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CalcMax

Calcolatrice del prodotto vettoriale

Risultato

-3,0000

Componente x di u × v

Componente y di u × v
6,0000
Componente z di u × v
-3,0000
Modulo di u × v
7,3485

Una calcolatrice del prodotto vettoriale prende due vettori tridimensionali e restituisce il vettore perpendicolare a entrambi, scritto come le sue componenti x, y e z insieme alla lunghezza del vettore che ne risulta. Scrivi ciascun vettore come tre numeri separati da spazi o da virgole — 1 2 3 e 4 5 6 — in uno qualsiasi dei due riquadri, e la pagina fa il resto. Tre numeri per vettore non è una semplificazione ma la definizione: il prodotto vettoriale esiste in tre dimensioni, e non c'è nessun prodotto vettoriale di due vettori nel piano da calcolare. Ogni componente nasce da una differenza di due prodotti. La componente x è la seconda componente del primo vettore per la terza del secondo, meno la sua terza per la seconda del secondo. La componente y ripete lo stesso schema spostato di un posto, e la z lo sposta ancora di uno: è l'ordine ciclico che va tenuto dritto, ed è sbagliarlo che produce un segno sbagliato in una componente invece di una risposta evidentemente assurda. Due proprietà valgono la pena di essere sapute prima di usare il risultato. La prima è che il vettore trovato è ad angolo retto con entrambi gli ingressi, quindi è il modo naturale di ottenere la perpendicolare a una superficie o a un piano individuato da due direzioni. La seconda è che l'ordine conta: scambia i due vettori e ogni componente della risposta cambia segno, mentre la lunghezza resta identica. È la regola della mano destra in forma aritmetica, e questa pagina te la mostra direttamente se inserisci la stessa coppia due volte con i riquadri scambiati. La stessa formula ha una seconda lettura che spesso è più utile del vettore stesso: la lunghezza del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma che i due vettori individuano, cioè esattamente il doppio dell'area del triangolo che ha quei due lati. Un prodotto vettoriale di lunghezza zero significa quindi che i due vettori sono paralleli — non individuano nessuna area — ed è anche il caso che restituisce tre zeri.

Coppie di vettori e i loro prodotti vettoriali

Vettore uVettore vComponente x di u × vComponente y di u × vComponente z di u × vModulo di u × v
1 2 34 5 6-36-37.3485
1 0 00 1 00011
0 1 01 0 000-11
0 0 11 0 00101
1 2 32 4 60000
0 0 01 2 30000
3 4 04 3 000-77
2 -3 14 5 6-23-82232.8177

Otto coppie, e su queste righe è distribuito l'intero argomento della pagina. La prima è quella con cui la pagina si apre, la seconda è l'esempio più semplice che esista: il versore lungo x moltiplicato vettorialmente per quello lungo y dà quello lungo z, con lunghezza 1. La terza è la seconda con le due colonne scambiate, e la quarta chiude il ciclo: sono l'intero ordine ciclico di questa operazione dimostrato in tre righe. La quinta è due vettori paralleli, che danno tre zeri e una lunghezza di zero, perché vettori paralleli non individuano nessuna area. La sesta è il vettore nullo, e sta nella tabella di proposito: la pagina lo accetta, a differenza delle pagine del prodotto scalare e dell'angolo, perché qui c'è una risposta vera da dare invece di una divisione da evitare. Quelle due righe si somigliano e significano cose diverse, ed è l'unica ambiguità che la pagina non può risolvere al posto tuo. La settima è una coppia che giace nel piano piatto: la risposta esce dal piano, solo la terza componente è diversa da zero, e la lunghezza di 7 è l'area del parallelogramma che ha queste due come lati. L'ottava è quella disordinata con segni misti, dove tutte e tre le componenti sono diverse da zero: la riga da confrontare se ne calcoli una a mano e vuoi sapere se il tuo schema dei segni è giusto. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita, e gli spazi dentro le prime due colonne sono i separatori, non parte dei numeri.

Formula

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sen θ = area del parallelogramma

Vettore u
Il primo vettore: esattamente tre numeri separati da spazi o da virgole, per esempio 1 2 3. Tre è l'unico numero di componenti accettato, perché il prodotto vettoriale è un'operazione tridimensionale: una coppia nel piano viene rifiutata invece che completata con uno zero, cosa che cambierebbe la risposta senza dirlo
Vettore v
Il secondo vettore, anch'esso di esattamente tre numeri. Qui l'ordine dei due vettori conta, a differenza del prodotto scalare: scambiarli cambia il segno di ogni componente della risposta
Componente x
La prima componente della risposta: la seconda componente del primo vettore per la terza del secondo, meno la terza del primo per la seconda del secondo. Ogni componente di un prodotto vettoriale è una differenza di due prodotti, ed è da lì che vengono i segni
Componente y
Lo stesso schema spostato di un giro: la terza componente del primo vettore per la prima del secondo, meno la prima del primo per la terza del secondo. Sbagliare questo spostamento è l'errore più comune, e non produce una risposta assurda: produce una componente con il segno sbagliato
Componente z
Lo schema spostato ancora una volta: la prima componente del primo vettore per la seconda del secondo, meno la seconda del primo per la prima del secondo. Le tre componenti messe insieme sono il vettore perpendicolare a entrambi gli ingressi
Modulo
La lunghezza del vettore ottenuto: la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre componenti. È anche l'area del parallelogramma individuato dai due vettori di partenza, e il doppio dell'area del triangolo con quei due lati, che di solito è il modo più utile di leggerla. In molti testi la stessa grandezza si chiama norma
|u| × |v| × sen θ
La stessa lunghezza scritta dall'altro lato, con θ l'angolo tra i due ingressi. Dice che la lunghezza è massima quando i due vettori sono perpendicolari e scende a zero quando si allineano, ed è per questo che un prodotto vettoriale nullo significa paralleli: e anche per questo il prodotto scalare, che si comporta in modo esattamente opposto, è il complemento di questa pagina
Perpendicolare a entrambi
La proprietà che rende utile il risultato: il vettore trovato è ad angolo retto con ciascuno dei due ingressi. Si verifica sull'output facendo uno dei due prodotti scalari: entrambi vengono zero, a meno degli arrotondamenti
Quattro cifre decimali
L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. Le componenti sono esatte ogni volta che gli ingressi sono numeri interi e piccoli, il che copre la maggior parte dei calcoli a mano; dove non lo sono, le cifre sono arrotondate

Il prodotto vettoriale risponde a una domanda diversa da quella del prodotto scalare, e i due sono complementari più che alternativi. Il prodotto scalare prende due vettori e restituisce un numero, massimo quando puntano nello stesso verso; il prodotto vettoriale prende due vettori e restituisce un vettore, massimo quando sono perpendicolari. Usa questa pagina quando ti serve una direzione ad angolo retto rispetto a due direzioni note: la normale a una superficie, l'asse attorno a cui avviene una rotazione, la direzione in cui una forza magnetica spinge una carica in movimento. Usala quando vuoi l'area di un parallelogramma o di un triangolo a partire da due vettori che ne sono i lati: la lunghezza della risposta è l'area del parallelogramma, quindi la metà è quella del triangolo. Usala quando vuoi verificare se due vettori sono paralleli, dato che la risposta è tre zeri esattamente in quel caso. E usala quando ti serve la direzione perpendicolare con l'orientamento giusto, che è il punto in cui entrano in gioco l'ordine dei due vettori e la regola della mano destra: il primo vettore è quello da cui le dita si allontanano e il secondo quello verso cui si avvolgono, con il pollice che indica la risposta. Due avvertenze. Il risultato è perpendicolare a entrambi gli ingressi, quindi non è una direzione verso cui puntava nessuno dei due: se ti aspettavi una risposta lungo uno di quelli, volevi il prodotto scalare. E una lunghezza di zero è una risposta vera, non un guasto: dice che i due vettori sono paralleli, compreso il caso in cui uno dei due è il vettore nullo.

Esempi svolti

  1. 1 2 3 e 4 5 6

    1. Componente x: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
    2. Componente y: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
    3. Componente z: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
    4. Modulo: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469

    L'ingresso con cui la pagina si apre, e la riga che mostra quanto sia banale l'aritmetica: tre differenze di due prodotti e nient'altro. Tutte e tre le componenti sono diverse da zero, il che rende questa la riga più utile per confrontare un passaggio fatto a mano con la pagina, dato che un errore di segno non può nascondersi dietro uno zero. La lunghezza, 7,3485, è l'area del parallelogramma individuato da questi due vettori: il triangolo con questi due lati ne ha la metà.

  2. 1 0 0 e 0 1 0

    1. Componente x: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
    2. Componente y: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
    3. Componente z: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
    4. Modulo: √(0 + 0 + 1) = 1

    I versori lungo i primi due assi, e il prodotto vettoriale torna come il terzo. È la riga che mostra l'ordine ciclico su cui è costruita la pagina: x per y dà z, e la lunghezza di 1 dice che i due ingressi erano perpendicolari e che il parallelogramma è un quadrato di lato uno. Vale la pena di scrivere a mano le tre componenti su questa riga almeno una volta: è il caso in cui tutti i termini che devono annullarsi si annullano davvero.

  3. 0 1 0 e 1 0 0

    1. Componente x: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
    2. Componente y: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
    3. Componente z: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
    4. Modulo: √(0 + 0 + 1) = 1

    La riga precedente con i due riquadri scambiati, e tutta la differenza è il segno della terza componente. Questa è la proprietà di dipendenza dall'ordine, e la pagina la dimostra senza bisogno di algebra: inserisci due volte la stessa coppia, scambia i riquadri, guarda una componente cambiare segno. La lunghezza resta 1, che è l'altra metà dell'affermazione: scambiare i due vettori inverte la direzione della risposta ma non la sua dimensione.

  4. 1 2 3 e 2 4 6

    1. Componente x: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
    2. Componente y: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
    3. Componente z: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
    4. Modulo: √(0 + 0 + 0) = 0

    Due vettori che puntano lungo la stessa retta, il secondo esattamente il doppio del primo, e la risposta è tre zeri. Questo è il caso parallelo, ed è quello che vale la pena riconoscere, perché la lunghezza di un prodotto vettoriale è l'area individuata dai due vettori e vettori paralleli non individuano nessuna area. Ottenere tutti zeri è una risposta corretta, non un guasto: dice che le due direzioni sono la stessa retta, e che nessun vettore è perpendicolare a quella retta nel modo in cui lo sarebbe la normale a una superficie.

  5. 3 4 0 e 4 3 0

    1. Componente x: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
    2. Componente y: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
    3. Componente z: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
    4. Modulo: √(0 + 0 + 49) = 7

    Due vettori che stanno nel piano piatto, quindi la direzione perpendicolare è quella che esce dal piano e le prime due componenti sono zero. La lunghezza di 7 è l'area del parallelogramma che ha questi due come lati, e il triangolo con questi due lati ne ha 3,5. Il segno della terza componente dice da quale parte del piano punta la risposta, ed è negativo qui perché il primo vettore è quello che ruota verso il secondo in senso antiorario guardando dal lato opposto. Entrambi questi vettori hanno lunghezza 5, il loro prodotto scalare è 24, e 7, 24 e 25 sono una terna pitagorica: che è un altro modo di dire che la lunghezza trovata qui e il prodotto scalare sono i due cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il prodotto delle due lunghezze.

Limiti

Entrambi i vettori devono avere esattamente tre componenti, e una coppia con due o con quattro viene rifiutata invece che completata. Non esiste un prodotto vettoriale bidimensionale: l'operazione è tridimensionale per definizione, e aggiungere in silenzio uno zero per far entrare una coppia nel piano produrrebbe una direzione che non ha niente a che vedere con il piano in cui giacciono i due vettori. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione. Il vettore nullo qui è accettato, a differenza di quanto accade nelle pagine del prodotto scalare e dell'angolo, e la differenza è voluta: il prodotto vettoriale con il vettore nullo è davvero il vettore nullo, perché il vettore nullo non individua nessuna area con niente, quindi c'è una risposta vera da dare invece di un calcolo da rifiutare. Ottenere tre zeri è perciò ambiguo in un modo che la pagina non può risolvere al posto tuo: significa che i due vettori sono paralleli, e significa anche che uno dei due è il vettore nullo, e solo tu sai quale dei due casi hai davanti. Entrambi sono risultati corretti. Non c'è nessuna gestione delle unità: le componenti sono numeri puri e lo è anche la lunghezza della risposta, anche se la lunghezza porta con sé l'unità con cui gli ingressi sono stati elevati al quadrato. Niente sulla pagina verifica l'orientamento del risultato rispetto a una mano destra fisica, quindi se usi l'output come normale o come asse di rotazione, è l'ordine in cui hai inserito i due vettori a decidere quale delle due direzioni perpendicolari ottieni.

Domande frequenti

Perché non posso inserire vettori bidimensionali?
Perché non esiste il prodotto vettoriale di due vettori nel piano. L'operazione è definita in tre dimensioni: la risposta deve essere perpendicolare a entrambi gli ingressi, e in un piano piatto non resta nessuna direzione in cui puntare. Completare una coppia bidimensionale con uno zero per farla entrare produrrebbe una risposta che non ha niente a che vedere con quel piano, quindi la pagina rifiuta invece di farlo.
Che cosa significa geometricamente la risposta?
È il vettore ad angolo retto con entrambi gli ingressi, e la sua lunghezza è l'area del parallelogramma che essi individuano. La metà di quella lunghezza è l'area del triangolo con quei due lati. È questa doppia lettura che fa saltare fuori lo stesso calcolo sia quando cerchi la normale a una superficie sia quando cerchi un'area.
Ho ottenuto tre zeri. Qualcosa è andato storto?
No: un prodotto vettoriale nullo è una risposta vera. Significa che i due vettori sono paralleli, che non individuano nessuna area, e viene anche quando uno dei due è il vettore nullo. Entrambi sono risultati corretti e non guasti, e la pagina non ha modo di dirti in quale dei due casi ti trovi, dato che producono gli stessi tre zeri.
L'ordine dei due vettori conta?
Sì, ed è l'unico punto in cui questa pagina si distacca nettamente da quella del prodotto scalare. Scambiare i due vettori inverte la direzione della risposta: ogni componente cambia segno, mentre la lunghezza resta esattamente la stessa. Inserisci due volte la stessa coppia con i riquadri scambiati e puoi vederlo accadere. Quale delle due direzioni perpendicolari ti serve lo decide la regola della mano destra.
Quale componente viene per prima?
La componente x, poi la y, poi la z, e la risposta viene stampata come vettore esattamente nel modo in cui hai scritto gli ingressi. Ognuna è una differenza di due prodotti, con lo schema che si sposta di un posto lungo il ciclo ogni volta: la componente y ripete la ricetta della x con le componenti fatte girare, e la z gira ancora una volta.
In che cosa è diverso dal prodotto scalare?
Il prodotto scalare prende due vettori e restituisce un numero, massimo quando puntano nello stesso verso; il prodotto vettoriale restituisce un vettore, massimo quando sono perpendicolari. Sono complementari. Se volevi un numero solo — un angolo, una proiezione, una somiglianza — ti serve il prodotto scalare; se volevi una direzione ad angolo retto con entrambi, ti serve questa pagina.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del prodotto scalareProdotto scalare di due vettori e angolo tra essi compreso.Calcolatrice dell'angolo tra due vettoriAngolo tra due vettori, calcolato dal prodotto scalare.Calcolatrice di matriciSomma, moltiplica e inverti matrici, con i determinanti.Calcolatrice del versoreVersore nella direzione di un vettore dato, con il modulo.