Calcolatrice dell'accelerazione angolare

accelerazione angolare = ( velocità angolare finale − velocità angolare iniziale ) ÷ tempo numero di giri = velocità angolare media × tempo

ωi

Velocità angolare iniziale, in giri al minuto per impostazione predefinita — il campo accetta anche rad/s, °/s e giri/s. Lasciala a 0 per tutto ciò che parte da fermo

ωf

Velocità angolare finale, nelle stesse unità. Un valore minore di quello iniziale è ammesso e ha un significato preciso: il risultato esce negativo, cioè si tratta di una decelerazione

t

Tempo in cui avviene la variazione, in secondi — il campo accetta anche i minuti. Deve essere maggiore di zero, e la pagina presume che la variazione sia distribuita uniformemente su tutto l'intervallo

α

Accelerazione angolare — in rad/s² come risultato principale, e anche in giri/min al secondo e in °/s². Il segno segue la variazione di velocità: un α negativo significa che la rotazione sta rallentando

N

Giri compiuti durante la variazione, dalla velocità angolare media per il tempo: è il numero che dice se una macchina ha lo spazio fisico per eseguire la rampa

Usa questa pagina quando qualcosa gira e ti serve sapere con quanta forza viene spinto: un motore che dimensiona un carico, un freno che riporta giù un volano, la rampa di una centrifuga, un disco rigido che prende velocità, una ruota che viene accelerata. È il gemello rotazionale della pagina sull'accelerazione lineare, e l'intuizione è la stessa: a parità di variazione di velocità, più il tempo è breve, più grande è l'accelerazione e più grande è la coppia necessaria a produrla. Due abitudini rendono le risposte più utili. Primo, leggi il numero di giri con la stessa attenzione dell'accelerazione, perché è il vincolo che di solito decide il progetto: una rampa che impegna 125 giri richiede una carcassa con 125 giri di spazio libero, e un freno che ferma un albero in un secondo deve assorbire tutta l'energia in quel secondo. Secondo, guarda il segno ma non leggergli troppo: un α negativo dice che la rotazione sta rallentando, non che sta andando all'indietro, e la pagina non sa distinguere un arresto comandato da un guasto.

1. Un cestello di lavatrice, da fermo a 1200 giri/min in 8 secondi

   1. Variazione di velocità angolare: 1200 − 0 = 1200 giri/min
   2. In giri/min al secondo: 1200 ÷ 8 = 150 giri/min al secondo
   3. In rad/s²: 1200 giri/min = 125,664 rad/s, e 125,664 ÷ 8 = 15,708 rad/s²
   4. In °/s²: 15,708 × 57,2958 = 900
   5. Velocità angolare media: 600 giri/min = 10 giri/s
   6. Giri durante la rampa: 10 × 8 = 80

   Questo è il caso di tutti i giorni, e il numero utile è l'ultimo. Ottanta giri in otto secondi sono quello che il cestello deve riuscire a fare senza che i panni si annodino in un grumo e blocchino il motore, ed è il motivo per cui una centrifuga sale gradualmente invece di partire a tutta velocità. Vale anche la pena notare come le tre unità di accelerazione dividano lo stesso fatto fisico: 15,708 rad/s² e 150 giri/min al secondo sono lo stesso numero, e la cifra in °/s² è grande solo perché un giro è fatto di 360 gradi.

2. Il piatto di un disco rigido, da fermo a 7200 giri/min in 10 secondi

   1. Variazione di velocità angolare: 7200 giri/min
   2. In giri/min al secondo: 7200 ÷ 10 = 720 giri/min al secondo
   3. In rad/s²: 7200 giri/min = 753,982 rad/s, e 753,982 ÷ 10 = 75,398 rad/s²
   4. In °/s²: 4320
   5. Velocità angolare media: 3600 giri/min = 60 giri/s
   6. Giri durante la rampa: 60 × 10 = 600

   Lo stesso calcolo, su una macchina a cui la risposta interessa davvero. 75,398 rad/s² è cinque volte la cifra della lavatrice, e il piatto attraversa 600 giri per arrivarci: è il motivo per cui un disco che viene fermato e riavviato di continuo consuma i cuscinetti, e per cui conviene lasciarli girare invece di arrestarli fra una lettura e l'altra. I dieci secondi sono volutamente lenti per un disco moderno: un disco da portatile raggiunge la velocità di lavoro in circa tre, e ci riesce solo perché il piatto è abbastanza piccolo e leggero da rendere disponibile la coppia necessaria.

3. Un freno che porta un albero da 1500 giri/min a fermo in 4 secondi

   1. Variazione di velocità angolare: 0 − 1500 = −1500 giri/min
   2. In giri/min al secondo: −1500 ÷ 4 = −375 giri/min al secondo
   3. In rad/s²: 1500 giri/min = 157,080 rad/s, quindi −157,080 ÷ 4 = −39,27 rad/s²
   4. In °/s²: −2250
   5. Velocità angolare media: 750 giri/min = 12,5 giri/s
   6. Giri durante l'arresto: 12,5 × 4 = 50

   Il segno è tutto il punto di questo esempio: i tre risultati di accelerazione sono tutti negativi, e il numero di giri no, perché l'albero sta ancora girando in avanti — sta girando più piano. Fra il momento in cui il freno viene applicato e l'arresto dell'albero passano cinquanta giri, e tutta l'energia di rotazione dell'albero deve uscire nel corso di quei cinquanta giri. È questa la differenza fra un freno e una frizione: un freno deve trasformare energia cinetica in calore, e la rapidità con cui lo fa è proporzionale a questa accelerazione, ed è per questo che il primo secondo di una frenata di emergenza è quello che cuoce il disco.

La pagina presume un'accelerazione angolare costante, cioè che la velocità cambi a ritmo uniforme dall'inizio alla fine. Un motore reale ha una curva di coppia più che un'accelerazione fissa, quindi la rampa non è una retta sul grafico della velocità, e il numero di giri che ne esce è una media che non corrisponderà a una macchina con avviamento dolce. Qui non si parla né di coppia né di momento d'inerzia: l'accelerazione angolare è la cinematica, e per tradurla nella forza che un motore deve fornire servono la versione rotazionale del secondo principio di Newton, τ = Iα, e il momento d'inerzia di tutto ciò che è avvitato sull'albero. Non c'è momento angolare e non c'è energia: un freno che ferma un albero deve dissipare ½Iω² lungo l'arresto, e la pagina non ti sa dire quanto valga. È inoltre puramente rotazionale: una ruota che viene accelerata mentre il veicolo a cui appartiene si sta anche spostando ha pure un'accelerazione lineare, e le due sono legate dal raggio, che questa pagina non chiede. Non gestisce un'inversione di marcia: una velocità angolare che cambia segno passa per lo zero, e l'ipotesi di accelerazione costante si adatta male a qualcosa che lo faccia. Infine la pagina non ha nozione di dove l'accelerazione venga, quindi riporta senza problemi un'accelerazione che nessun motore o freno reale saprebbe erogare, e non dice niente sulle vibrazioni, sui carichi sui cuscinetti o sul calore che una rampa reale a quel ritmo produrrebbe.

Come si calcola l'accelerazione angolare?

Sottrai la velocità angolare iniziale a quella finale e dividi per il tempo impiegato: α = (ωf − ωi) ÷ t. Passare da fermo a 3000 giri/min in 5 secondi è una variazione di 3000 giri/min in 5 s, cioè 600 giri/min al secondo, ovvero 62,832 rad/s². Se il risultato esce negativo la rotazione sta rallentando invece di accelerare, e la pagina stampa insieme tutte e tre le convenzioni di unità così puoi confrontarla con quella che usa il tuo foglio tecnico.

Qual è la formula in rad/s²?

La stessa, con le velocità convertite prima: un giro al minuto è 2π ÷ 60 = 0,10472 rad/s, quindi 3000 giri/min sono 314,159 rad/s e dividendo per 5 s si ottengono 62,832 rad/s². Al contrario, moltiplica i rad/s² per 9,5493 per ottenere i giri/min al secondo. La conversione non cambia mai la fisica: cambia solo quale delle tre righe leggi.

Perché l'accelerazione angolare è negativa?

Perché la velocità finale è minore di quella iniziale e la formula le sottrae, quindi una decelerazione esce con il segno meno. Un albero che passa da 1500 giri/min a fermo in 4 secondi ha α = −39,27 rad/s². Il segno dice che la rotazione sta rallentando, non che sta andando all'indietro: il numero di giri resta positivo per tutto il tempo, perché l'albero continua a girare in avanti finché si ferma.

A che cosa serve il numero di giri?

È il numero di giri che l'oggetto compie mentre la sua velocità cambia, e si ottiene dalla velocità angolare media per il tempo. Di solito è il vincolo che decide se un progetto sta in piedi: un tamburo che accelera fino a 1200 giri/min in 8 secondi attraversa 80 giri, e una macchina che ha spazio per 50 giri quella rampa non la può fare. La stessa cifra dice quanta superficie frenante serve a un disco, dato che tutta l'energia di rotazione deve uscire nel corso di quei giri.

Come si lega l'accelerazione angolare alla coppia?

Attraverso la forma rotazionale del secondo principio di Newton, τ = Iα, dove τ è la coppia e I il momento d'inerzia. Questa pagina ti dà la cinematica, cioè α e nient'altro, e per trovare la coppia che un motore deve produrre serve il momento d'inerzia di tutto ciò che sta sull'albero, che per un disco pieno vale ½mr² e per un anello mr². In pratica è per questo che la stessa accelerazione richiede un motore molto più grosso su una centrifuga carica che su una vuota: l'α è identico e il momento d'inerzia no.

Ha importanza se la variazione di velocità è uniforme?

Sì, e questa pagina presume che lo sia. Un'accelerazione angolare costante significa una rampa rettilinea dalla velocità iniziale a quella finale, e allora il numero di giri è semplicemente la media delle due moltiplicata per il tempo. Un motore reale con avviamento dolce cambia velocità in modo irregolare, quindi il numero effettivo di giri sarà diverso: la pagina è lo strumento giusto per dimensionare e per controllare a occhio, e quello sbagliato per prevedere con esattezza dove si troverà l'albero di una macchina reale dopo una data rampa.

• Angular Acceleration (College Physics 2e, §10.1) — α = Δω ÷ Δt, the definition of angular acceleration, and the rotational kinematics equations built on it — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the radian as the coherent unit of angle and the radian per second squared as the unit of angular acceleration, with the exact factors for degrees and revolutions — National Institute of Standards and Technology
• Angular acceleration — the relation to torque and moment of inertia that this page deliberately leaves out, and the sign convention for a decelerating rotation — Wikipedia