Calcolatrice del teorema di Bayes

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

La probabilità a priori della condizione, inserita come percentuale: quello che credevi prima che arrivasse l'evidenza. Pesa più di quanto ci si aspetti: quando è piccola, serve molta evidenza per spostarla di molto

P(E | A)

La verosimiglianza dell'evidenza quando la condizione è presente. In un test è la sensibilità, cioè la quota di casi veri che il test intercetta

P(E | ¬A)

La probabilità di osservare la stessa evidenza quando la condizione è assente. In un test è il tasso di falsi positivi, ed è il termine che fa più danni quando non è piccolo

P(¬A)

La probabilità che la condizione sia assente, cioè il 100% meno la probabilità a priori. Il denominatore somma i due modi in cui l'evidenza può comparire, pesati per quanto è comune ciascuno stato

P(E)

La probabilità complessiva dell'evidenza nella popolazione, indipendentemente dal fatto che la condizione valga. È il denominatore, e il pannello la riporta da sola perché è un valore piccolo qui a far muovere bruscamente la probabilità a posteriori

P(A | E)

La probabilità a posteriori: la convinzione dopo l'evidenza. Il pannello riporta anche la sua complementare, perché «il test era positivo e c'è ancora l'85% di probabilità di non averla» è spesso la frase che comunica davvero il numero

Usala ogni volta che un risultato di test va letto in rapporto a quanto è comune ciò che si sta cercando: uno screening in una popolazione a bassa prevalenza, un filtro antispam che legge una parola, un controllo diagnostico su un guasto raro, o qualunque situazione in cui un risultato positivo viene trattato come una prova. È anche lo strumento giusto per la domanda inversa, cioè quanto deve essere bravo un test perché un risultato positivo significhi qualcosa: di solito un numero molto più utile della probabilità a posteriori per una data probabilità a priori. Rivolgiti a questa pagina quando hai una probabilità a priori che vale la pena dichiarare; quando non hai idea di quale debba essere, la risposta onesta è che la probabilità a posteriori sarà dominata da quella ignoranza, e il pannello ti mostra esattamente quanto.

1. Una condizione all'1%, una sensibilità del 90% e un 5% di falsi positivi

   1. Prendi 10.000 persone: circa 100 hanno la condizione e 9900 no
   2. Delle 100 che ce l'hanno, il 90% risulta positivo: circa 90 veri positivi
   3. Delle 9900 che non ce l'hanno, il 5% risulta positivo lo stesso: circa 495 falsi positivi
   4. Un risultato positivo viene quindi da 90 + 495 = 585 persone, e 90 / 585 = 15,38%

   È il caso attorno al quale è costruita tutta la pagina, e l'aritmetica dei passaggi spiega perché. Contare le persone rende visibile il meccanismo: il tasso di falsi positivi si applica a un gruppo novantanove volte più grande di quello con la condizione, quindi produce cinque volte e mezzo tanti positivi quanti ne produce la sensibilità. La probabilità a posteriori del 15,38% non dice che il test è cattivo — una sensibilità del 90% è buona — dice che la condizione era abbastanza rara perché gli errori superassero i successi. La complementare dell'84,62% dice la stessa cosa dall'altro lato, e la variazione di 14,38 punti percentuali è quanto vale davvero, qui, un test di questa qualità.

2. Una condizione al 2% e un test accurato al 99%

   1. Prendi 10.000 persone: circa 200 hanno la condizione e 9800 no
   2. Delle 200 che ce l'hanno, il 99% risulta positivo: circa 198 veri positivi
   3. Delle 9800 che non ce l'hanno, l'1% risulta positivo lo stesso: circa 98 falsi positivi
   4. Un risultato positivo viene da 198 + 98 = 296 persone, e 198 / 296 = 66,89%

   Anche un test che sbaglia una volta su cento lascia sbagliato un terzo dei suoi risultati positivi, perché viene applicato a un gruppo quarantanove volte più grande. Porta l'accuratezza al 99,9% contro le stesse 452 persone ogni 10.000 e la probabilità a posteriori sale oltre il 95%, il che mostra che le due leve non sono intercambiabili. La sensibilità stabilisce quanti veri positivi ottieni, e il tasso di falsi positivi quanto rumore li seppellisce; migliorare il secondo di solito rende molto più che migliorare il primo, e questo esempio è il modo più economico di vederlo prima di commissionare un test migliore.

3. Un'evidenza che depone contro la condizione

   1. Si parte da una probabilità a priori pari: 50% per la condizione e 50% contro
   2. L'evidenza è cinque volte più probabile quando la condizione è assente (90% contro 5%)
   3. Il denominatore è 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, quindi l'evidenza in sé è piuttosto probabile
   4. La probabilità a posteriori è 0,025 / 0,475 = 5,26%, una discesa di 44,74 punti percentuali

   Lo spostamento negativo è la parte su cui vale la pena soffermarsi, ed è la ragione per cui esiste l'unità dei punti percentuali. Un calo dal 50% al 5,26% è una discesa di 44,74 punti percentuali; non è un calo del 44,74%, che significherebbe che la probabilità a posteriori è atterrata intorno al 27,6%. Leggere la variazione come un cambiamento relativo è il modo standard di citare male questo pannello, e il segno è ciò che ti dice che l'evidenza puntava dall'altra parte. Nota anche che l'evidenza qui è banale — una probabilità del 47,5% di comparire — pur essendo fortemente informativa, perché l'informatività viene dal rapporto fra le due verosimiglianze e non dal fatto che l'evidenza sia rara.

La probabilità a posteriori vale quanto valgono i tre numeri che inserisci, e la probabilità a priori è quella che si è più tentati di inventare. Quando la condizione è rara, la probabilità a posteriori è dominata dalla probabilità a priori e dal tasso di falsi positivi, quindi una stima ottimistica dell'una o dell'altro produce una risposta sicura e sbagliata: il pannello non può dirti che la tua probabilità a priori era un'ipotesi. Due avvertenze in più. Le verosimiglianze sono trattate come esatte, quindi una sensibilità presa da uno studio di validazione piccolo viene usata con una precisione che non ha. E il calcolo riguarda una sola evidenza letta una sola volta: applicare due volte lo stesso test non equivale ad applicare due test indipendenti, perché un secondo risultato dello stesso strumento imperfetto è correlato al primo; reinserire la probabilità a posteriori come nuova probabilità a priori sovrastimerà quanto aggiunge il secondo test. Quando l'evidenza è impossibile in ogni stato — entrambe le verosimiglianze a 0%, oppure un tasso di falsi positivi dello 0% contro una probabilità a priori dello 0% — il denominatore è zero e non c'è alcuna probabilità a posteriori da riportare, perché condizionare su qualcosa che non può accadere non è una domanda con una risposta.

Perché un test accurato al 90% dà solo il 15% di probabilità di avere la condizione?

Perché l'accuratezza sulle persone che hanno la condizione e quella sulle persone che non la hanno sono due numeri diversi, e il secondo viene moltiplicato per un gruppo molto più grande. Con una prevalenza dell'1%, le persone senza la condizione superano quelle che ce l'hanno novantanove a uno, quindi un tasso di falsi positivi del 5% produce centinaia di falsi positivi dove una sensibilità del 90% produce decine di veri positivi. Il test sta facendo il suo lavoro; la condizione è semplicemente così rara che i suoi errori superano le sue scoperte. È la prevalenza che lavora, ed è il motivo per cui la probabilità a priori è un dato obbligatorio e non un dettaglio.

Cosa sono i punti percentuali nella riga della variazione?

Sono la differenza fra la probabilità a priori e quella a posteriori, misurata in punti percentuali invece che come variazione relativa. Passare dal 50% al 5,26% è una variazione di −44,74 punti percentuali; non è un calo del 44,74%, che lascerebbe la probabilità a posteriori intorno al 27,6%. La distinzione conta soprattutto sugli spostamenti grandi, dove la lettura relativa è completamente sbagliata, e il segno è ciò che dice in quale direzione ha spinto l'evidenza: una variazione negativa significa che l'evidenza deponeva contro la condizione.

Posso usare la probabilità a posteriori come probabilità a priori per il test successivo?

Solo se la seconda evidenza è davvero indipendente dalla prima. Due risultati dello stesso test non sono indipendenti: un falso positivo in una esecuzione rende più probabile un falso positivo in quella successiva, perché lo strumento ha lo stesso difetto entrambe le volte. Reinserire comunque la probabilità a posteriori come nuova probabilità a priori gonfierà quello che il secondo risultato aggiunge, a volte di molto. Quando l'evidenza è davvero indipendente, aggiornare in due passaggi dà lo stesso risultato di aggiornare una volta sola con entrambe le evidenze, quindi la scorciatoia è sicura esattamente quando vale l'ipotesi di indipendenza.

Cosa significa la riga della probabilità dell'evidenza?

È la probabilità complessiva di vedere l'evidenza, che la condizione ci sia o no: il denominatore del teorema, che pesa ogni verosimiglianza per quanto è comune il suo stato. Vale la pena riportarla perché spiega l'ampiezza del salto: quando l'evidenza è complessivamente rara, una probabilità a posteriori lontana da quella a priori è attesa, mentre quando l'evidenza è comune serve una verosimiglianza molto più forte per smuovere qualcosa. Nel primo esempio l'evidenza compare nel 5,85% delle persone, ed è per questo che un solo risultato positivo può spostare così tanto la convinzione.

Quando non esiste alcuna risposta?

Quando l'evidenza è impossibile in ogni stato, il che rende nullo il denominatore e lascia indefinito il condizionamento. Succede se entrambe le verosimiglianze sono 0%, se la probabilità a priori è 0% e il tasso di falsi positivi è 0%, oppure se la probabilità a priori è 100% e la sensibilità è 0%: in ciascuno di questi casi l'evidenza non può verificarsi, quindi «data l'evidenza» è una condizione vuota. Il pannello segnala un errore invece di restituire 0% o 50%, perché non c'è una probabilità da riportare, non una probabilità pari a zero.

La calcolatrice restituisce anche il rapporto di verosimiglianza?

No, e il motivo è che la forma a quote si rompe agli estremi dell'intervallo di input. Le quote di un evento sono la sua probabilità divisa per uno meno quella probabilità, quindi una probabilità a priori del 100% dà quote infinite, e stamparle romperebbe il pannello dei risultati invece di informare. La riga della variazione fa lo stesso lavoro in una forma che sopravvive a ogni valore legale: dice di quanto e in quale direzione una singola evidenza sposta la convinzione, che di solito è la domanda dietro la richiesta di un rapporto di verosimiglianza.

• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (the theorem itself, its special forms including the odds form, and the subjectivist reading of probability as degree of belief) — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford University
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (the tree-diagram route to the same posterior, which is the count-of-people arithmetic used in the worked examples above) — OpenStax, Rice University