Calcolatrice della rendita

Valore attuale = pagamento × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i Valore futuro = pagamento × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i (× (1 + i) per entrambi, quando i pagamenti arrivano all'inizio del periodo — il caso della rendita ordinaria paga alla fine del periodo e quello della rendita anticipata paga all'inizio) dove i = tasso annuo ÷ pagamenti per anno, n = anni × pagamenti per anno

Pagamento

L'importo uguale di ogni periodo: il pagamento per periodo, sia che sia denaro che entra a te sia che esca da te

Tasso annuo

Il tasso annuo nominale usato per entrambe le direzioni insieme: diviso fino a diventare un tasso per periodo per scontare il flusso all'indietro, e capitalizzato in avanti per portarlo alla fine. Il 7% annuo predefinito diventa 0,5833% al mese

Anni

Per quanto tempo durano i pagamenti, moltiplicato per i pagamenti annui per dare il numero di periodi

i

Il tasso per periodo: il tasso annuo diviso il numero di pagamenti in un anno

n

Il numero totale di periodi: gli anni moltiplicati per i pagamenti in un anno

Valore attuale

Quanto vale oggi l'intero flusso, con ogni pagamento futuro scontato all'indietro un periodo alla volta

Valore futuro

Quanto accumula lo stesso flusso alla fine, con ogni pagamento capitalizzato in avanti fino alla data finale

Usala quando hai un flusso di pagamenti uguali e vuoi entrambi i suoi valori in un'unica vista invece di uno per volta: una pensione da confrontare con una somma in un'unica soluzione, un canone di locazione da giudicare rispetto a un prezzo di acquisto, un piano di risparmio in cui vuoi vedere il denaro versato accanto a quanto vale all'inizio o alla fine. È anche il modo più rapido per vedere direttamente il divario di capitalizzazione: gli stessi 120.000 sono 64.491 oggi e 260.463 alla fine, e la differenza fra i due non è una commissione né un errore ma vent'anni di crescita composta. È la pagina sbagliata quando devi andare nella direzione opposta e ricavare il pagamento da una somma data: è una domanda diversa e ha una pagina sua. Ed è la pagina sbagliata quando i pagamenti non sono uguali: un flusso che sale con l'inflazione o varia con un rendimento di mercato non è una rendita, e nessuna delle due formule si applica.

1. Il caso predefinito, e il controllo incrociato con le due pagine a una faccia

   1. Tasso periodale: 7% ÷ 12 = 0,58333% al mese. Numero di periodi: 20 × 12 = 240.
   2. Fattore del valore attuale: [1 − 1,0058333⁻²⁴⁰] ÷ 0,0058333 = 128,98, quindi 500 × 128,98 = 64.491,25.
   3. Fattore del valore futuro: [1,0058333²⁴⁰ − 1] ÷ 0,0058333 = 520,93, quindi 500 × 520,93 = 260.463,33.
   4. Pagamenti: 500 × 240 = 120.000, che non richiede alcun tasso.
   5. Verifica: 64.491,25 × 1,0058333²⁴⁰ = 64.491,25 × 4,0387 = 260.463,33.

   Le due cifre dei primi due passaggi sono i risultati predefiniti rispettivamente della pagina del valore attuale e di quella del valore futuro: tre pagine, costruite separatamente, che concordano al centesimo sugli stessi cinque dati. L'ultimo passaggio è quello per cui questa pagina esiste: il valore futuro è il valore attuale moltiplicato per (1 + i) una volta per periodo, cioè 4,0387 su 240 mesi. Vale la pena notare che 4,0387 non è 20 × 7% = 1,40 né 1,07²⁰ = 3,87: una volta convertito il tasso in mensile, il fattore composto è (1 + 0,0058333)²⁴⁰, e nessuna scorciatoia con la cifra annua lo riproduce.

2. Pagamenti all'inizio di ogni periodo

   1. Entrambi i fattori sono quelli del caso predefinito.
   2. Sposta ogni pagamento un periodo prima e l'intero flusso si sposta: moltiplica entrambi i risultati per 1,0058333.
   3. 64.491,25 × 1,0058333 = 64.867,45.
   4. 260.463,33 × 1,0058333 = 261.982,70.

   Entrambi i valori salgono esattamente dello stesso 0,583% — l'interesse di un periodo — ed è il modo più pulito per vedere che le due cifre di questa pagina sono due viste di un solo oggetto. Se l'aggiustamento di tempo le muovesse di rapporti diversi, non sarebbero lo stesso flusso. I pagamenti all'inizio del periodo valgono di più in entrambe le direzioni perché ogni pagamento è un periodo più vicino a te, e il totale, 120.000, non si muove affatto: il tempo cambia quanto vale il flusso, mai quanti euro contiene.

3. Un tasso zero, dove le tre cifre convergono

   1. Senza tasso non c'è nulla da scontare e nulla da capitalizzare.
   2. Entrambe le forme chiuse valgono 0 ÷ 0 in questo caso, quindi ricadono entrambe sul numero di periodi: 240.
   3. 500 × 240 = 120.000 in tutti e tre i punti.

   Tutte e tre le cifre che collassano sullo stesso numero sono la dichiarazione più chiara di cosa significano le altre due: il valore attuale e il valore futuro sono entrambi il totale, aggiustato per il tempo, e senza tasso non c'è alcun aggiustamento. È anche il caso che rompe l'implementazione ingenua — scritto come forma chiusa, il fattore è 0 ÷ 0 e la pagina stamperebbe NaN — ed è per questo che il nucleo condiviso tratta il tasso zero come un ramo a sé invece che come un numero piccolo.

4. Pagato una volta l'anno invece che al mese, con lo stesso importo per pagamento

   1. Tasso periodale: 7% all'anno, usato così com'è. Numero di periodi: 20.
   2. Fattore del valore attuale: [1 − 1,07⁻²⁰] ÷ 0,07 = 10,59, quindi 500 × 10,59 = 5297,01.
   3. Fattore del valore futuro: [1,07²⁰ − 1] ÷ 0,07 = 40,995, quindi 500 × 40,995 = 20.497,75.
   4. Pagamenti: 500 × 20 = 10.000.

   Attenzione a cosa si confronta: cambiando la frequenza e lasciando 500 per pagamento, cambia anche il totale versato, che passa da 120.000 a 10.000, quindi le due righe non sono un confronto fra pari. Il confronto onesto è sul fattore di crescita di un singolo pagamento: 1,07²⁰ = 3,8697 quando il tasso è applicato una volta l'anno, contro 1,0058333²⁴⁰ = 4,0387 quando è applicato dodici volte l'anno, cioè circa il 4,4% in più. È la convenzione di frequenza che si vede nella risposta invece che nel tasso. Lo stesso confronto allo 0% non mostrerebbe alcuna differenza: è un promemoria utile del fatto che si tratta di un effetto di capitalizzazione e non di una commissione.

5. Un pagamento grande e una durata lunga, dove domina la capitalizzazione

   1. Tasso periodale 0,58333% al mese, 600 periodi.
   2. Valore attuale: 100.000 × 166,20 = 16.619.896,78.
   3. Valore futuro: 100.000 × 5.448,07 = 544.807.091,51.
   4. Pagamenti: 100.000 × 600 = 60.000.000.
   5. Rapporto: 544.807.091,51 ÷ 16.619.896,78 = 32,78, che è 1,0058333⁶⁰⁰.

   Sessanta milioni versati diventano cinquecentoquarantaquattro milioni alla fine, su un orizzonte in cui il rapporto arriva a 32,78. La colonna del valore attuale racconta l'altra metà della storia: a 16,6 milioni, la promessa vale appena più di un quarto del denaro che finirà per cambiare mano, perché i pagamenti vicini alla fine di un piano cinquantennale sono scontati quasi a zero. Entrambe le cifre sono corrette, e il motivo per cui una sola pagina che le mostra insieme è più utile di ciascuna da sola è che il divario fra loro è l'intero argomento.

I pagamenti sono uguali e il tasso è fisso per tutta la durata. Nessuna delle due formule si applica a un flusso che sale con l'inflazione, varia con un rendimento di mercato o si interrompe prima; quelli richiedono un piano anno per anno invece di una forma chiusa. Il tasso è nominale e viene capitalizzato alla frequenza dei pagamenti. Cambiare la sola frequenza, lasciando il tasso invariato, non è un confronto fra pari: il caso annuale e quello mensile versano totali diversi (10.000 contro 120.000), quindi non è solo la capitalizzazione a cambiare. Il confronto alla pari è sul fattore di crescita di un singolo pagamento: 1,07²⁰ = 3,8697 una volta l'anno contro 1,0058333²⁴⁰ = 4,0387 dodici volte l'anno, un divario di circa il 4,4%. Un tasso quotato con una convenzione di capitalizzazione diversa è un tasso diverso, e questa pagina non te lo converte. Commissioni, tasse e inflazione non sono modellate. Il flusso dei pagamenti è esatto: 120.000 è 120.000. Quanto vale è una cifra nominale, quindi i 64.491 di oggi sono 64.491 in moneta di oggi solo nel senso che non sono corretti per quanto il denaro comprerà più avanti. Non c'è un selettore di modalità, quindi questa pagina prende sempre il pagamento come dato e riporta entrambi i valori come risultati. Ricavare il pagamento da una somma data è una domanda diversa e vive su una pagina sua invece che come impostazione qui, perché una modalità che ignora in silenzio uno dei campi è peggio di una visita in più. Un tasso pari o inferiore a −100% viene rifiutato; l'intervallo arriva fino a −99,9%, dove il valore attuale dello stesso flusso diventa astronomicamente grande. È la matematica dello sconto a un tasso negativo, non un difetto, ma non è un dato realistico e la colonna del valore attuale va letta come un segnale d'allarme quando esplode. I due valori non sono un confronto valutativo l'uno con l'altro. Un valore attuale di 64.491 e un valore futuro di 260.463 per lo stesso flusso non sono due offerte fra cui scegliere: sono la stessa offerta misurata in due date diverse.

Cosa mostra questa calcolatrice della rendita che le pagine a una faccia non mostrano?

Entrambe le risposte insieme. Il valore attuale di una rendita e il valore futuro di una rendita sono lo stesso flusso misurato in due date diverse, e ciascuno ha una pagina propria che ne riporta uno solo. Questa pagina prende gli stessi cinque dati e riporta entrambi, insieme al totale dei pagamenti, che è la cifra che non dipende affatto dal tasso. Vedere 120.000, 64.491,25 e 260.463,33 in un'unica vista è ciò che rende concreto il rapporto fra loro invece di doverlo prendere per buono.

Perché il valore futuro è molto più grande del valore attuale?

Perché sono lo stesso denaro in due date diverse, e il tempo è tutta la differenza. Su 20 anni al 7% capitalizzato mensilmente un euro diventa 4,0387 euro, quindi la somma che oggi vale 64.491 alla fine vale 260.463. Nessuno dei due numeri è la commissione, il profitto o l'errore: sono due prezzi validi per una sola promessa, e citarne uno senza la data a cui si riferisce non significa nulla.

Posso invece ricavare il pagamento, se conosco la somma?

Non su questa pagina, ed è una scelta deliberata: qui il pagamento è un dato e non un'incognita. Una pagina che lasciasse cambiare quale campo si sta risolvendo dovrebbe mostrare tutti i dati insieme, e quello in corso di calcolo resterebbe lì come una casella che ignora ciò che digiti. Il pagamento da una somma data ha una pagina sua, e va oltre quello che farebbe un interruttore di modalità: riporta anche il tasso di prelievo e quanta parte del totale viene dalla crescita.

Cambia qualcosa se i pagamenti arrivano all'inizio o alla fine del periodo?

Entrambi i valori cambiano esattamente dell'interesse di un periodo, lo 0,583% sui dati predefiniti, e cambiano dello stesso rapporto in entrambe le direzioni. È il segno che le due cifre sono viste di un solo oggetto: un aggiustamento che le muovesse di importi diversi vorrebbe dire che descrivono flussi diversi. Il totale pagato, 120.000, non si muove affatto: il tempo cambia quanto vale il flusso, non quanti euro contiene.

Perché cambiare la frequenza dei pagamenti cambia così tanto la risposta?

Perché il tasso è nominale e viene capitalizzato alla frequenza che scegli, e perché cambiando la frequenza cambia anche il totale versato. Con 500 per pagamento, il piano mensile versa 120.000 e quello annuale 10.000: mettere a confronto i due valori futuri, 260.463,33 contro 20.497,75, sarebbe come confrontare due piani diversi. Il confronto alla pari è su un singolo pagamento lasciato crescere: 1,0058333²⁴⁰ = 4,0387 contro 1,07²⁰ = 3,8697, circa il 4,4% in più. Il modo onesto di leggere un tasso annuo quotato è chiedere a quale frequenza è capitalizzato, perché un tasso nominale senza la sua frequenza è solo mezzo tasso.

Cosa succede con un tasso zero?

Tutte e tre le cifre diventano lo stesso numero: sui dati predefiniti, 120.000. Senza nulla da scontare e nulla da capitalizzare, il valore attuale e il valore futuro sono entrambi semplicemente la somma dei pagamenti. Vale la pena sapere che è anche il caso in cui un'implementazione a forma chiusa si rompe: il fattore è 0 ÷ 0 quando il tasso è zero, quindi una pagina che non lo trattasse a parte stamperebbe NaN. Il nucleo dietro questa pagina lo gestisce come un ramo proprio.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv)(A) and (B) — the United States regulation defining the annuity factor: subtract the term-certain remainder factor from 1.000000 and divide by the interest rate, with a further adjustment factor when payments fall at the end of monthly or quarterly periods — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States, current as of 2026)
• Annuities — a single payment or a series of premiums buying periodic payments, and how the timing of those payments is set out in the contract — FINRA (Financial Industry Regulatory Authority), United States
• Planning for retirement — comparing a lump sum with a stream of income, and why the two cannot be compared without picking a rate to discount at — Consumer Financial Protection Bureau, United States