensionale a uno tridimensionale?
No, e la pagina lo rifiuta invece di riempire la terza componente mancante con uno zero. Un vettore di due componenti è un vettore nel piano, che è la stessa cosa di un vettore di tre componenti con la terza voce a 0, ma quello è un fatto su come il piano sta dentro lo spazio e non una licenza ad aggiungere un numero al nulla. Scrivi esplicitamente la terza componente se è quello che intendi.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di vettoriModulo, direzione e componenti di un vettore 2D o 3D.Calcolatrice del modulo di un vettoreLunghezza di un vettore in due o tre dimensioni.Calcolatrice della proiezione di vettoriProiezione di un vettore su un altro, scalare e vettoriale.