Kalkulator Teorema Limit Pusat

E[X̄] = μ Var(X̄) = σ² / n SE = σ / √n

μ

Rata-rata populasi — pusat distribusi tempat sampel diambil. Nilai ini kembali keluar tanpa berubah sebagai rata-rata dari rata-rata sampel, yaitu hasil pertama dari ketiganya dan satu-satunya yang berlaku pada setiap ukuran sampel

σ

Simpangan baku populasi. Satuannya adalah satuan datanya, dan galat baku juga, jadi σ dan galat baku bisa dibandingkan langsung — galat baku 2,5 di sebelah σ 15 adalah pernyataan tentang ukuran sampel, bukan tentang datanya

n

Banyaknya pengamatan dalam satu sampel — ukuran setiap pengambilan, bukan banyaknya pengambilan. Ia muncul sebagai √n di bawah satu pembagian dan sebagai n di bawah pembagian yang lain, dan perbedaan itulah pesan praktisnya: varians turun sebanding dengan n, sedangkan galat baku hanya turun sebanding akar kuadratnya

X̄

Rata-rata sampel, diperlakukan sebagai besaran acak dan bukan sebagai sebuah angka. Satu sampel memberi satu X̄; mengulang pengambilan sampel memberi sebaran nilai X̄, dan ketiga keluaran di halaman ini menggambarkan sebaran itu, bukan sampel mana pun

SE

Galat baku — simpangan baku dari rata-rata sampel, dan hasil utama halaman ini. Dari angka inilah selang kepercayaan disusun dan olehnya statistik uji dibagi, sehingga angkanya lebih layak dibaca daripada varians yang merupakan kuadratnya

Pakai kalkulator ini ketika Anda perlu tahu seberapa jauh sebuah rata-rata sampel bisa bergeser dari sampel ke sampel — sebelum merancang penelitian, ketika membaca galat baku pada sebuah laporan dan ingin tahu dari mana angka itu datang, atau ketika ingin memastikan intuisi Anda tentang ukuran sampel memang benar. Intuisi yang biasanya perlu dikoreksi adalah anggapan bahwa sampel yang lebih besar memberi perbaikan yang sebanding: tidak, karena galat baku turun sebanding akar kuadrat. Dari 100 pengamatan menjadi 400 pengamatan, sebaran penduganya hanya terpangkas separuh, dan separuh berikutnya menuntut 1.600 pengamatan. Dua hasil di bagian atas berlaku untuk populasi berbentuk apa pun, jadi keduanya bisa dipakai sebelum Anda tahu apa-apa tentang distribusinya. Yang tidak bisa diberitahu halaman ini adalah apakah n yang Anda pakai sudah cukup besar agar rata-rata sampel mendekati normal — itu bergantung pada seberapa miring distribusi asalnya, dan itu penilaian, bukan perhitungan.

1. Nilai bawaan: populasi dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15, disampel 36 sekaligus

   1. Varians dari rata-rata sampel: σ² / n = 225 / 36 = 6,25
   2. Galat baku: √6,25 = 2,5
   3. Rata-rata dari rata-rata sampel: 100, yaitu rata-rata populasi yang tidak berubah
   4. Bandingkan dengan σ = 15: mengambil 36 pengamatan sekaligus memampatkan sebarannya dengan faktor 6, yaitu √36

   Baik 15 maupun 36 dipilih supaya aritmetikanya bisa dikerjakan di kepala — 225 dibagi 36 adalah 6,25, dan akarnya bulat, 2,5. Baris ketiga layak dilihat dua kali justru karena tampak seperti tidak terjadi apa-apa: rata-rata dari seluruh rata-rata sampel sama dengan rata-rata populasi, pada ukuran sampel berapa pun, dan itu sifat nilai harapan, bukan hampiran. Melihat 100 = 100 adalah inti baris itu, dan itulah sebabnya baris tersebut tetap dicetak meski hanya mengulang angka yang Anda isi.

2. Populasi yang sama, disampel 9 sekaligus, bukan 36

   1. Ukuran sampelnya seperempat, jadi variansnya empat kali lebih besar: 225 / 9 = 25
   2. Galat baku: √25 = 5
   3. Rata-ratanya tetap 100 — mengecilkan sampel mengubah sebarannya dan tidak mengubah apa pun yang lain
   4. Dibanding contoh pertama, n turun menjadi seperempat dan galat baku hanya berlipat dua

   Pasangan ini adalah hukum akar kuadrat dalam bentuk yang konkret: bagi sampel dengan empat dan galat baku hanya berlipat dua, karena yang berskala dengan n adalah varians. Dibaca dari arah sebaliknya, inilah alasan presisi itu mahal — sampel empat kali lipat hanya membeli perbaikan dua kali, dan perbaikan dua kali berikutnya menuntut sampel enam belas kali lipat dari semula. Setiap keputusan tentang ukuran sampel adalah pertukaran ini, dan tabel di bawah memperlihatkan pola yang sama pada rentang n yang lebih lebar.

3. Mengambil satu pengamatan sekaligus tidak mengubah sebarannya

   1. Dengan n = 1, rata-rata sampel adalah pengamatan tunggal itu sendiri, jadi distribusi sampelnya adalah populasinya
   2. Varians: 225 / 1 = 225, yaitu σ²
   3. Galat baku: √225 = 15, yaitu σ
   4. Rata-rata dari rata-rata sampel tetap 100

   Ujung n = 1 layak dilihat karena di situlah seluruh gagasannya berpangkal: sampel berisi satu pengamatan adalah satu pengambilan dari populasi, jadi belum ada yang dirata-ratakan dan galat bakunya adalah simpangan baku populasi itu sendiri. Setiap ukuran sampel yang lain adalah titik awal ini dibagi √n. Halaman ini menerima n = 1 alih-alih menuntut paling sedikit dua, karena masukan itu sah dan mengajar — distribusi sampelnya memang belum dipersempit oleh besarnya sampel.

Dua identitas di bagian atas rumus berlaku untuk populasi apa pun dan n berapa pun, tetapi keduanya hanya menggambarkan dua momen pertama dari distribusi sampel. Klaim ketiga teorema itu — hampiran normal — justru yang menopang sebagian besar pemakaian praktisnya, dan itulah bagian yang tidak bisa diperiksa halaman ini, karena seberapa besar n harus bergantung pada seberapa miring distribusi asalnya: untuk populasi yang kurang lebih simetris, 10 sering sudah cukup, sedangkan distribusi berekor panjang bisa menuntut ratusan pengamatan sebelum rata-rata sampelnya tenang. Perlakukan ambang 30 yang sering diulang sebagai aturan praktis, bukan sebagai hasil. Rumusnya juga mengandaikan pengamatan saling bebas, dan pengambilan tanpa pengembalian dari populasi kecil melanggar andaian itu — halaman ukuran sampel menerapkan koreksinya dan akan meminta orang yang lebih sedikit daripada yang disiratkan halaman ini. Tidak ada apa pun di sini yang diestimasi dari data: kedua masukan adalah nilai populasi, dan kalau Anda hanya punya simpangan baku sampel, halaman selang kepercayaanlah yang tahu bedanya.

Apa bedanya simpangan baku dan galat baku?

Simpangan baku menggambarkan seberapa jauh pengamatan tunggal tersebar dari rata-ratanya; galat baku menggambarkan seberapa jauh sebuah rata-rata sampel tersebar dari rata-rata populasi. Yang kedua adalah yang pertama dibagi √n, dan pembagian itu adalah seluruh isi perbedaannya: populasi dengan σ = 15 tetap selebar itu entah Anda menyampel 9 atau 900 anggotanya, tetapi rata-rata dari 900 pengamatan jatuh tiga kali lebih dekat ke nilai sebenarnya daripada rata-rata dari 100 pengamatan. Karena itulah σ memakai satuan datanya sendiri sementara galat baku menyusut seiring penelitiannya membesar — dan karena itulah galat baku adalah angka yang masuk ke selang kepercayaan atau ke statistik uji.

Apakah rata-rata dari rata-rata sampel berubah kalau sampelnya saya perbesar?

Tidak, dan itulah hasil yang paling sulit dipercaya orang. Rata-rata dari distribusi sampel sama dengan rata-rata populasi pada setiap ukuran sampel, dari n = 1 ke atas, karena perata-rataan tidak mendorong dugaan ke arah mana pun — ia hanya membuat dugaan itu lebih stabil. Sebaran rata-rata sampel menjadi lebih sempit dan lebih tinggi di sekitar pusat yang sama. Ukuran sampel membeli presisi, tidak pernah membeli ketepatan: ia mengecilkan sebaran dugaan tanpa menggeser pusatnya. Metode pengambilan sampel yang berbias, sebaliknya, menggeser pusatnya dan tidak ada ukuran sampel yang bisa mengembalikannya, jadi kedua jenis kegagalan itu memang layak dibedakan.

Seberapa besar sampel saya agar teorema limit pusat berlaku?

Tergantung bentuk populasinya, dan tidak ada satu ambang yang berlaku untuk semuanya. Populasi yang simetris sudah berperilaku baik pada n = 10, sedangkan populasi yang sangat miring bisa menuntut beberapa ratus pengamatan sebelum rata-rata sampelnya mendekati normal. Aturan praktis 30 yang akrab berasal dari studi simulasi atas data yang miringnya sedang dan merupakan nilai bawaan yang wajar, bukan teorema. Yang diberikan halaman ini tanpa andaian apa pun tentang bentuk adalah pusat dan lebarnya — rata-rata dan galat baku bersifat eksak pada n berapa pun. Hanya hampiran normalnya yang menuntut sampel besar, dan hanya selang kepercayaan serta nilai p yang dibangun di atasnya yang mewarisi tuntutan itu.

Mengapa varians dari rata-rata sampel jauh lebih kecil daripada varians datanya?

Karena perata-rataan saling menghapus galat bebas dari masing-masing pengamatan, dan penghapusan itu berjalan sebanding dengan ukuran sampel — sementara galat baku, yang biasanya dipakai orang untuk membandingkan, berjalan sebanding akar kuadratnya. Dengan σ = 15 dan n = 36, variansnya turun dari 225 menjadi 6,25, yaitu faktor 36, sedangkan simpangan bakunya turun dari 15 menjadi 2,5, yaitu faktor 6 saja. Kedua baris dicetak karena alasan itu. Variansnya adalah bentuk baku pernyataan teorema ini, dan galat baku adalah bentuk yang benar-benar dipakai, sementara jarak antara kedua faktor itu adalah akar kuadratnya.

Apakah ini sama dengan kalkulator galat baku?

Keduanya menghitung besaran yang sama dari masukan yang berbeda, dan mana yang Anda perlukan bergantung pada apa yang Anda punya. Halaman ini memakai simpangan baku populasi dan ukuran sampel — nilai yang sudah ada sebelum data dikumpulkan — sehingga cocok untuk merencanakan penelitian atau memeriksa intuisi tentang bagaimana ukuran sampel menentukan presisi. Kalkulator galat baku memakai sampelnya sendiri dan menghitung simpangan baku dari sana, jadi itulah yang dipakai setelah data terkumpul dan nilai populasinya tidak diketahui. Keduanya berbeda tepat pada satu langkah estimasi di tengahnya, dan halaman selang kepercayaanlah tempat perbedaan itu berakibat.

• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a sample statistic as a quantity with its own distribution, which is the object this page describes) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the curve the sampling distribution approaches as the sample grows, and the table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: sample averages settling towards the population mean as the sample grows, which is the behaviour the mean of sample means states exactly) — OpenStax (Rice University)