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CalcMax

Calcolatrice di matrici

Risultato

25,0000

Risultato, riga 1 colonna 1

Risultato, riga 1 colonna 2
36,0000
Risultato, riga 2 colonna 1
20,0000
Risultato, riga 2 colonna 2
28,0000
Determinante di A
10,0000

Una calcolatrice di matrici 2×2 che somma, moltiplica o inverte matrici, e stampa i quattro elementi del risultato insieme al determinante della prima matrice. Compila ogni matrice una riga per riquadro: la riga 4 7 va in un riquadro e la riga 2 6 nel successivo, con i due numeri separati da uno spazio o da una virgola. Scegli l'operazione dal menu a tendina e la pagina fa il resto. Solo i riquadri della seconda matrice possono restare vuoti, e se vadano riempiti dipende da che cosa hai chiesto: somma e moltiplicazione usano entrambe le matrici, l'inversione usa soltanto la prima, quindi con inversione selezionata la seconda matrice non viene letta affatto. Tre operazioni, e ciascuna è una cosa di tipo diverso. Sommare due matrici le somma elemento per elemento — in alto a sinistra con in alto a sinistra, e così via — ed è l'unica delle tre che si comporta come i numeri ordinari. Moltiplicarle non è elemento per elemento: ogni elemento della risposta nasce da un'intera riga della prima matrice contro un'intera colonna della seconda, moltiplicate a coppie e sommate, ed è per questo che l'elemento in alto a sinistra della risposta non usa nessuno dei due elementi in alto a sinistra da solo. E invertire chiede la matrice che annulla la prima, quella per cui moltiplicheresti per ottenere l'identità. L'inversione è l'operazione con una condizione attaccata: richiede che il determinante sia diverso da zero, e quando il determinante è zero la pagina rifiuta invece di restituire qualcosa, perché la matrice che la annullerebbe non esiste. Sommare e moltiplicare una matrice con determinante zero sono operazioni del tutto ordinarie: è solo l'inversa che viene a mancare. Il determinante viene stampato a ogni calcolo, qualunque operazione tu abbia scelto, e appartiene sempre alla prima matrice. È voluto: è un fatto di quella matrice e non dell'aritmetica che hai chiesto, quindi resta fermo mentre passi da somma a moltiplicazione a inversione sullo stesso ingresso. È il numero che decide se l'inversa esiste, e il suo segno ti dice se la matrice ribalta il piano, ed è per questo che averlo sullo schermo accanto alla risposta è più utile che averlo su una pagina a parte.

Matrici 2×2 e le loro inverse

Matrice A, riga 1Matrice A, riga 2Determinante di ARisultato, riga 1 colonna 1Risultato, riga 1 colonna 2Risultato, riga 2 colonna 1Risultato, riga 2 colonna 2
4 72 6100.6-0.7-0.20.4
1 00 111001
1 23 4-2-211.5-0.5
2 00 360.5000.3333
0 11 0-10110
2 41 321.5-2-0.51
3 51 212-5-13
1 11 212-1-11

Otto matrici con le loro inverse, e la tabella mostra una sola operazione invece di tre: ogni riga qui è un'inversione, perché è l'operazione contro cui vanno lette le colonne e perché somma e moltiplicazione hanno bisogno di una seconda matrice che una tabella di matrici singole non può fornire. La prima riga è quella con cui la pagina si apre: determinante 10 e quattro elementi che vengono esatti, dato che 10 divide senza resto gli elementi scambiati. La seconda riga è l'identità, che è inversa di se stessa. La terza è la più piccola matrice con determinante negativo, e il segno negativo ribalta ogni elemento dell'inversa, che è il modo più rapido per vedere che cosa stia facendo il segno del determinante. La quarta è diagonale, e l'inversa è semplicemente i due elementi diagonali capovolti, che è anche il punto da cui viene la risposta disordinata più frequente della pagina, dato che un terzo non viene esatto. La quinta ha gli uno fuori dalla diagonale invece che sopra: è la matrice che scambia le due coordinate di un vettore. Il suo determinante è −1, quindi l'inversa è di nuovo esatta, e la matrice è inversa di se stessa. La sesta ha determinante 2 e produce mezzi. La settima ha determinante 1 e produce numeri interi, che è esattamente quello che un determinante di 1 garantisce, dato che dividere per 1 l'aggiunta a numeri interi non può cambiarla. Un determinante di 1 vale la pena di essere riconosciuto proprio per questo. L'ottava ha anch'essa determinante 1 e anch'essa viene in numeri interi. Nessuna riga qui ha determinante zero, di proposito: quelle matrici sono quelle che la pagina rifiuta di invertire, e una riga di quattro spazi vuoti in una tabella di riferimento direbbe meno della frase nelle limitazioni. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita, e gli spazi dentro le prime due colonne sono i separatori, non parte dei numeri.

Formula

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

Matrice A, riga 1 / riga 2
La prima matrice, una riga per riquadro e due numeri in ciascuno, per esempio 4 7 e 2 6. Righe invece di quattro caselle separate perché una matrice è un oggetto solo: spezzarla in quattro riquadri trasformerebbe un ingresso unico in quattro, e renderebbe possibile riempire qualcosa che non è affatto una matrice
Matrice B, riga 1 / riga 2
La seconda matrice, scritta allo stesso modo, e l'unico ingresso facoltativo della pagina. Sia la somma sia la moltiplicazione ne hanno bisogno; l'inversione la ignora del tutto, quindi con quell'operazione selezionata puoi lasciare entrambi i riquadri vuoti. Lasciarli vuoti non è un errore: la chiave semplicemente non c'è
Operazione
Quale delle tre cose fare: sommare le due matrici, moltiplicarle, oppure invertire la prima. Una pagina invece di tre, perché tutte e tre prendono lo stesso ingresso e differiscono solo nell'aritmetica che ci applicano
Risultato, riga 1 colonna 1
L'elemento in alto a sinistra della risposta, e con esso gli altri tre tramite le stesse etichette. Per la somma è la somma dei due numeri in alto a sinistra; per la moltiplicazione è tutta la prima riga di A contro tutta la prima colonna di B, ed è per questo che non è semplicemente il prodotto dei due elementi in alto a sinistra
det A
Il determinante della prima matrice: in alto a sinistra per in basso a destra, meno in alto a destra per in basso a sinistra. Viene stampato per ogni operazione e appartiene sempre ad A, non alla risposta: è una proprietà della matrice che hai scritto, quindi non cambia quando passi da sommare a moltiplicare a invertire gli stessi numeri
1 ÷ det A
Il fattore di scala nell'inversa, e la ragione per cui un determinante nullo viene rifiutato: è il numero per cui l'inversa viene divisa. Né la somma né la moltiplicazione ne hanno bisogno, ed è per questo che continuano a funzionare su una matrice con determinante zero
A⁻¹
La matrice che annulla A: moltiplica le due insieme in un ordine qualsiasi e ottieni l'identità, con gli uno sulla diagonale e gli zeri fuori. È questo che la rende utile, ed esiste esattamente quando il determinante è diverso da zero
Identità
La matrice con gli uno sulla diagonale e gli zeri fuori, che è alla moltiplicazione tra matrici quello che il numero 1 è alla moltiplicazione ordinaria. La verifica che un'inversa sia giusta consiste nel moltiplicarla indietro e ottenere questa
Quattro cifre decimali
L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. Sommare e moltiplicare numeri interi dà risultati esatti, e così pure invertire qualsiasi matrice con determinante 1 o −1; il resto è arrotondato, e una matrice diagonale con un 3 sopra è il caso più comune che non viene esatto

La somma è l'operazione che quasi nessuno vuole, ed è qui soprattutto perché le tre stiano una accanto all'altra: somma elemento per elemento, funziona sempre, ed è l'unico punto in cui le matrici si comportano come i numeri ordinari. La moltiplicazione è quella che conta per le trasformazioni: applicare una rotazione e poi una scala alla stessa figura equivale a moltiplicare le loro due matrici, e l'ordine in cui le moltiplichi è l'ordine in cui le applichi. L'inversione serve a disfare: se una matrice trasforma le coordinate in un modo, la sua inversa le riporta indietro, ed è quello che ti serve quando hai il risultato di una trasformazione e ti manca l'ingresso che l'ha prodotta. Il determinante, stampato accanto, vale la pena di essere letto di per sé. Un determinante nullo significa che la matrice schiaccia il piano su una retta, quindi ingressi diversi finiscono sullo stesso risultato e non si può tornare indietro: è la stessa affermazione che dire che l'inversa non esiste. Il suo segno ti dice se la matrice conserva l'orientamento del piano o lo ribalta. Due cose da tenere a mente mentre usi la pagina. La moltiplicazione non è commutativa: scambiare le due matrici dà una risposta diversa, quindi se stai componendo trasformazioni, l'ordine fa parte del problema e non è un dettaglio. E viene mostrato solo il determinante della prima matrice, quindi se ti serve anche quello della seconda, inverti quella da sola: è il menu a tendina, non i riquadri, a decidere quale matrice conta come prima. Una matrice con determinante zero si chiama singolare, ed è l'unico caso in cui questa pagina si rifiuta di calcolare.

Esempi svolti

  1. 4 7 sopra 2 6, per 1 2 sopra 3 4

    1. In alto a sinistra: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
    2. In alto a destra: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
    3. In basso a sinistra: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
    4. In basso a destra: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
    5. Determinante di A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

    L'ingresso con cui la pagina si apre. Ogni elemento della risposta è un'intera riga della prima matrice contro un'intera colonna della seconda, ed è questo che va guardato qui: l'elemento in alto a sinistra della risposta è 25, e nessuno dei due numeri che stanno in alto a sinistra negli ingressi, 4 e 1, è 25. Il loro prodotto è 4. Viene stampato anche il determinante, che è 10, ed è quello di A — 4 e 7 sopra 2 e 6 — non quello della risposta.

  2. Le stesse due matrici, sommate

    1. In alto a sinistra: 4 + 1 = 5
    2. In alto a destra: 7 + 2 = 9
    3. In basso a sinistra: 2 + 3 = 5
    4. In basso a destra: 6 + 4 = 10
    5. Determinante di A: invariato a 10, dato che A è la stessa matrice dell'esempio precedente

    L'esempio precedente con una sola cosa cambiata: il menu a tendina. Adesso ogni elemento è una somma banale, e questa è l'unica delle tre operazioni in cui le matrici si comportano come i numeri ordinari: l'ordine non conta e non c'è niente che possa andare storto. Il determinante è ancora 10, perché è un fatto di A e A non è cambiata. Spostare il menu a tendina avanti e indietro tra somma e moltiplicazione è il modo più rapido per vedere che il determinante non è una proprietà del calcolo.

  3. Invertire 4 7 sopra 2 6

    1. Determinante di A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
    2. Scambia i due elementi sulla diagonale: 6 e 4
    3. Cambia il segno dei due elementi fuori dalla diagonale: −7 diventa 7, 2 diventa −2
    4. Dividi ciascuno per il determinante: 6 ÷ 10 = 0,6, −7 ÷ 10 = −0,7, −2 ÷ 10 = −0,2, 4 ÷ 10 = 0,4
    5. Verifica: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, che è l'elemento in alto a sinistra dell'identità

    La prima delle tre operazioni con una condizione attaccata, e i riquadri della seconda matrice sono vuoti di proposito: l'inversione legge solo A, e la pagina non obietta. La ricetta è sempre la stessa in quattro passi: scambia la diagonale, cambia il segno agli altri due, dividi per il determinante. La verifica alla fine vale la pena di farla a mano una volta: moltiplicando la risposta per l'originale si ottengono uno sulla diagonale e zeri fuori, e ottenere qualcos'altro significa che è scivolato un segno.

  4. 1 2 sopra 3 4, per 5 6 sopra 7 8

    1. In alto a sinistra: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
    2. In alto a destra: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
    3. In basso a sinistra: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
    4. In basso a destra: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
    5. Determinante di A: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

    La riga da scambiare. Metti gli stessi quattro numeri con A e B invertite e la risposta diventa 23, 34, 31 e 46: una matrice completamente diversa, dagli stessi ingressi in un ordine diverso. La moltiplicazione tra matrici non è commutativa, e questo è che cosa significa in pratica: se le due matrici sono due trasformazioni, l'ordine in cui vengono moltiplicate è l'ordine in cui vengono applicate. Nota che il determinante di A è −2 qui ed è −2 là, dato che entrambe le matrici hanno per caso lo stesso determinante: le due risposte differiscono nei quattro elementi del risultato, e la colonna del determinante non riesce a distinguerle.

  5. Una matrice con determinante zero, moltiplicata

    1. In alto a sinistra: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
    2. In alto a destra: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
    3. In basso a sinistra: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
    4. In basso a destra: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
    5. Determinante di A: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

    La prima matrice ha determinante zero — la sua seconda riga è esattamente il doppio della prima, quindi schiaccia il piano su una retta — e la moltiplicazione viene calcolata normalmente lo stesso. È proprio questo il punto dell'esempio: un determinante nullo è un problema per l'inversione e per nient'altro. Chiedi alla stessa pagina di invertire questa matrice e declinerà. Chiedile di sommarla o moltiplicarla e risponderà, perché entrambe hanno qui una risposta perfettamente definita. La colonna del determinante legge 0 in ogni caso.

Limiti

Sono accettate soltanto matrici 2×2, una riga per riquadro, due numeri in ciascuna. Matrici più grandi avrebbero bisogno di una disposizione diversa e non di un riquadro più grande, dato che il numero di caselle cresce con il quadrato della dimensione. I riquadri della seconda matrice possono restare vuoti, e se vadano riempiti dipende dall'operazione e non dal riquadro: somma e moltiplicazione hanno bisogno di entrambe le matrici, l'inversione legge solo la prima. L'inversa esiste soltanto quando il determinante è diverso da zero, e quella verifica si fa contro lo zero esatto e non contro un valore vicino a zero, il che è un vero limite oltre che una decisione. Una tolleranza dovrebbe rifiutare matrici genuinamente invertibili per intercettare i casi vicini al confine, quindi non ce n'è nessuna; il prezzo è che una matrice inserita con elementi decimali e singolare in aritmetica esatta può produrre un determinante come 1,4e−17 invece di 0 e venire invertita, dando quattro numeri enormi invece di un rifiuto. Inserire numeri interi evita del tutto il problema, e un determinante così piccolo è già un segnale di per sé. Viene mostrato solo il determinante della prima matrice, quindi quello della seconda va ricavato mettendola in prima posizione. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa i due numeri di una riga, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e l'inversa è calcolata dal determinante non arrotondato, quindi moltiplicando indietro la risposta stampata per A si possono non ottenere esattamente uno e zeri sulle cifre stampate. Non ci sono unità da nessuna parte in questa pagina, e nessuna è sottintesa: gli elementi sono numeri puri, e le quattro cifre decimali sono l'unica cosa che viene affermata su di loro.

Domande frequenti

Perché un riquadro per riga invece di uno per numero?
Perché una matrice è un oggetto solo, e quattro riquadri la trasformerebbero in quattro ingressi riempibili in modo indipendente, comprese maniere che non sono affatto una matrice. Una matrice intera in un riquadro solo ha il problema opposto: non c'è modo di distinguere un elemento mancante da uno fuori posto. Un riquadro per riga tiene insieme i due numeri di una riga e permette comunque alla pagina di verificare che ogni riga ne abbia esattamente due.
Quando posso lasciare vuota la seconda matrice?
Quando l'operazione che hai scelto non ne ha bisogno. L'inversione legge solo la prima matrice, quindi entrambi i riquadri della seconda possono restare vuoti e non manca niente. Somma e moltiplicazione ne hanno bisogno di entrambe, e la pagina aspetterà invece di protestare mentre stai ancora scrivendo. Se un riquadro debba essere riempito lo decide l'operazione, non il riquadro.
Perché a volte l'inversione di una matrice viene rifiutata?
Perché l'inversa è la matrice che annulla la prima, e una matrice singolare — quella con determinante zero — non ha una tale inversa: la prima matrice schiaccia il piano su una retta, quindi ingressi diversi finiscono sullo stesso risultato e non si può tornare indietro. La pagina rifiuta invece di stampare quattro numeri che sembrano una risposta. Sommare e moltiplicare la stessa matrice funzionano normalmente.
A quale matrice appartiene il determinante?
Sempre alla prima, qualunque operazione tu abbia scelto, quindi resta fermo mentre passi da somma a moltiplicazione a inversione sullo stesso ingresso. È una proprietà di quella matrice e non della risposta, ed è ciò che decide se l'inversa esiste. Se ti serve il determinante della seconda matrice, mettila in prima posizione e invertila.
L'ordine delle due matrici conta?
Per la moltiplicazione sì, ed è una differenza reale e non un tecnicismo: scambiare le due matrici dà quattro elementi diversi. Se sono due trasformazioni, l'ordine in cui vengono moltiplicate è l'ordine in cui vengono applicate. La somma è l'eccezione: le matrici si sommano come i numeri ordinari, e l'ordine non fa nessuna differenza.
A che cosa serve l'inversa?
Ad annullare la matrice. Moltiplica una matrice per la sua inversa in un ordine qualsiasi e ottieni l'identità: uno sulla diagonale, zeri fuori. È questo che la rende utile per andare all'indietro, da un insieme di coordinate trasformate a quelle che l'avevano prodotto. La pagina stampa il determinante accanto proprio perché un determinante nullo è esattamente il caso in cui questo non si può fare.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del prodotto vettorialeProdotto vettoriale di due vettori, con il suo modulo.Calcolatrice del prodotto scalareProdotto scalare di due vettori e angolo tra essi compreso.Calcolatrice dell'angolo tra due vettoriAngolo tra due vettori, calcolato dal prodotto scalare.