Kalkulator Rata-rata, Median, Modus

Rata-rata = Σ xᵢ ÷ n Median = nilai tengah setelah data diurutkan Modus = nilai dengan frekuensi tertinggi

xᵢ

Satu nilai dalam kumpulan data. Setiap nilai dihitung sekali, entah ia dekat ke tengah atau berada jauh di ujung

n

Banyaknya nilai, maksimal 200 di halaman ini. Ketiga ukuran pusat ini membagi dengan banyaknya data, bukan dengan n − 1, jadi tidak ada pilihan sampel atau populasi di halaman ini

x̄

Rata-rata. Hanya ukuran ini yang bisa digeser oleh setiap nilai, dan itulah sebabnya satu nilai ekstrem bisa menyeretnya sementara dua ukuran lainnya tidak bergeming

M

Median: urutkan nilainya lalu ambil yang di tengah, atau rata-ratakan dua nilai tengah kalau cacahnya genap. Separuh data ada di bawahnya dan separuh di atasnya

f

Frekuensi modus — berapa kali nilai yang paling sering muncul itu muncul. Frekuensi 1 berarti tidak ada nilai yang berulang, dan saat itu setiap nilai berbagi posisi puncak

Laporkan median kalau daftarnya punya pencilan atau ekor yang panjang — harga rumah, penghasilan, waktu tunggu, apa pun yang satu nilainya bisa sangat besar. Median tidak terpengaruh seberapa jauh pencilan itu berada, hanya oleh berapa banyak nilai di masing-masing sisinya. Laporkan rata-rata kalau setiap nilai memang harus berbobot sama dan totalnya penting: nilai ujian rata-rata, pengeluaran rata-rata per pelanggan, sebuah laju. Laporkan modus kalau yang dicari adalah nilai yang paling umum — ukuran sepatu yang paling banyak terjual, jumlah penumpang yang paling sering terjadi. Kalau ketiganya sepakat, datanya kurang lebih simetris dan pilihannya tidak banyak berpengaruh. Kalau ketiganya berbeda, laporkan median dan jelaskan alasannya: pada data yang miring ke kanan, modus ada di bawah median dan rata-rata ada di atasnya, dan rata-ratanya itulah yang sedang diseret.

1. Seminggu yang miring: ketiga pusat saling menjauh

   1. Setelah diurutkan: 1; 2; 2; 3; 4; 7; 9 — ada tujuh nilai, jadi yang di tengah adalah nilai keempat
   2. Median: 3
   3. Total: 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, jadi rata-ratanya 28 ÷ 7 = 4
   4. Modus: 2 muncul dua kali dan tidak ada yang muncul tiga kali, jadi modusnya 2 dengan frekuensi 2

   Baca ketiga jawabannya sebagai bentuk data, bukan sebagai tiga taksiran atas satu hal yang sama: modus 2, median 3, rata-rata 4, dalam urutan itu, adalah tanda khas data yang miring ke kanan — angka 7 dan 9 menarik rata-rata melewati median, sementara modusnya diam di tempat. Kalau angka 9 diganti 90, rata-ratanya melonjak ke 15,6 sedangkan mediannya tidak bergeser sedikit pun.

2. Dua modus, dan bagian tengah yang tidak jelas

   1. Setelah diurutkan: 2; 2; 5; 5; 9 — nilai tengahnya 5
   2. Total: 23, jadi rata-ratanya 23 ÷ 5 = 4,6
   3. Ada dua nilai yang masing-masing muncul dua kali, yaitu 2 dan 5, jadi modusnya ada dua dan panel melaporkan yang lebih kecil

   Kumpulan data seperti ini disebut bimodal — dua nilai berbagi frekuensi tertinggi — dan sering kali data seperti ini sebenarnya dua kelompok yang tercampur tanpa sengaja, dalam contoh ini sekelompok angka 2 dan sekelompok angka 5. Halaman ini melaporkan modus yang lebih kecil beserta banyaknya modus di sebelahnya, dan itulah pembacaan yang jujur: angka 2 bukan modus yang lebih sah daripada 5, ia hanya kebetulan yang pertama menurut urutan.

3. Tidak ada nilai yang berulang sama sekali

   1. Setiap nilai muncul tepat satu kali, jadi tidak ada yang lebih sering daripada yang lain
   2. Frekuensi modus: 1; banyaknya modus: 3, yaitu semua nilai dalam kumpulan itu
   3. Rata-rata dan median: keduanya 2

   Frekuensi 1 disertai banyaknya modus yang sama dengan jumlah data adalah cara halaman ini mengatakan "tidak ada modus" — dan itu pernyataan yang lebih berguna daripada jawaban kosong, karena ketiga angka bersama-sama memberi tahu bahwa semua nilai seri. Kolom modus tetap menampilkan sebuah nilai, yaitu yang terkecil, semata-mata supaya barisnya tidak kosong.

Ketiganya menggambarkan bagian tengah, sedangkan rentang yang dicetak di sebelahnya hanya mengatakan seberapa jauh dua nilai terluar terpisah — dan itu tidak sama dengan bagaimana data tersebar di antaranya: dua kumpulan data bisa punya rata-rata, median, dan rentang yang sama namun tidak mirip sama sekali, yang satu mengumpul rapat dan yang satu terbentang dari ujung ke ujung. Data yang miring lebih baik digambarkan oleh median dan kuartilnya daripada oleh rata-rata, karena rata-rata ditarik ke arah ekornya sementara median tidak. Modus adalah yang paling tidak stabil dari ketiganya — ia bisa berpindah ke nilai lain begitu satu entri berubah, dan pada pengukuran yang kontinu ia sering tidak punya modus yang berguna sama sekali, sehingga yang tampak seperti modus bisa jadi hanya efek pembulatan. Halaman ini membaca bilangan apa adanya, jadi tabel frekuensi harus diuraikan lebih dulu menjadi nilai-nilainya sebelum bisa dipakai di sini, dan daftarnya dibatasi 200 nilai.

Bagaimana cara mencari rata-rata, median, dan modus?

Jumlahkan semua nilai lalu bagi dengan banyaknya untuk rata-rata. Urutkan nilainya dan ambil yang di tengah untuk median — kalau cacahnya genap, rata-ratakan dua nilai tengah itu. Hitung berapa kali tiap nilai muncul untuk modus. Untuk 1; 2; 2; 3; 4; 7; 9 totalnya 28 untuk 7 nilai, jadi rata-ratanya 4; nilai keempat dari tujuh nilai terurut adalah 3, jadi mediannya 3; dan 2 muncul dua kali, jadi modusnya 2.

Yang mana sebaiknya saya pakai?

Pakai median kalau datanya punya pencilan atau ekor panjang, karena ia tidak peduli seberapa jauh nilai ekstrem berada — yang ia hitung hanya berapa banyak nilai di tiap sisinya. Pakai rata-rata kalau setiap nilai harus berbobot sama dan totalnya yang penting, misalnya nilai ujian rata-rata atau sebuah laju. Pakai modus kalau yang Anda cari adalah nilai yang paling umum dan bukan nilai tengah, seperti saat memutuskan ukuran mana yang perlu distok. Ketiganya sepakat juga merupakan petunjuk yang berguna: artinya datanya mendekati simetris dan pilihannya tidak banyak berpengaruh.

Apa artinya kalau tidak ada modus?

Artinya setiap nilai muncul dengan jumlah yang sama, sehingga tidak ada yang lebih sering daripada yang lain. Halaman ini mengatakannya alih-alih membiarkan barisnya kosong: frekuensi modus terbaca 1 dan banyaknya modus sama dengan jumlah data, sehingga 1; 2; 3 dilaporkan punya tiga modus. Itu bukan kesalahan — pada daftar pendek tanpa pengulangan itulah jawaban yang diharapkan, dan pada pengukuran kontinu itulah yang biasanya terjadi.

Bisakah sebuah kumpulan data punya lebih dari satu modus?

Bisa, dan itu umum. Kalau dua nilai berbagi frekuensi tertinggi, keduanya adalah modus dan kumpulan datanya disebut bimodal; panel melaporkan yang lebih kecil di antara keduanya dan menampilkan banyaknya modus di sebelahnya. Dua modus sering berarti dua kelompok tercampur tanpa sengaja — sekelompok nilai berukuran satu dan sekelompok berukuran lain — dan itu layak diperhatikan sebelum melaporkan satu ukuran pusat untuk seluruh daftar.

Apakah ketiga ukuran ini punya versi sampel dan versi populasi?

Tidak, dan halaman ini memang sengaja tidak menyediakan kotak pilihan untuk itu. Ketiga ukuran pusat ini membagi dengan banyaknya data; koreksi n − 1 adalah urusan ukuran sebaran, bukan urusan bagian tengah. Rata-rata tetaplah rata-rata, entah daftarnya sampel atau seluruh kelompoknya. Kalau Anda membutuhkan perbedaan sampel dan populasi, itu ada di halaman simpangan baku dan varian, yang memang punya pilihan itu.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — OpenStax, Rice University