Kalkulator Selang Kepercayaan

rata-rata: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n proporsi: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

Rata-rata sampel — angka yang Anda ukur, dalam satuan apa pun yang dipakai datanya. Selangnya dibangun mengelilinginya, jadi seluruh rentangnya ikut bergeser ketika angka ini bergeser

s

Simpangan baku sampel, yaitu sebaran pengamatan di sekitar rata-ratanya sendiri. Ia ditulis s dan bukan σ karena yang Anda punya hanyalah sebuah sampel; membaginya dengan akar ukuran sampel itulah yang mengubahnya menjadi galat baku

n

Banyaknya pengamatan dalam sampel, sekurang-kurangnya 2. Ia masuk ke perhitungan dua kali: di dalam galat baku, dan sekali lagi lewat derajat kebebasan kuantil t, yaitu n − 1

t(α/2, n − 1)

Nilai kritis untuk rata-rata: titik pada distribusi t berderajat kebebasan n − 1 yang menyisakan separuh α di setiap ekornya. Nilainya selalu sedikit lebih besar daripada nilai kritis normal dan jauh lebih besar pada sampel kecil; itulah cara distribusi t membayar kenyataan bahwa s diestimasi dan bukan diketahui

p̂

Proporsi sampel, dimasukkan sebagai persentase. Seluruh perhitungan proporsinya tetap dalam satuan poin persentase, jadi batas bawah, batas atas, margin galat, dan galat bakunya semuanya berada pada skala yang sama dengan angka yang Anda ketik

z(α/2)

Nilai kritis untuk proporsi: 1,9600 pada tingkat kepercayaan 95%, dan nilainya sama pada setiap ukuran sampel, karena proporsi dinilai terhadap distribusi normal dan bukan terhadap distribusi t. Ia muncul dua kali pada baris proporsi, sekali di luar akar dan sekali di dalam lewat p̂

Pakai kalkulator ini ketika Anda punya sebuah sampel dan ingin menyatakan seberapa presisi pendugaannya — rata-rata dari sekumpulan pengukuran, atau sebuah persentase dari survei. Inilah cara yang jujur untuk melaporkan satu angka: rata-rata 50 dari 100 pengamatan adalah klaim yang berbeda dari rata-rata 50 dari 5 pengamatan, dan selangnya adalah perbedaan itu, karena ukuran sampelnya berada di penyebut galat baku. Dua pengaturan menentukan sisanya. Pilih cabang rata-rata ketika besarannya adalah hasil pengukuran — panjang, waktu, skor — dan cabang proporsi ketika besarannya adalah hitungan orang dari sebuah total, yang dimasukkan sebagai persentase. Setelah itu pilih tingkat kepercayaannya: 95% adalah kebiasaan yang lazim, dan ketiga tingkat yang tersedia mencakup hampir semua angka yang diterbitkan. Perhatikan juga apa yang tidak dilakukan selang ini — ia tidak mengatakan di mana nilai sebenarnya berada, dan tidak mengatakan berapa bagian pengamatan mendatang yang akan jatuh di dalamnya. Ia adalah pernyataan tentang prosedur pendugaan, bukan tentang datanya.

1. Rata-rata dari sampel berisi 100 pengukuran

   1. Galat baku: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Derajat kebebasan: n − 1 = 99, yang memberi nilai kritis 1,9842 pada tingkat kepercayaan 95%
   3. Margin galat: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Batas-batasnya: 50 − 2,3811 = 47,6189 dan 50 + 2,3811 = 52,3811

   Nilai kritisnya adalah angka yang layak dicermati di sini: 1,9842 dan bukan 1,96 yang akrab. Selisihnya adalah yang dibebankan distribusi t karena sebarannya diestimasi dari 100 pengamatan yang sama, dan beban itu menyusut seiring sampelnya membesar — pada n = 1.000 hampir tidak tersisa. Perhatikan juga bahwa kolom proporsi masih berisi 60 dan tidak melakukan apa pun: kedua kelompok masukan memang selalu tampil, dan pilihan di bagian atas yang menentukan kelompok mana yang dipakai rumusnya.

2. Proporsi dari jajak pendapat atas 1.000 orang

   1. Proporsi sampel 50% sama dengan 0,5 dalam bentuk desimal, dan 1 − p̂ juga 0,5
   2. Galat baku: √( 0,5 × 0,5 / 1.000 ) = 0,015811, yaitu 1,5811 poin persentase
   3. Nilai kritis: 1,96 pada tingkat kepercayaan 95%, sama pada setiap ukuran sampel
   4. Margin galat: 1,96 × 1,5811 = 3,099 poin persentase, sehingga batasnya 46,901% dan 53,099%

   Setiap angka pada contoh ini berada dalam poin persentase, bukan dalam bentuk proporsi: galat bakunya 1,58 poin dan bukan 0,0158. Itulah konvensi skala yang dipakai halaman ini untuk proporsi, dan itulah sebabnya galat baku di sini tampak besar di sebelah galat baku contoh pertama — yang diukurnya memang hal yang berbeda, sebuah bagian dan bukan sebuah hasil pengukuran. Perhitungan yang sama juga menjadi asal klaim yang akrab bahwa jajak pendapat atas sekitar seribu orang membawa margin galat kira-kira tiga poin.

3. Seratus pengamatan yang sama dilaporkan pada tingkat kepercayaan 99%

   1. Galat bakunya tidak berubah, 12 / √100 = 1,2, karena tidak ada yang berubah pada sampelnya
   2. Hanya nilai kritisnya yang bergerak: 2,6264 menggantikan 1,9842
   3. Margin galat: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Batasnya: 50 ± 3,1517, jadi 46,8483 sampai 53,1517

   Membandingkan contoh ini dengan yang pertama memisahkan dengan tepat apa yang dibeli oleh tingkat kepercayaan: data yang sama, galat baku yang sama, dan selang yang 32% lebih lebar. Tidak ada yang dipelajari dengan menaikkan tingkatnya — informasi di dalam sampelnya tidak berubah, hanya klaim tentangnya yang berubah. Karena itulah 95% menjadi kebiasaan, dan karena itulah mengutip selang 99% tanpa menyebut tingkatnya menyesatkan, bukan sekadar lebih berhati-hati.

Kedua cabang mengandaikan pengamatan saling bebas. Sampel berisi 500 bacaan dari alat yang sama, atau 500 siswa dari 20 kelas, membawa informasi lebih sedikit daripada yang dipercaya oleh aritmetikanya, dan selangnya keluar lebih sempit daripada yang seharusnya. Keduanya juga mengandaikan penduganya kurang lebih simetris terhadap nilai sebenarnya: cabang rata-rata bersandar pada sampel yang mendekati normal, atau pada n yang cukup besar sehingga distribusi t memaafkan, sedangkan cabang proporsi adalah yang lebih rapuh di antara keduanya — di dekat 0% atau 100% rumusnya memang bukan rumus yang tepat, dan itulah sebabnya halaman ini menolak kedua nilai itu alih-alih mengembalikan selang sempit yang terdengar yakin di sekitar proporsi yang tidak bisa diestimasi dengan cara itu. Populasi terbatas tidak dikoreksi di sini. Kalau sampelnya mencakup bagian besar dari populasi yang kecil, halaman ukuran sampel menerapkan koreksinya dan akan meminta orang yang lebih sedikit daripada yang disiratkan halaman ini.

Apa arti selang kepercayaan sebenarnya?

Ia adalah rentang yang dibangun oleh prosedur yang menangkap nilai sebenarnya pada 95% sampel, pada pengaturan 95% — bukan peluang 95% bahwa rentang tertentu ini memuatnya. Perbedaannya penting karena nilai sebenarnya itu tetap dan tidak diketahui: ia ada di dalam batas yang baru Anda hitung atau di luarnya, dan tidak ada peluang yang menempel pada kenyataan itu. Yang digambarkan oleh angka itu adalah keandalan metodenya. Dalam praktiknya, pembacaan yang dipakai orang adalah bahwa nilai yang dekat dengan tengah selang lebih masuk akal daripada nilai yang dekat dengan ujungnya, dan bahwa nilai di luar selang agak bersitegang dengan datanya — dan itulah jembatan menuju uji hipotesis di halaman nilai p.

Mengapa rata-rata memakai t dan proporsi memakai z?

Karena pada rata-rata Anda mengestimasi sebarannya sekaligus pusatnya, sedangkan pada proporsi tidak. Galat baku sebuah rata-rata adalah s / √n, dan s itu sendiri dihitung dari sampel yang sama, jadi selangnya harus mengakomodasi ketidakpastian tambahan tersebut — persis itulah yang dilakukan distribusi t, dan itulah sebabnya nilai kritisnya 1,9842 pada n = 100 dan bukan 1,96. Proporsi tidak punya estimasi kedua semacam itu: sebaran penduganya mengikuti proporsinya sendiri, lewat p̂(1 − p̂), sehingga distribusi normal berlaku pada setiap ukuran sampel. Kedua kelompok masukan selalu terlihat di layar; pilihan di bagian atas yang menentukan kelompok mana yang dibaca oleh perhitungannya.

Apa bedanya margin galat dengan galat baku?

Galat baku adalah satu satuan ketidakpastian, sedangkan margin galat adalah seberapa banyak satuan yang dijangkau selangnya. Margin galat adalah galat baku dikalikan nilai kritis, jadi pada tingkat kepercayaan 95% dengan sampel besar nilainya sekitar dua kali galat baku (1,96 kali), dan pada 99% sekitar dua setengah kali (2,5758). Kedua barisnya dicetak supaya struktur dua langkah itu terlihat: kalau Anda ingin selang yang lebih sempit, baris galat bakulah yang harus diserang, karena hanya baris itu yang merespons penambahan data. Nilai kritis hanya bergerak ketika tingkat kepercayaannya Anda ubah.

Bisakah selangnya jatuh di bawah 0% atau di atas 100%?

Bisa, dan halaman ini akan mencetaknya alih-alih memotongnya diam-diam. Pada 50% dengan sampel berisi 2 pengamatan, batasnya adalah −19,3% dan 119,3%, dan itu bukan kutu: dengan dua pengamatan memang hampir tidak ada informasi tentang proporsinya, dan selang yang mengatakannya lebih jujur daripada selang yang dipangkas ke rentang yang secara logis bisa ditempati proporsi. Bacalah sebagai "sampel ini belum bisa menduga apa pun di sini" lalu kumpulkan lebih banyak data. Yang memang ditolak halaman ini adalah proporsi yang dimasukkan tepat 0% atau 100%, karena pada kedua titik itu rumusnya membagi dengan sebaran selebar nol dan akan mengembalikan selang selebar nol — sebuah klaim kepastian yang tidak bisa ditanggung metodenya.

Di mana tabel nilai kritisnya?

Tidak ada di halaman ini, dan itu disengaja. Semua yang biasanya dipakai orang dari tabel nilai kritis sudah dikerjakan di sini: Anda memilih tingkatnya, dan satu nilai yang disiratkan tingkat itu dicetak pada barisnya sendiri. Tabel juga harus memilih satu tingkat kepercayaan agar bisa dibangun, sehingga pembaca yang beralih ke 99% akan melihat tabel yang bertentangan dengan panel di atasnya — persis kegagalan yang membuat sebuah halaman bertentangan dengan dirinya sendiri. Distribusi t punya masalah tambahan, karena nilai kritisnya bergantung pada derajat kebebasan selain pada tingkatnya, dan itu berarti sebuah kisi dan bukan sebuah tabel. Alat nilai kritis khusus, yang menerima tingkat dan derajat kebebasan sebagai masukan, adalah tempat untuk pencarian itu.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that lets a sample proportion stand in for the population proportion) — OpenStax (Rice University)