Kalkulator Dilatasi Waktu

waktu terdilatasi = faktor Lorentz × waktu sejatinya, dengan faktor Lorentz = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

Kelajuan jam yang bergerak itu sebagai pecahan dari kecepatan cahaya, jadi 0,9 berarti sembilan persepuluh c. Menuliskannya begitu memang disengaja: kecepatan cahaya adalah satuannya di sini, bukan tetapan yang harus Anda ketik. Kolomnya berjalan dari 0 sampai 1, dan tepat 1 bukan nilai yang bisa dipakai halaman ini, karena seluruh rumusnya membagi dengan sesuatu yang menjadi nol di titik itu

Δτ

Waktu sejatinya — apa yang dibaca jam yang bepergian itu sendiri, dalam jam, menit, sekon, atau hari. Ia yang lebih kecil di antara kedua waktunya dan ia yang dialami si pengelana. Halaman ini punya dua jam dan inilah yang harus Anda pisahkan dari yang lain: isilah perjalanannya sebagaimana dialami awaknya, bukan sebagaimana dipantau pusat kendali misinya

γ

Faktor Lorentz, 1 ÷ √(1 − v²/c²), dicetak sampai empat angka desimal tanpa satuan karena ia sebuah perbandingan. Ia seluruh pokok bahasan halaman ini: pada kelajuan apa pun yang dicapai manusia atau kendaraan ia sepakat dengan 1 sampai sebelas angka desimal — 1.000 m/s pun hanya memberi 1,0000000000056 — jadi halamannya mencetak 1,0000; pada 0,1 c nilainya 1,005; dan hanya setelah sekitar 0,9 c ia mulai terlihat seperti angka yang layak dibuatkan tabel. Segala hal lain di halaman ini adalah faktor itu dikalikan sebuah waktu atau dikurangkan darinya

Δt

Waktu yang terdilatasi — apa yang dibaca jam yang tinggal di rumah antara dua peristiwa yang sama. Ia selalu yang lebih besar di antara keduanya, dan halamannya menampilkannya sebagai durasi alih-alih sebagai hitungan sekon: lima jam di dalam pesawat pada 0,9 c kembali sebagai 11 jam 28 menit 15 detik. Tidak ada kasus ketika ia lebih kecil, karena faktornya tidak pernah turun di bawah satu

Δt − Δτ

Selisih antara kedua jamnya, juga ditampilkan sebagai durasi. Ia tidak sama dengan waktu yang terdilatasi dan bukan kelipatannya — ia sisa setelah jam-jam si pengelana dikurangkan, dan itulah angka yang sebenarnya ditanyakan paradoks kembar. Pada 0,9 c selama lima jam, selisihnya 6 jam 28 menit 15 detik

Pakai halaman ini kalau Anda ingin tahu berapa biaya sebuah perjalanan cepat dalam waktu alih-alih dalam jarak: berapa awak sebuah kapal akan menua pada perjalanan dengan kelajuan pecahan kecepatan cahaya yang lumayan, seperti apa masa hidup sebuah muon dilihat dari permukaan tanah, atau mengapa jam di sebuah satelit harus dikoreksi. Faktornya itulah bagian yang layak diperhatikan, karena jawabannya mengejutkan orang ke dua arah — pada 0,1 c, yang lebih cepat daripada apa pun yang pernah dibuat manusia, kedua jamnya berbeda setengah persen, sedangkan rentang terakhir dari 0,99 c ke 0,999999 c melipatgandakan pengaruhnya seratus kali. Paruh keberangkatan paradoks kembar tinggal di sini: kirim satu kembar pergi pada 0,9 c dan kalender kembar yang lain berjalan lebih dari dua kali lebih cepat.

1. Nilai bakunya: 0,9 c selama lima jam di dalam pesawat

   1. Kelajuan 0,9 c, waktu sejatinya 5 jam
   2. Faktor Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,9²) = 1 ÷ √0,19 = 2,294157, yang tercetak sebagai 2,2942
   3. Lima jam adalah 5 × 3.600 = 18.000 sekon di dalam pesawat
   4. Waktu yang terdilatasi: 2,294157 × 18.000 = 41.294,83 sekon, dibulatkan menjadi 41.295 — yaitu 11 jam 28 menit 15 detik
   5. Selisihnya: 41.295 − 18.000 = 23.295 sekon, atau 6 jam 28 menit 15 detik

   Kedua baris durasi itulah alasan halaman ini bukan sekadar satu perkalian. Jam yang bepergian membaca lima jam; jam di rumah membaca sebelas jam dua puluh delapan menit; dan selisih keduanya, enam jam dua puluh delapan menit, adalah angka ketiga dan angka yang menjadi pokok paradoks kembar. Perhatikan bahwa selisihnya juga bukan kelipatan dari waktu sejatinya — ia 23.295 sekon, yaitu 1,294 kali dari 18.000 yang diukur si pengelana, dan bukan 2,29 kali. Mengurangkan γ kali waktunya dari waktunya tidak memberi selisihnya; yang memberi selisihnya adalah mengurangkan kedua waktunya.

2. Setengah kecepatan cahaya selama satu jam: pengaruhnya nyata tetapi sedang

   1. Kelajuan 0,5 c, waktu sejatinya 1 jam
   2. Faktor Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1,154701, yang tercetak sebagai 1,1547
   3. Satu jam di dalam pesawat adalah 3.600 sekon
   4. Waktu yang terdilatasi: 1,154701 × 3.600 = 4.156,92 sekon, dibulatkan menjadi 4.157 — 1 jam 9 menit 17 detik
   5. Selisihnya: 4.157 − 3.600 = 557 sekon, atau 9 menit 17 detik

   Setengah kecepatan cahaya terdengar ekstrem dan, bagi jamnya, tidak: satu tahun di dalam pesawat akan menjadi satu tahun dua bulan di rumah. Kasus ini ada di sini karena pembulatannya dan bukan karena fisikanya — implementasi yang memotong alih-alih membulatkan akan melaporkan 4.156 dan 556, kurang satu sekon pada kedua barisnya, dan sekon itu tidak akan terlihat kecuali Anda memeriksa aritmetikanya seperti yang dilakukan langkah-langkah di atas. Ia juga kasus yang menunjukkan bahwa faktornya simetris dengan cara yang tidak diduga orang: 0,5 c memberi 1,1547, dan 0,5 c ke arah mana pun juga begitu, karena rumusnya memuat v² dan bukan v.

3. 0,999999 c selama satu jam: dua puluh sembilan hari di rumah

   1. Kelajuan 0,999999 c, waktu sejatinya 1 jam
   2. Faktor Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,999998000001) = 1 ÷ √(1,999999 × 10⁻⁶) = 707,106958, yang tercetak sebagai 707,107
   3. Satu jam di dalam pesawat adalah 3.600 sekon
   4. Waktu yang terdilatasi: 707,106958 × 3.600 = 2.545.585,05 sekon, dibulatkan menjadi 2.545.585 — 29 hari 11 jam 6 menit 25 detik
   5. Selisihnya: 2.545.585 − 3.600 = 2.541.985 sekon, atau 29 hari 10 jam 6 menit 25 detik

   Satu jam perjalanan dan dua puluh sembilan hari waktu rumah, dan itulah yang dibeli oleh angka terakhir pada masukannya: pada 0,999 c faktornya 22,37, dan pada 0,999999 c faktornya 707,11, dari perubahan satu bagian dalam seribu pada kelajuannya. Kecuraman itulah hal paling berguna yang bisa dibawa pulang dari halaman ini, dan itulah sebabnya keenam kelajuan di tabelnya mengumpul di ujung atas alih-alih tersebar merata. Aritmetika pada langkah kedua adalah satu-satunya tempat di halaman ini yang akar kuadratnya mudah salah kalau dikerjakan tangan: √2 ≈ 1,4142 akan menyarankan 707,1068, sedangkan nilai yang tercetak punya angka nol pada desimal keempatnya, bukan angka delapan.

4. Dalam keadaan diam: kedua jamnya sepakat dengan tepat

   1. Kelajuan 0 c, waktu sejatinya 1 jam
   2. Faktor Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0) = 1, yang tercetak sebagai 1,0000
   3. Waktu yang terdilatasi: 1 × 3.600 = 3.600 sekon, yaitu 1 jam
   4. Selisihnya: 3.600 − 3.600 = 0 sekon
   5. Tidak ada yang bergerak, tidak ada yang berjalan lambat

   Baris ini jangkarnya bagi segala hal di atasnya: tanpa gerak relatif sama sekali tidak ada pengaruhnya, dan faktornya tepat 1. Ia juga baris yang menunjukkan mengapa empat angka desimal dicetak alih-alih dua — pada 0,05 c faktornya 1,00125, yang dengan dua desimal akan tercetak sebagai 1,00 dan tidak bisa dibedakan dari berdiri diam, sedangkan dengan empat desimal baris 0,1 c terbaca 1,005 dan perbedaannya ada di sana untuk dilihat. Angka 1,0000 yang tercetak itu juga bukan pemanis; ia mengatakan bahwa ketidaksepakatan kedua jamnya berada di bawah desimal keempat, dan itu fakta tentang kelajuan nol dan bukan pilihan pemformatan.

Hanya paruh keberangkatannya yang dicakup: jam yang berbalik arah lalu kembali harus diperlakukan sebagai dua bagian berkecepatan tetap yang terpisah, dan jam si pengelana itulah yang akhirnya tertinggal. Gravitasi tidak dimodelkan, padahal jam yang lebih dalam di dalam medan gravitasi juga berjalan lambat, dengan rumus yang berbeda, dan kedua pengaruh itu dijumlahkan di dalam sistem navigasi yang sesungguhnya. Kelajuannya diukur relatif terhadap siapa pun yang mengamati, dan perjalanannya dianggap berlangsung pada kelajuan itu sepanjang waktu, jadi tidak ada apa pun di sini yang memperhitungkan percepatan di kedua ujungnya — dan percepatan itulah yang mematahkan simetri antara kedua kembar dalam paradoksnya. Halamannya juga tidak memberi tahu Anda bahwa kedua pengamatnya sama-sama benar: yang dilaporkan adalah bacaan jam, dan tidak ada jam yang berjalan lambat menurut dirinya sendiri. Terakhir, γ dicetak sampai empat angka desimal, jadi pada kelajuan yang sangat rendah jawabannya hanya berbeda dari 1 jauh di bawah angka yang ditampilkan, dan baris selisihnya akan terbaca nol sekon meskipun secara prinsip ada perbedaan di bawah satu sekon.

Apa rumus dilatasi waktu?

Waktu yang terdilatasi sama dengan faktor Lorentz kali waktu sejatinya, Δt = γΔτ, dengan γ adalah 1 dibagi akar kuadrat dari 1 − v²/c². Lima jam di dalam pesawat pada 0,9 c menjadi 11 jam 28 menit 15 detik di darat, karena γ di sana 2,2942. Faktornya hanya bergantung pada kelajuannya, jadi mengubah lamanya perjalanan menskalakan kedua waktunya bersama-sama dan tidak menyentuh γ.

Mengapa faktor Lorentz tetap dekat dengan 1 selama itu?

Karena rumusnya memuat v²/c², jadi pada kelajuan rendah yang dikurangkan dari 1 itu sangat kecil dan akar kuadrat dari bilangan yang dekat dengan 1 juga dekat dengan 1. Pada 0,1 c — tiga puluh juta meter per sekon, lebih cepat daripada wahana antariksa mana pun — faktornya 1,005, yaitu setengah persen. Bahkan pada setengah kecepatan cahaya nilainya hanya 1,1547. Bagian yang curam baru datang belakangan: 7,09 pada 0,99 c, 22,37 pada 0,999 c, dan 707 pada 0,999999 c.

Apa bedanya ini dengan paradoks kembar?

Halaman ini memberi paruh keberangkatannya. Kalau satu kembar pergi pada 0,9 c dan yang lain tinggal, jam kembar yang tinggal di rumah berjalan 2,2942 kali lebih cepat, jadi lima tahun di dalam pesawat menjadi sebelas setengah tahun di rumah. Paradoks lengkapnya memerlukan si pengelana berbalik arah lalu kembali, dan itu dua bagian alih-alih satu serta melibatkan percepatan — itulah yang mematahkan simetri antara kedua kembar itu, dan itu di luar apa yang dimodelkan halaman ini.

Apakah gravitasi juga menyebabkan dilatasi waktu?

Ya, dan halaman ini tidak mencakupnya. Jam yang lebih dalam di dalam medan gravitasi berjalan lambat dibandingkan jam yang lebih tinggi, dan itu pengaruh tersendiri dengan rumusnya sendiri serta sebabnya jam satelit perlu dikoreksi untuk keduanya. Yang dicakup halaman ini adalah pengaruh relativitas khusus, yang hanya bergantung pada kelajuan relatif dan berlaku bahkan tanpa gravitasi sama sekali. Keduanya dijumlahkan di dalam sistem navigasi yang sesungguhnya.

Apa yang terjadi tepat pada kecepatan cahaya?

Halamannya menolak masukan itu. Pada v = c besaran 1 − v²/c² adalah nol dan faktor Lorentz-nya membagi dengan nol, jadi yang ada bukan jawaban tak hingga melainkan tidak ada jawaban. Di atas kecepatan cahaya akar kuadratnya menjadi akar dari bilangan negatif. Kolomnya menerima 0 sampai 1 dan kalkulatornya menolak tepat 1, dan itulah pemisahan yang jujur: mencapai kecepatan cahaya bukan sebuah bilangan yang sangat besar di halaman ini, melainkan titik ketika rumusnya berhenti terdefinisi.

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — NIST