Che cos'è un versore?

Un vettore di lunghezza 1 che punta in una direzione data. È quello che si ottiene dividendo un vettore per la sua stessa lunghezza, e porta con sé la direzione senza la dimensione. Due vettori che differiscono solo per quanto sono lunghi hanno lo stesso versore, ed è questo che lo rende il modo di confrontare direzioni su scale diverse. In molti testi la stessa cosa si chiama vettore unitario.

Perché la quarta riga mostra la lunghezza dell'ingresso e non 1?

Perché la lunghezza di un versore è 1 in ogni singolo caso, e una riga che leggesse 1,0000 per sempre sarebbe una costante e non un risultato. La lunghezza dell'ingresso è il numero che è stato diviso via, quindi stamparla rende visibile la divisione: scrivi 3 4, vedi 5, e leggi che 0,6 e 0,8 sono quei numeri divisi per 5.

Posso inserire un vettore con due sole componenti?

Sì, e la terza componente torna 0. Non è un riempitivo: un vettore bidimensionale giace nel piano piatto, e 0 è quanto vale la sua terza componente quando la stessa direzione viene scritta in tre coordinate. Il pannello ha tre righe di componenti, quindi ingressi a due e a tre componenti condividono una sola disposizione.

Perché la risposta conserva il segno meno?

Perché dividere per una lunghezza non può girare un vettore dall'altra parte. La lunghezza è un numero positivo, quindi ogni componente conserva il suo segno: il versore di −3 4 è −0,6 e 0,8. Se ti aspettavi che la risposta tornasse positiva, quella sarebbe una direzione diversa, non la stessa normalizzata.

Perché un vettore tutto di zeri viene rifiutato?

Perché normalizzarlo significa dividerlo per la sua lunghezza, e la sua lunghezza è zero. Oltre alla divisione c'è una seconda ragione: il vettore nullo non ha nessuna direzione, quindi non c'è niente che la risposta possa conservare. Lo rifiutano anche le pagine dell'angolo e del prodotto scalare, mentre quella del prodotto vettoriale lo accetta: lì produce davvero il vettore nullo.

A che cosa serve normalizzare un vettore?

A separare una direzione da una dimensione. Le formule per riflessioni, proiezioni e illuminazione danno per scontato che il vettore che gli passi abbia lunghezza 1, e passargliene uno di lunghezza 5 scala la risposta di 5 senza nessun avviso. Confrontare due direzioni misurate su scale diverse è l'altro uso: normalizzale entrambe e le dimensioni smettono di interferire.

Calcolatrice del versore

Risultato

0,6000

Componente x del versore

Componente y del versore: 0,8000
Componente z del versore: 0,0000
Modulo del vettore: 5,0000

Una calcolatrice del versore trasforma un vettore nel vettore di lunghezza 1 che punta nello stesso verso, e stampa la lunghezza per cui ha diviso. Scrivi le componenti separate da spazi o da virgole — 3 4 per un vettore nel piano, 2 3 6 per uno nello spazio — e la pagina fa il resto. Sono accettate due o tre componenti, e soltanto quei due conteggi: il pannello ha tre righe di componenti, e un vettore a una sola dimensione è in realtà un numero con segno più che una direzione. L'aritmetica è una sola divisione. Misura la lunghezza del vettore, cioè il suo modulo, che è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti, e dividi ogni componente per quella. Il risultato ha lunghezza 1 per costruzione, giace esattamente sulla stessa retta dell'ingresso, e si chiama versore di quella direzione, o anche vettore unitario. A che cosa serve la risposta è separare la direzione dalla dimensione. Due vettori che differiscono soltanto per la lunghezza hanno lo stesso versore, il che lo rende il modo naturale di confrontare direzioni quando le grandezze non sono confrontabili: una velocità del vento contro una direzione di bussola, o una pendenza misurata contro una di riferimento. È anche il modo in cui una direzione entra in una formula che dà per scontato un ingresso normalizzato, cioè la maggior parte delle formule di geometria e di grafica. Due dettagli vale la pena di saperli prima di usare il risultato. Il segno della risposta segue l'ingresso: il versore di 3 4 è 0,6 e 0,8, e il versore di −3 4 è −0,6 e 0,8. Dividere per una lunghezza positiva non può ribaltare una direzione, e un vettore che punta a sinistra o verso il basso è un ingresso del tutto ordinario. E la lunghezza stampata accanto è quella del vettore che hai scritto, non quella della risposta: la lunghezza della risposta è 1 per definizione e non direbbe niente. Vedere la lunghezza dell'ingresso è ciò che rende visibile la divisione: i numeri sul pannello sono quella lunghezza tirata via dai numeri nel riquadro. L'unico ingresso rifiutato è il vettore nullo, la cui lunghezza è zero, il che non lascia niente per cui dividere e, soprattutto, nessuna direzione da conservare.

Vettori e i loro versori

Vettore	Modulo del vettore	Componente x del versore	Componente y del versore	Componente z del versore
3 4	5	0.6	0.8	0
1 0	1	1	0	0
1 1	1.4142	0.7071	0.7071	0
0 5	5	0	1	0
-3 4	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071

Otto vettori e i loro versori, e la seconda colonna è quella che rende la tabella degna di essere letta: contiene il divisore, non la costante 1 che esce alla fine. La prima riga è quella con cui la pagina si apre, e viene esatta da entrambe le parti, dato che un triangolo 3-4-5 dà una lunghezza di 5 e due componenti decimali che sono esatte. La seconda e la quarta riga sono vettori che giacciono già lungo un asse, quindi il versore è la direzione dell'asse stessa, e la quarta di queste ha una lunghezza di 5 invece che di 1: è il punto più chiaro per vedere che la colonna contiene la lunghezza dell'ingresso e non quella della risposta. La terza riga è il caso a componenti uguali nel piano, che dà due componenti di 0,7071 e una lunghezza di √2. La quinta riga è la prima con il segno cambiato su uno dei numeri, e il segno del versore segue: −0,6 e 0,8. Niente del normalizzare gira un vettore dall'altra parte, e questa riga ne è la prova. La sesta e la settima riga sono tridimensionali: una con lunghezza intera 7 e nessuna componente esatta, una con lunghezza √3 e tre componenti uguali. L'ottava ha la terza componente negativa e dà l'unico versore della tabella con la z negativa. Non c'è nessuna riga per il vettore nullo, di proposito: non ha direzione e la pagina lo rifiuta. Ogni valore viene ricalcolato quando la pagina viene costruita, e gli spazi nella prima colonna sono i separatori, non parte dei numeri.

Formula

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

Vettore u: Il vettore da normalizzare: due o tre numeri separati da spazi o da virgole, per esempio 3 4. Due componenti sono un vettore nel piano e tre sono un vettore nello spazio; non c'è nessun campo in cui dichiarare quante sono, ed è la lunghezza dell'elenco a dire quale intendevi
|u|: La lunghezza del vettore di partenza: la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti. È il numero per cui tutto viene diviso, ed è il quarto risultato sul pannello: la lunghezza del vettore che hai scritto, non quella del versore, che vale sempre 1
û: Il versore: ogni componente dell'ingresso divisa per la sua lunghezza. Giace esattamente sulla stessa retta dell'ingresso e ha lunghezza 1, quindi i due differiscono per la dimensione e non per la direzione. Il cappello è il modo standard di scriverlo
Componente x: La prima componente della risposta: la prima componente dell'ingresso divisa per la lunghezza. Il suo segno è quello dell'ingresso, perché dividere per una lunghezza positiva non può ribaltare una direzione, quindi un vettore che punta a sinistra dà un versore che punta a sinistra
Componente y: La seconda componente, divisa allo stesso modo. Insieme alla componente x fissa la direzione nel piano, qualunque sia la lunghezza dell'originale
Componente z: La terza componente, divisa allo stesso modo, e 0 per un ingresso di due componenti. Quello zero non è un riempitivo: un vettore bidimensionale giace nel piano piatto, e la stessa direzione scritta in tre coordinate ha terza componente esattamente 0
|û| = 1: La proprietà per cui la risposta è stata costruita, e la ragione per cui non viene stampata come quinta riga. La lunghezza di un versore è 1 in ogni caso, quindi una riga del pannello che leggesse 1,0000 sarebbe una costante travestita da risultato
Quattro cifre decimali: L'ampiezza con cui vengono scritti i risultati. Esatti solo quando la lunghezza dell'ingresso viene un numero intero o una radice corta: 3 4 dà 5, mentre i terzi e le radici in genere non vengono esatti

Usa questa pagina quando ti serve la direzione da sola, senza la dimensione attaccata. Il caso più chiaro è confrontare due direzioni le cui grandezze sono su scale diverse: due vettori che differiscono solo per la lunghezza hanno lo stesso versore, quindi normalizzare toglie via la parte che non stavi chiedendo. L'altro caso comune è preparare un ingresso per una formula che dà per scontato un vettore di lunghezza 1: riflessioni, proiezioni e calcoli di illuminazione lo fanno tutti, e passargli un vettore di lunghezza 5 scala la risposta di 5 senza avvisare. La lunghezza stampata accanto è ciò che rende controllabile la divisione: 3 4 dà 0,6 e 0,8, e si vede il 5 che esce da entrambi. Due cose da ricordare. Il risultato porta con sé i segni dell'ingresso, quindi un vettore che punta a sinistra o verso il basso dà un versore che punta a sinistra o verso il basso: normalizzare cambia quanto è lungo un vettore e nient'altro. E la lunghezza del risultato è 1 qualunque cosa tu abbia scritto, ed è per questo che la pagina stampa quella dell'ingresso: è il numero che contiene informazione. Un vettore di due componenti va benissimo e torna con la terza componente a 0, perché è così che la stessa direzione appare scritta in tre coordinate. Il vettore nullo è l'unico ingresso rifiutato, dato che non ha nessuna direzione da normalizzare.

Esempi svolti

3 4
1. Lunghezza: √(9 + 16) = √25 = 5
2. Componente x: 3 ÷ 5 = 0,6
3. Componente y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0, dato che un vettore di due componenti giace nel piano piatto
L'ingresso con cui la pagina si apre, e il caso più pulito che ci sia: un triangolo 3-4-5 rende la lunghezza un numero intero, quindi entrambe le componenti vengono esatte. È la riga che mostra a che cosa serve il quarto risultato: il 5 sul pannello è la lunghezza per cui 3 e 4 sono stati divisi, e leggere 0,6 e 0,8 accanto è tutto il calcolo. Verificalo elevando al quadrato: 0,36 + 0,64 = 1.
2 3 6
1. Lunghezza: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
2. Componente x: 2 ÷ 7 = 0,285714
3. Componente y: 3 ÷ 7 = 0,428571
4. Componente z: 6 ÷ 7 = 0,857143
Un caso tridimensionale la cui lunghezza viene anche essa un numero intero, 7, mentre nessuna delle tre componenti lo è: tutte e tre sono decimali periodici arrotondati a quattro cifre. Quella combinazione è il caso ordinario e non una stranezza: una lunghezza intera è abbastanza comune, componenti intere del versore no. La direzione è la stessa di 2 3 6, e la lunghezza ne è stata tirata via.
-3 4
1. Lunghezza: √(9 + 16) = √25 = 5, la stessa che per 3 4
2. Componente x: −3 ÷ 5 = −0,6
3. Componente y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0
Il primo esempio con la prima componente resa negativa, e il versore conserva il segno: −0,6 e 0,8. Dividere per una lunghezza positiva non può girare un vettore dall'altra parte, e questa è la riga in cui la cosa diventa visibile. Un vettore che punta a sinistra e in alto è un ingresso del tutto ordinario, e il suo versore punta a sinistra e in alto anche lui. La lunghezza è 5 in entrambi i casi, dato che cambiare segno a una componente non la cambia.
0 5
1. Lunghezza: √(0 + 25) = 5
2. Componente x: 0 ÷ 5 = 0
3. Componente y: 5 ÷ 5 = 1
4. Componente z: 0 ÷ 5 = 0
Un vettore che giace già lungo uno degli assi, quindi il suo versore è la direzione dell'asse stessa: 0, 1, 0. Il quarto risultato è la riga da guardare qui: legge 5, non 1. Un vettore di lunghezza 5 che punta dritto in alto ha un versore di lunghezza 1, e il pannello lo dice stampando la lunghezza che è stata divisa via invece della costante 1 che ne è uscita.
1 1 1
1. Lunghezza: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1,732051
2. Ogni componente: 1 ÷ 1,732051 = 0,577350
La diagonale di un cubo, e le tre componenti vengono uguali, come devono, dato che le tre componenti dell'ingresso erano uguali e dividerle tutte per lo stesso numero non può sciogliere il pareggio. La lunghezza è una radice e non un numero intero, quindi qui non c'è niente di esatto. Verifica il risultato come dice la definizione della pagina stessa: 0,5774 al quadrato è 0,3334, e tre di quelli sommano a 1 entro l'arrotondamento.

Limiti

Sono accettate due o tre componenti, e soltanto quelle: un numero solo è una grandezza con segno più che una direzione, e quattro o più non entrano nelle tre righe di componenti del pannello. Un vettore di due componenti non viene completato a tre in nessun senso sostanziale: giace nel piano piatto, e lo 0 della terza riga è l'aspetto che quella stessa direzione ha in tre coordinate, ed è per questo che la pagina non ha bisogno di chiederti quale delle due intendevi. Il vettore nullo viene rifiutato del tutto: la sua lunghezza è zero, quindi non ci sarebbe niente per cui dividere, e non ha nessuna direzione che la risposta possa conservare. Le componenti si leggono come numeri normali: una virgola seguita da uno spazio separa le componenti, una virgola senza spazio dopo si legge come separatore decimale (1,5 è uno e mezzo), e un raggruppamento delle migliaia viene rifiutato invece che indovinato: scrivi 1500, non 1.500. Le quattro cifre decimali sono un'ampiezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e le componenti sono calcolate dalla lunghezza non arrotondata, quindi le cifre stampate possono non dare esattamente 1 quando le elevi al quadrato e le sommi. La lunghezza stampata sul pannello è quella dell'ingresso, non quella della risposta: la lunghezza della risposta è 1 per definizione, e stamparla vorrebbe dire stampare una costante. Niente in questa pagina sa in che cosa siano state misurate le componenti: un versore non ha unità, che è poi il senso di averlo, e la lunghezza porta con sé l'unità che aveva l'ingresso. Resta una sottigliezza aritmetica che vale la pena di dichiarare: il segno di ogni componente segue l'ingresso, quindi un vettore che punta a sinistra dà un versore che punta a sinistra. Se ti aspettavi una risposta positiva, ti aspettavi un vettore diverso.

Domande frequenti

Che cos'è un versore?: Un vettore di lunghezza 1 che punta in una direzione data. È quello che si ottiene dividendo un vettore per la sua stessa lunghezza, e porta con sé la direzione senza la dimensione. Due vettori che differiscono solo per quanto sono lunghi hanno lo stesso versore, ed è questo che lo rende il modo di confrontare direzioni su scale diverse. In molti testi la stessa cosa si chiama vettore unitario.
Perché la quarta riga mostra la lunghezza dell'ingresso e non 1?: Perché la lunghezza di un versore è 1 in ogni singolo caso, e una riga che leggesse 1,0000 per sempre sarebbe una costante e non un risultato. La lunghezza dell'ingresso è il numero che è stato diviso via, quindi stamparla rende visibile la divisione: scrivi 3 4, vedi 5, e leggi che 0,6 e 0,8 sono quei numeri divisi per 5.
Posso inserire un vettore con due sole componenti?: Sì, e la terza componente torna 0. Non è un riempitivo: un vettore bidimensionale giace nel piano piatto, e 0 è quanto vale la sua terza componente quando la stessa direzione viene scritta in tre coordinate. Il pannello ha tre righe di componenti, quindi ingressi a due e a tre componenti condividono una sola disposizione.
Perché la risposta conserva il segno meno?: Perché dividere per una lunghezza non può girare un vettore dall'altra parte. La lunghezza è un numero positivo, quindi ogni componente conserva il suo segno: il versore di −3 4 è −0,6 e 0,8. Se ti aspettavi che la risposta tornasse positiva, quella sarebbe una direzione diversa, non la stessa normalizzata.
Perché un vettore tutto di zeri viene rifiutato?: Perché normalizzarlo significa dividerlo per la sua lunghezza, e la sua lunghezza è zero. Oltre alla divisione c'è una seconda ragione: il vettore nullo non ha nessuna direzione, quindi non c'è niente che la risposta possa conservare. Lo rifiutano anche le pagine dell'angolo e del prodotto scalare, mentre quella del prodotto vettoriale lo accetta: lì produce davvero il vettore nullo.
A che cosa serve normalizzare un vettore?: A separare una direzione da una dimensione. Le formule per riflessioni, proiezioni e illuminazione danno per scontato che il vettore che gli passi abbia lunghezza 1, e passargliene uno di lunghezza 5 scala la risposta di 5 senza nessun avviso. Confrontare due direzioni misurate su scale diverse è l'altro uso: normalizzale entrambe e le dimensioni smettono di interferire.

Riferimenti

Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)
Cartesian coordinates — the three-coordinate frame in which a two-component vector is written with a third component of zero, which is why the page accepts two components rather than refusing them — Wolfram MathWorld

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'angolo tra due vettoriAngolo tra due vettori, calcolato dal prodotto scalare.Calcolatrice del prodotto vettorialeProdotto vettoriale di due vettori, con il suo modulo.Calcolatrice del prodotto scalareProdotto scalare di due vettori e angolo tra essi compreso.