Kalkulator Galat Baku

SE = s / √n s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ) s = √(p(1 − p)) × 100

SE

Galat baku — simpangan baku dari penduganya, dan hasil utama halaman ini. Ia menjawab pertanyaan tentang penduganya dan bukan tentang datanya: seberapa jauh sebuah rata-rata sampel biasanya berada dari rata-rata populasi seandainya pengambilan sampelnya diulang. Ia adalah angka tempat selang kepercayaan dibangun dan tempat statistik uji dibagi, dan itulah sebabnya ia layak dihitung sendiri

s

Simpangan baku sampel, dengan penyebut n − 1. Inilah asal galat baku pada mode rata-rata, dan ia dicetak pada barisnya sendiri supaya pembagiannya bisa diperiksa. Penyebut n − 1 dan bukan n itulah yang membuatnya menjadi estimasi tak berbias bagi sebaran populasinya — memakai n akan sedikit mengecilkan variabilitasnya, dan pengecilan itu paling besar justru pada sampel yang paling kecil

n

Banyaknya pengamatan dalam sampel — jumlah datanya, yang juga dicetak pada barisnya sendiri. Ia muncul di bawah tanda akar, dan itulah sebabnya galat baku menyusut dengan lambat: sepuluh kali data hanya membeli galat baku yang kira-kira tiga kali lebih kecil. Pada mode proporsi, angka ini berasal dari kolom ukuran sampel dan bukan dari hitungan atas sebuah daftar, karena sebuah persentase tidak membawa daftar apa pun bersamanya

x̄

Rata-rata sampelnya, dicetak supaya aritmetika simpangan bakunya punya pusat yang terlihat. Ia tidak berperan di dalam galat baku itu sendiri — galat baku adalah sifat sebarannya dan ukuran sampelnya, bukan sifat di mana datanya berada — dan itulah sebabnya sebuah kumpulan data bisa digeser dengan tetapan berapa pun dan galat bakunya tidak berubah

p

Proporsi sampelnya, sebagai pecahan di dalam rumus dan sebagai persentase pada panelnya. Pada mode proporsi ia menggantikan simpangan baku sepenuhnya: untuk pertanyaan ya/tidak, variabilitasnya adalah fungsi dari persentasenya, paling besar ketika pembagiannya rata dan menyusut menuju nol ketika persentasenya mendekati 0 atau 100. Perkalian dengan 100 mengembalikan hasilnya ke satuan poin persentase supaya bisa dibaca berdampingan dengan persentase asalnya

Pakai kalkulator ini ketika datanya sudah di tangan dan Anda ingin galat baku dari sebuah penduga — untuk membangun selang kepercayaan dengan tangan, untuk memeriksa angka pada sebuah laporan, atau untuk melihat berapa bagian dari lebar sebuah hasil yang berasal dari sebaran datanya dan berapa yang berasal dari ukuran sampelnya. Mencetak simpangan baku dan jumlah datanya berdampingan membuat pembagian tugas itu terlihat: ubah datanya dan baris simpangan bakunya bergerak, ubah hanya ukuran sampelnya dan baris galat bakunya bergerak sementara simpangan bakunya tetap di tempatnya. Kedua mode itu ada karena kedua penduga yang paling umum memerlukan masukan yang berbeda. Rata-rata memerlukan sampelnya, karena tidak ada yang bisa meramalkan seberapa tersebar pengukurannya; proporsi tidak, karena sebarannya mengikuti nilainya sendiri, dan itulah sebabnya survei bisa mengutip margin galat hanya dari ukuran sampelnya. Tidak ada dari kedua mode itu yang memeriksa apakah sampelnya sudah cukup besar agar penduganya kurang lebih normal. Itu bergantung pada seberapa miring distribusi asalnya, dan untuk mode proporsi ada aturan praktis yang lebih khusus tentang n·p dan n·(1 − p) yang tidak ditegakkan halaman ini.

1. Nilai bawaan: delapan angka dengan simpangan baku sekitar 2,14

   1. Jumlah datanya delapan. Rata-ratanya: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. Simpangan kuadrat terhadap 5 berjumlah 32, jadi varians sampelnya 32 / 7 = 4,5714
   3. Simpangan baku: √4,5714 = 2,1381
   4. Galat baku: 2,1381 / √8 = 2,1381 / 2,8284 = 0,7559

   Angka-angkanya tersebar di kedua sisi 5 tanpa ada yang jauh menyimpang, dan itulah yang menjadikannya nilai bawaan yang berguna: rata-ratanya bulat sementara simpangan bakunya tidak, sehingga kedua baris terakhir tidak mungkin tertukar satu sama lain. Membaca panelnya dari atas ke bawah adalah intinya — 2,1381 adalah fakta tentang datanya, dan 0,7559 adalah fakta tentang penduganya, dan satu-satunya hal di antara keduanya adalah pembagian dengan √8. Kolom ukuran sampel dan persentase duduk tanpa dipakai pada mode ini.

2. Sembilan angka yang dipilih supaya galat bakunya tepat 1

   1. Rata-rata: (3 × 4 + (−3) × 4 + 0) / 9 = 0
   2. Simpangan kuadrat: empat angka 9, empat angka 9 lagi, dan sebuah 0, berjumlah 72
   3. Varians sampel: 72 / 8 = 9, jadi simpangan bakunya 3
   4. Galat baku: 3 / √9 = 3 / 3 = 1

   Sembilan pengamatan cukup kecil sehingga penyebut n − 1 terlihat pengaruhnya: membagi dengan 9 alih-alih 8 akan memberi varians 8 dan simpangan baku 2,8284, dan galat bakunya keluar 0,9428 dan bukan 1. Itulah koreksinya menjalankan tugasnya — pada sampel kecil, sebaran yang teramati sedikit mengecilkan sebaran populasinya, dan membagi dengan angka satu lebih kecil daripada jumlah datanya mengoreksi hal itu. Pasangan n = 9 dan s = 3 adalah pasangan yang sama dengan yang dipakai halaman selang kepercayaan, dan selangnya keluar tepat ±2,306 karena nilai t pada 8 derajat kebebasan adalah 2,306.

3. Proporsi tidak memerlukan daftar data

   1. Proporsi sebagai pecahan: 60% = 0,6
   2. Simpangan baku dalam poin persentase: √(0,6 × 0,4) × 100 = 0,4899 × 100 = 48,9898
   3. Galat baku: 48,9898 / √100 = 48,9898 / 10 = 4,899
   4. Daftar datanya diabaikan sepenuhnya — baris jumlah data melaporkan kolom ukuran sampelnya sebagai gantinya

   Kolom datanya masih ada di layar dan masih berisi sebuah daftar, dan tidak ada bagian dari jawabannya yang memakainya: pada mode ini variasinya berasal dari persentasenya, dan ukuran sampelnya berasal dari kolomnya sendiri. Itulah sebabnya baris simpangan bakunya terbaca 48,99 — angka yang tampak asing untuk sebuah pertanyaan biner. Ia adalah simpangan baku dari peubah ya/tidak yang dikodekan sebagai 0 dan 100, dan satu-satunya gunanya di sini adalah untuk dibagi dengan √n. Struktur yang sama muncul di halaman ukuran sampel, tempat kasus terburuk p = 0,5 dipakai untuk merancang penelitian sebelum persentasenya diketahui.

4. Dua pengamatan, tempat penyebut n − 1 paling berperan

   1. Rata-rata: 5
   2. Simpangan kuadrat: 25 dan 25, berjumlah 50
   3. Varians sampel: 50 / 1 = 50, jadi simpangan bakunya √50 = 7,0711
   4. Galat baku: 7,0711 / √2 = 7,0711 / 1,4142 = 5

   Dengan dua pengamatan, simpangan bakunya hanyalah setengah jarak antara keduanya — penyebut n − 1 menyisakan satu derajat kebebasan, dan rumusnya menyusut menjadi sesuatu yang bisa dilihat alih-alih dihitung. Galat bakunya lalu menjadi simpangan baku dibagi √2, yaitu 5 di sini. Ini sampel terkecil yang diterima halaman ini pada mode rata-rata, dan sekali mencobanya layak untuk melihat seberapa lebar penduga yang berasal dari dua angka: galat bakunya keluar sebesar setengah rentang datanya.

Halaman ini melaporkan galat baku dari penduganya lalu berhenti sebelum mengubahnya menjadi selang atau uji. Batas itu disengaja: sebuah selang memerlukan nilai kritis, yang bergantung pada tingkat kepercayaan dan pada apakah sebarannya harus diestimasi dari sampelnya, sedangkan sebuah uji memerlukan statistik kedua sebagai pembanding. Keduanya ada di halaman sebelah, dan aritmetika di sini adalah masukan bagi keduanya dan bukan pengganti salah satunya. Mode rata-rata mengandaikan pengamatan saling bebas, dan andaian itu runtuh pada pengukuran berulang atas subjek yang sama, pada pasangan yang dipadankan, dan pada data berkelompok seperti siswa di dalam sekolah; pada ketiganya ukuran sampel efektifnya lebih kecil daripada jumlah datanya dan galat bakunya keluar terlalu kecil. Ia juga mengandaikan daftarnya memuat setiap pengamatan yang memang ingin Anda sertakan — galat baku dihitung dari apa pun yang diketik, dan menjatuhkan sebuah pencilan tanpa sengaja akan menyempitkannya. Mode proporsi membawa catatan tersendiri: rumusnya adalah hampiran sampel besar yang berperilaku buruk ketika hitungan keberhasilan atau kegagalannya kecil, sehingga persentase di dekat 0 atau 100 dari sampel yang sederhana lebih baik dilayani oleh selang eksak daripada oleh galat baku ini. Tidak ada dari kedua mode itu yang menilai apakah penduganya berbias, dan tidak ada galat baku yang bisa mendeteksi hal itu.

Apa bedanya simpangan baku dan galat baku?

Simpangan baku menggambarkan seberapa jauh nilai-nilai tunggal tersebar dari rata-ratanya; galat baku menggambarkan seberapa jauh sebuah rata-rata sampel tersebar dari rata-rata populasi. Yang kedua adalah yang pertama dibagi √n, dan pembagian itulah seluruh hubungannya — karena itulah keduanya dicetak. Simpangan baku adalah sifat datanya dan tidak berubah seiring Anda mengumpulkan lebih banyak, sedangkan galat baku terus menyusut seiring sampelnya bertambah. Pemeriksaan yang berguna pada panelnya: ubah angka-angkanya dan kedua barisnya bergerak; ubah hanya jumlah datanya dan simpangan bakunya tetap di tempatnya sementara galat bakunya turun.

Mengapa halaman ini membagi dengan n − 1 dan bukan n?

Karena rata-rata sampelnya sendiri dipakai sebagai pusat ketika mengukur sebarannya, dan rata-rata itu lebih dekat ke datanya daripada rata-rata populasi yang sebenarnya — sehingga rata-rata simpangan kuadrat yang naif secara sistematis sedikit terlalu kecil. Membagi dengan angka satu lebih kecil daripada jumlah datanya mengoreksi hal itu. Pengaruhnya paling besar pada sampel kecil: dengan dua pengamatan ia menggandakan variansnya, dan pada seratus pengamatan ia hanya penyesuaian 1%. Membagi dengan n bukan salah untuk menggambarkan sampel yang Anda punya; ia salah untuk mengestimasi sebaran populasi asalnya, dan itulah yang menjadi tugas galat baku.

Bagaimana menghitung galat baku sebuah proporsi tanpa data apa pun?

Proporsinya memasok variabilitasnya sendiri, jadi tidak ada daftar yang diperlukan — hanya ukuran sampel dan persentasenya. Kodetkan kedua hasilnya sebagai 0 dan 100, dan simpangan bakunya menjadi √(p(1 − p)) × 100, yang paling besar ketika pembagiannya rata dan menyusut menuju nol ketika persentasenya mendekati salah satu ujungnya. Untuk 60% dari 100 orang, itu √(0,6 × 0,4) × 100 = 48,9898, dan membaginya dengan √100 memberi galat baku 4,899 poin persentase. Ini pasangan masukan yang sama dengan yang dipakai halaman margin galat, tempat galat bakunya dikalikan dengan nilai kritis untuk menghasilkan angka plus-minus.

Apakah galat bakunya mengecil kalau saya menambah data?

Ya, tetapi hanya sebanding dengan akar ukuran sampelnya. Dari 100 pengamatan menjadi 400 pengamatan memangkas galat bakunya separuh; separuh berikutnya menelan 1.600 pengamatan. Itulah sebabnya galat baku adalah angka yang perlu diperhatikan ketika merancang penelitian, dan sebabnya perbaikan dari sampel yang sangat besar dibandingkan sampel yang besar saja mudah ditaksir terlalu tinggi. Baris simpangan bakunya sebaliknya tetap di tempatnya — data yang lebih banyak tidak membuat populasi asalnya kurang beragam, ia hanya membuat estimasi pusatnya lebih presisi.

Apa arti galat baku yang nol?

Entah bahwa setiap pengamatan di dalam sampelnya identik, atau bahwa proporsinya 0% atau 100% — pada kedua keadaan itu rumusnya tidak menemukan variasi apa pun untuk diolah dan mengembalikan nol. Dibaca secara literal, galat baku nol mengatakan penduganya eksak, dan itu klaim yang tidak bisa ditanggung datanya: sampel berisi empat bacaan yang identik adalah bukti bahwa sebarannya kecil, bukan bukti bahwa sebarannya nol. Halaman ini mengembalikan angka nolnya alih-alih sebuah galat, karena aritmetikanya benar dan alasannya terlihat pada baris-baris yang lain, tetapi galat baku yang tepat nol selayaknya diperlakukan sebagai tanda bahwa sampelnya terlalu kecil atau terlalu seragam untuk mengatakan apa pun tentang variabilitas.

Apakah ini sama dengan kalkulator teorema limit pusat?

Keduanya menghitung besaran yang sama dari masukan yang berbeda, dan mana yang Anda perlukan bergantung pada apa yang Anda punya. Halaman ini memakai sampelnya — daftar angka, atau sebuah persentase beserta ukurannya — dan itulah yang dipakai setelah datanya di tangan. Halaman teorema limit pusat memakai simpangan baku populasi dan ukuran sampel, nilai yang sudah ada sebelum apa pun dikumpulkan, dan itulah yang dipakai ketika merancang penelitian atau mencari tahu bagaimana galat bakunya merespons ukuran sampelnya. Keduanya berbeda tepat pada satu langkah estimasi di tengahnya, dan itulah sebabnya hasil keduanya sepakat setiap kali simpangan baku sampelnya kebetulan sama dengan nilai populasinya.

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the sample standard deviation and the n − 1 denominator the standard error is built from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the sampling distribution of a statistic, whose spread is what the standard error measures) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (the sample mean printed alongside the spread, and why the two are reported together) — National Institute of Standards and Technology (NIST)