Kalkulator Jumlah Kuadrat

JK = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

Setiap nilai dalam daftar, satu per satu. Setiap nilai menyumbang kuadrat celahnya sendiri, jadi tidak ada satu nilai pun yang bisa dibuang tanpa mengubah totalnya

x̄

Rata-rata nilainya. Ia titik tempat celah-celah itu diukur, dan ia dipilih justru karena simpangan mentah di sekitarnya saling menghapus sampai nol

JK

Jumlah kuadrat simpangan — hasil utamanya. Ia nol tepat ketika semua nilainya identik, dan ia bertambah seiring besarnya simpangan maupun banyaknya simpangan itu

Σx²

Jumlah kuadrat nilainya, yang juga dicetak sebagai jumlah kuadrat mentah. Ia suku pertama di ruas kanan identitas itu dan yang paling mudah tertukar dengan jawabannya, karena keduanya sama-sama disebut jumlah kuadrat

Σx

Total nilai yang biasa, sebelum dikuadratkan. Menguadratkannya lalu membaginya dengan n memberi suku koreksi yang mengubah Σx² menjadi jumlah kuadrat simpangan

n

Berapa banyak nilai yang masuk, maksimal 200 di halaman ini. Ia muncul dua kali — sebagai pembagi pada suku koreksi dan sebagai cacah yang dicetak untuk diperiksa

Pakai ia ketika Anda ingin melihat langkahnya alih-alih ukuran jadinya: saat memeriksa varian atau simpangan baku dengan tangan, saat menjelaskan mengapa kedua besaran itu menguadratkan simpangannya, atau saat membandingkan seberapa besar variasi sebuah total yang bisa diterangkan sebuah model. Ia juga cara yang wajar untuk menyatakan sebaran ketika Anda bekerja dengan jumlah dan bukan dengan rata-rata, seperti pada analisis varian, di mana seluruh metodenya adalah pembukuan atas jumlah kuadrat. Pada regresi yang punya intersep, besaran yang sama ini disebut jumlah kuadrat total, dan kecocokan modelnya diukur dari seberapa besar bagiannya yang dihapus oleh garis yang dipasang. Identitas di ruas kanan layak diketahui karena alasan kedua: begitulah angka ini dihitung sebelum ada mesin, dan begitulah banyak rumus masih ditulis, meskipun menghitungnya dengan cara itu kehilangan presisi ketika nilainya besar sementara sebarannya kecil. Itulah sebabnya kalkulator di atas memakai jalur definisi dan hanya mencetak suku-suku identitasnya supaya Anda bisa memeriksa bahwa keduanya sepakat.

1. Delapan nilai: 32 lewat kedua jalur

   1. Rata-ratanya 40 / 8 = 5
   2. Simpangannya adalah −3; −1; −1; −1; 0; 0; 2; dan 4, dan jumlahnya 0 — sebagaimana selalu terjadi
   3. Menguadratkannya memberi 9; 1; 1; 1; 0; 0; 4; dan 16, yang berjumlah 32
   4. Jalur yang lain: Σx² = 232 dan (Σx)² / n = 40² / 8 = 200, sehingga 232 − 200 = 32

   Kedua jalur mendarat di 32, dan melihat hal itu sudah merupakan sebagian besar gunanya halaman ini. Ketiga simpangan pertama bernilai negatif dan dua terakhir positif, dan justru itulah alasan kuadratnya diperlukan — simpangan mentahnya berjumlah nol dan tidak bisa membedakan satu kumpulan data dari kumpulan data yang lain.

2. Dua nilai dengan rata-rata pecahan

   1. Rata-ratanya 3 / 2 = 1,5, jadi simpangannya −0,5 dan +0,5
   2. Menguadratkannya memberi 0,25 dan 0,25, jadi jumlah kuadratnya 0,5 — bukan 1
   3. Jalur yang lain: 5 − 3² / 2 = 5 − 4,5 = 0,5, di mana bagian pecahannya muncul pada pengurangan itu

   Dua nilai tidak akan pernah menghasilkan jumlah kuadrat yang lebih besar daripada separuh kuadrat celahnya, dan inilah kasus terkecilnya: masing-masing dari kedua simpangan itu membawa separuh jaraknya. Kekeliruan yang lazim adalah menguadratkan celahnya langsung, yang akan memberi 1 di sini alih-alih 0,5 — celahnya sudah merupakan selisih dua simpangan, jadi ia terhitung dua kali.

3. Satu nilai: 0 berbanding jumlah kuadrat mentahnya

   1. Rata-rata satu nilai adalah nilai itu sendiri, jadi rata-ratanya 42
   2. Simpangannya 42 − 42 = 0, dan 0² adalah 0, jadi jumlah kuadratnya 0
   3. Jumlah kuadrat mentahnya adalah besaran yang sama sekali lain: 42², yaitu nilai tunggal itu dikuadratkan

   Dua besaran yang sama-sama disebut jumlah kuadrat, terpaut tiga orde besaran, di panel yang sama. Inilah kasus yang menjaga keduanya tetap terpisah: pada daftar yang lebih panjang kedua angka itu biasanya seorde sehingga mudah salah mengambil yang mana. Jumlah kuadrat simpangan bernilai 0 karena satu nilai tidak bisa menyimpang dari dirinya sendiri — itu jawaban yang nyata dan bukan kegagalan, dan itulah sebabnya halaman ini tidak menuntut dua nilai seperti yang dituntut varian.

4. Empat nilai yang identik

   1. Rata-ratanya 12 / 4 = 3, jadi setiap simpangannya 0
   2. Jumlah kuadratnya 0
   3. Jumlah kuadrat mentahnya 3² + 3² + 3² + 3² = 36, yang bukan 0 dan tidak akan pernah menjadi 0

   Nol di sini berarti datanya tidak punya sebaran sama sekali, dan keadaannya berbeda dari kasus satu nilai di atas meskipun keduanya mencetak 0: di sini ada empat pengamatan yang sepakat persis, di sana hanya ada satu pengamatan. Jumlah kuadrat mentahnya bergerak ke arah sebaliknya, bertambah dengan setiap nilai yang ditambahkan tanpa peduli sebarannya.

Namanya sendiri adalah bahaya utamanya. Dua besaran berbeda sama-sama disebut jumlah kuadrat dan keduanya muncul di halaman ini: jumlah kuadrat simpangan Σ(x − x̄)², yang merupakan jawabannya, dan jumlah kuadrat mentah Σx², yang hanya satu suku dalam identitasnya. Pada satu nilai tunggal keduanya berbeda tiga orde besaran. Bacalah label pada barisnya sebelum mengutip sebuah angka. Batasan kedua adalah apa yang tidak dikerjakan halaman ini: sebuah regresi membelah jumlah kuadrat total menjadi bagian yang diterangkan garis yang dipasang dan bagian sisaannya, dan pembelahan itu tidak tersedia di sini. Ia memerlukan variabel kedua dan sebuah garis yang dipasang melalui datanya, dan tidak ada halaman di bagian ini yang memasang garis semacam itu — halaman kovarians berhenti di koefisien korelasi. Yang benar, dan layak diketahui, adalah bahwa jumlah kuadrat total pada regresi berintersep adalah besaran yang sama ini yang diterapkan pada variabel hasilnya; yang hilang hanyalah pembelahannya. Ada juga alasan praktis mengapa kalkulator ini memakai jalur definisi alih-alih identitasnya: mengurangkan dua bilangan besar yang hampir sama menghilangkan presisi, sehingga pada daftar bernilai besar dengan sebaran kecil jalur ruas kanan bisa memberi jawaban yang terlihat jelas salah. Identitasnya dicetak untuk diperiksa, bukan untuk mempercepat. Daftar dibatasi 200 nilai, dan tulisan dengan pemisah ribuan ditolak alih-alih diduga-duga, karena satu titik di antara digit sudah dibaca sebagai tanda desimal di sini.

Bagaimana cara menghitung jumlah kuadrat?

Cari rata-ratanya, kurangkan dari setiap nilai, kuadratkan setiap hasilnya, lalu jumlahkan. Untuk 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; dan 9 rata-ratanya 5, simpangannya −3; −1; −1; −1; 0; 0; 2; dan 4, dan kuadrat-kuadratnya berjumlah 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Setiap nilai ikut ambil bagian, termasuk nilai yang kebetulan berada tepat pada rata-ratanya, yang menyumbang 0.

Mengapa simpangannya dikuadratkan dan tidak langsung dijumlahkan saja?

Karena simpangan mentahnya selalu berjumlah tepat nol. Nilai yang di bawah rata-rata menghapus nilai yang di atasnya, untuk daftar apa pun, sehingga jumlah simpangannya tidak membawa informasi apa pun tentang sebaran. Menguadratkan melakukan dua hal sekaligus: ia membuat setiap sukunya positif sehingga tidak ada yang saling menghapus, dan ia memberi nilai yang jauh dari rata-rata bobot yang sebanding — nilai yang berjarak dua satuan menyumbang 4, yang berjarak dua puluh satuan menyumbang 400. Efek kedua itu memang disengaja. Itu juga sebabnya jumlah kuadrat, dan varian yang dibangun darinya, bereaksi keras terhadap satu nilai ekstrem.

Mengapa ada dua angka berbeda yang sama-sama disebut jumlah kuadrat di halaman ini?

Karena dua besaran dalam statistika memakai nama yang sama, dan halaman ini mencetak keduanya. Jumlah kuadrat simpangan, Σ(x − x̄)², adalah jawaban di sini dan pembilang varian. Jumlah kuadrat mentah, Σx², adalah jumlah dari setiap nilai yang dikuadratkan sebelum rata-rata dikurangkan. Keduanya dihubungkan identitas Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, dan itulah sebabnya versi mentahnya ada di layar, tetapi keduanya tidak bisa saling menggantikan. Pada nilai tunggal 42, jumlah kuadrat simpangannya 0 sedangkan jumlah kuadrat mentahnya 42², yang nilainya bisa Anda baca langsung di baris panelnya.

Apakah pilihan sampel atau populasi mengubah jawabannya?

Tidak, dan itulah sebabnya tidak ada pemilih di halaman ini. Rumus sampel dan rumus populasi hanya berbeda pada pembaginya — n − 1 berbanding n — sedangkan jumlah kuadrat tidak membagi dengan apa pun. Ia satu angka untuk satu daftar tertentu. Pilihan itu muncul di halaman varian dan simpangan baku karena pembagiannya terjadi di sana, dan itulah tepatnya sebabnya kumpulan data yang sama bisa menghasilkan dua varian tetapi hanya satu jumlah kuadrat.

Apa kaitannya dengan varian dan simpangan baku?

Varian adalah angka ini dibagi derajat kebebasannya: n − 1 untuk sampel atau n untuk populasi. Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varian. Jadi jumlah kuadrat adalah bahan mentahnya, dan pembagian itulah yang membuatnya bisa dibandingkan antarkumpulan data yang berbeda ukuran — jumlah atas delapan nilai secara alami lebih besar daripada jumlah atas empat nilai, bahkan ketika sebarannya sama. Membagi dengan n − 1 alih-alih n juga mengoreksi sedikit kecenderungan meremehkan yang muncul karena simpangannya diukur di sekitar rata-rata sampel dan bukan rata-rata sebenarnya.

Bisakah jumlah kuadrat bernilai negatif?

Tidak pernah. Setiap sukunya adalah hasil kuadrat, jadi setiap sukunya nol atau positif dan totalnya pun begitu. Ia nol tepat ketika setiap nilai sama dengan rata-ratanya, yang berarti setiap nilai sama dengan nilai lainnya — entah karena daftarnya hanya berisi satu nilai, entah karena semua nilainya identik. Total nol adalah hasil yang nyata yang berarti datanya tidak punya sebaran, bukan tanda ada yang salah. Kalau Anda melihat angka negatif, itu jumlah kuadrat mentah Σx² yang Anda lihat dengan kesalahan tanda, atau selisih dua kuadrat yang dihitung dengan tangan.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University