Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Luas Tembereng

Rentang: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Rentang: 0 ° – 360 °

Hasil

7,1350 cm²

Luas

Tali busur
7,0711 cm
Panjang busur
7,8540 cm
Tinggi tembereng
1,4645 cm

Kalkulator luas tembereng ini menerima jari-jari sebuah lingkaran dan sudut pusatnya, lalu mengembalikan luas daerah antara tali busur yang dibentuk keduanya dan busur di atasnya, beserta tali busurnya, panjang busurnya, dan tinggi daerah itu. Tembereng adalah apa yang Anda dapat kalau sebuah juring — potongan kue yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur — dipotong segitiga yang dibentuk kedua jari-jari dan tali busurnya. Yang tersisa adalah kepingan berbentuk bulan sabit di antara garis lurus dan lengkungannya, dan itulah bentuk sepotong apel, jendela lengkung, penampang pipa yang terisi sebagian, atau daerah yang dipotong sebuah tali busur dari lahan bundar. Aritmetikanya hanya satu pengurangan setelah kedua bagiannya diketahui: luas juringnya adalah pecahan lingkaran, dan luas segitiganya adalah setengah kuadrat jari-jari dikali sinus sudutnya. Kurangkan yang satu dari yang lain. Pengurangan itu perlu dipahami dan bukan sekadar diterapkan, karena di situlah halaman ini berhenti bisa memberi tahu Anda jawaban mana yang sebenarnya Anda maksud. Sebuah tali busur membagi lingkaran menjadi dua daerah — satu kecil dan satu besar — dan jari-jari serta sudut yang sama menggambarkan keduanya, tergantung sisi tali busur mana yang Anda maksud. Di bawah setengah lingkaran tidak ada keraguan: yang keluar adalah daerah yang lebih kecil. Di atasnya, rumusnya diam-diam menyeberang ke daerah yang lain, dan itu bukan cacat melainkan sifat pengurangan yang memakai sinus. Sudut 180 derajat adalah batasnya, dan sekaligus baris yang paling mudah dipahami: di situ segitiganya tidak punya luas sama sekali, karena kedua jari-jarinya tergeletak rata di atas tali busurnya, sehingga temberengnya tidak lain adalah setengah lingkaran itu sendiri — luasnya 39,2699 cm² untuk jari-jari 5 cm, yaitu angka yang sama yang dicetak halaman juring untuk setengah lingkarannya. Sudut 270 derajat adalah baris yang paling perlu dibaca hati-hati: sinusnya negatif, jadi mengurangkan segitiganya justru menambahkan 12,5, dan halaman ini mengembalikan 71,4049 cm² — daerah yang lebih besar dari dua daerah yang dipotong tali busur itu, bukan yang lebih kecil. Tali busurnya 7,0711 cm, sama dengan baris 90 derajat, karena sinus 135 derajat sama dengan sinus 45 derajat: dua sudut berbeda, satu tali busur, dan luas temberengnya sepuluh kali lipat. Karena itu tidak ada satu pun jawaban di halaman ini yang diberi label tembereng kecil atau tembereng besar; dari jari-jari dan sudut saja tidak ada cara mengetahui daerah mana yang Anda maksud, jadi halaman ini menghitung satu daerah dan menyerahkan pembacaannya kepada Anda. Tinggi tembereng adalah keluaran yang paling praktis kalau sudutnya justru tidak diketahui: ia mengukur seberapa jauh busurnya menggembung di atas titik tengah tali busurnya, yaitu kedalaman kepingan itu, dan itulah besaran yang benar-benar bisa Anda ukur dengan penggaris yang diletakkan melintang di sisi datarnya lalu diturunkan sampai titik terdalam lengkungannya. Tingginya berjalan dari 0 pada sudut nol sampai diameter penuh pada satu putaran penuh, dan itulah cara yang lazim dipakai untuk menyebut isi pipa yang terisi sebagian. Perlu ditegaskan, halaman ini tidak bekerja mundur dari tinggi ke sudut: tingginya adalah keluaran, bukan masukan.

Tembereng umum, dari serpihan tipis sampai lingkaran penuh

Jari-jari (cm)Sudut pusat (°)Luas (cm²)Tali busur (cm)Panjang busur (cm)Tinggi tembereng (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

Delapan tembereng, dan dua kolom pertama adalah kedua masukannya. Bacalah dua baris pertama berpasangan untuk melihat betapa cepat sebuah tembereng menyusut: baris 60 derajat punya dua pertiga sudut baris 90 derajat tetapi kurang dari sepertiga luasnya, karena pada sudut kecil segitiganya memakan hampir seluruh potongan lingkarannya. Baris ketiga adalah 180 derajat, ketika segitiganya tidak punya luas sama sekali dan temberengnya tidak lain adalah setengah lingkarannya — 39,2699, tepat seperti yang dicetak halaman juring untuk setengah lingkarannya. Baris kelima adalah baris yang perlu dibaca dengan saksama: pada 270 derajat sinusnya negatif, pengurangannya berubah menjadi penjumlahan, dan halaman ini mengembalikan 71,4049 — daerah yang lebih besar dari dua daerah yang dipotong tali busur itu, bukan yang lebih kecil. Tali busurnya 7,0711, sama dengan baris 90 derajat, karena sinus 135 derajat dan sinus 45 derajat sama besar: dua sudut, satu tali busur, dan temberengnya sepuluh kali lebih luas. Baris terakhir adalah satu putaran penuh, ketika tali busurnya sudah menyusut menjadi 0 dan temberengnya tumbuh menjadi seluruh lingkaran, dengan tinggi 10 — diameter penuh, dan itu gembungan terjauh yang bisa dicapai sebuah busur. Baris sebelumnya adalah sudut nol, ketika temberengnya mengempis menjadi tidak ada sama sekali. Setiap angka di sini dihitung ulang dari jari-jari dan sudutnya ketika halaman dibangun, dalam sentimeter dan derajat, dan keempat angka desimalnya adalah keempat angka desimal yang sama yang dipakai panel hasil. Tabel ini memakai titik sebagai pemisah desimal, sesuai standar sistem.

Rumus

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Jari-jari
Jarak dari pusat ke busurnya, dalam sentimeter. Setengah dari alas segitiga yang dipotong itu, dan satu-satunya angka yang mengatakan seberapa besar lingkarannya
Sudut pusat
Sudut yang direntangkan tali busur di pusat, dalam derajat. Bersama jari-jari ia menentukan temberengnya: ia menetapkan berapa bagian lingkaran yang diambil juringnya sekaligus setinggi apa segitiga yang dibuang itu
Luas
Permukaan temberengnya, dalam sentimeter persegi — luas juringnya dikurangi luas segitiganya. Di bawah 180 derajat ini adalah daerah yang lebih kecil dari dua daerah yang dibuat tali busur; di atasnya pengurangannya berubah menjadi penjumlahan dan Anda mendapat daerah yang lebih besar
Tali busur
Garis lurus yang menutup temberengnya, dalam sentimeter, dan sekaligus alas segitiga yang dibuang itu. Panjangnya bertambah sampai menjadi diameter pada 180 derajat lalu menyusut kembali, dan mencapai nol pada satu putaran penuh
Panjang busur
Jarak menelusuri tepi lengkungnya, dalam sentimeter — sama dengan busur juringnya, karena memotong segitiganya tidak mengubah lengkungannya. Ia adalah batas luar temberengnya dan terus bertambah mengikuti sudutnya
Tinggi tembereng
Seberapa jauh busurnya menggembung di atas titik tengah tali busurnya, dalam sentimeter. Inilah kedalaman temberengnya, dan besaran yang akan Anda ukur dengan penggaris yang diletakkan melintang di sisi datarnya — nilainya berjalan dari 0 pada sudut nol sampai diameter penuh pada satu putaran penuh
½r² sin θ
Luas segitiga yang dibentuk kedua jari-jari dan tali busurnya. Nilainya memuncak pada 90 derajat lalu menyusut sampai habis pada 180, dan itulah sebabnya setengah lingkaran tidak punya segitiga untuk dikurangkan
Empat angka desimal
Seberapa lebar setiap bacaan dituliskan. Keempatnya membawa π atau sinus sehingga hampir tidak pernah berhenti, dan luasnya adalah selisih dua bilangan semacam itu, yang berarti angka terakhirnya paling tidak bisa dipercaya di halaman ini

Halaman ini untuk daerah yang dipotong sebuah garis lurus dari lingkaran, dan ternyata bentuk itu lebih sering dijumpai daripada potongan yang menjadi asalnya. Jendela lengkung atau pintu dengan bagian atas melengkung adalah tembereng yang duduk di atas persegi panjang; begitu juga penampang terowongan yang atapnya busur dan dindingnya lurus. Pipa dan tangki yang terisi sebagian adalah kasus klasiknya: luas permukaan basah sebuah silinder mendatar adalah tembereng, dan itulah sebabnya volume cairan di dalam drum adalah soal tembereng dan bukan soal lingkaran. Di atas peta, daerah antara garis batas tanah yang lurus dan jalan atau sungai yang melengkung adalah tembereng, begitu juga sisa lahan bundar di luar pagar yang lurus. Di dunia manufaktur, potongan tali busur yang digergaji melintang batang bulat atau pelat bundar meninggalkan tembereng sebagai sisa, dan rumus tingginya adalah yang perlu diraih ketika yang bisa Anda ukur justru seberapa dalam potongannya dan bukan sudutnya — penggaris yang diletakkan melintang di sisi datar lalu diturunkan ke titik terdalam lengkungannya langsung memberi tingginya, dan sudutnya bisa dihitung kembali dari situ. Dan ia adalah bentuk gigitan: bekas gigitan pada biskuit bundar adalah tembereng, dengan tali busurnya melintang di antara bekas gigi dan tingginya adalah kedalaman gigitannya.

Contoh hitungan

  1. Tembereng seperempat lingkaran

    1. Luas juring: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
    2. Luas segitiga: ½ × 5² × sin(90°) = 12,5
    3. Luas tembereng: 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, yang dibulatkan menjadi 7,135
    4. Tali busur: 2 × 5 × sin(45°) = 7,0711
    5. Panjang busur: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
    6. Tinggi: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

    Masukan yang dimuat halaman ini, dan contoh paling jelas tentang apa yang dilakukan pengurangan itu. Juringnya 19,6349 dan segitiganya mengambil 12,5 darinya, sehingga tersisa 7,135 — sepertiga dari yang tadinya ditutupi potongan itu. Tingginya membuat bentuknya jadi konkret: busurnya hanya naik 1,4645 sentimeter di atas tali busurnya, jadi ini kepingan yang cukup pipih dan bukan potongan lingkaran yang gemuk.

  2. Tembereng tipis dari sudut 60 derajat

    1. Luas juring: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
    2. Luas segitiga: ½ × 5² × sin(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
    3. Luas tembereng: 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, yang dibulatkan menjadi 2,2647
    4. Tali busur: 2 × 5 × sin(30°) = 5
    5. Panjang busur: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
    6. Tinggi: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

    Lingkaran yang sama dengan baris di atasnya tetapi sudutnya lebih sempit, dan temberengnya jauh lebih kecil daripada yang disiratkan perubahan sudutnya — 2,2647 berbanding 7,135 untuk dua pertiga sudutnya. Sebabnya adalah segitiganya memakan hampir seluruh potongan itu: juringnya 13,0899 dan segitiganya mengambil 10,8253 darinya. Pada sudut kecil temberengnya adalah serpihan tipis, dan luasnya menyusut jauh lebih cepat daripada sudutnya.

  3. Setengah lingkaran

    1. Luas juring: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
    2. Luas segitiga: ½ × 5² × sin(180°) = 0
    3. Luas tembereng: 39,2699 − 0 = 39,2699
    4. Tali busur: 2 × 5 × sin(90°) = 10
    5. Panjang busur: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
    6. Tinggi: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

    Sudut ketika segitiganya lenyap. Pada 180 derajat tali busurnya menjadi diameter dan kedua jari-jarinya tergeletak rata di atasnya, sehingga segitiganya tidak punya luas untuk dikurangkan dan temberengnya adalah seluruh setengah lingkaran itu — 39,2699, tepat seperti yang dicetak halaman juring untuk setengah lingkarannya. Tingginya 5, yaitu jari-jarinya, dan itulah gembungan terbesar yang bisa dicapai tembereng lingkaran ini.

  4. Sepertiga lingkaran

    1. Luas juring: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
    2. Luas segitiga: ½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
    3. Luas tembereng: 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, yang dibulatkan menjadi 22,1107
    4. Tali busur: 2 × 6 × sin(60°) = 10,3923
    5. Panjang busur: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
    6. Tinggi: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

    Baris yang bersambung dengan halaman di kedua sisinya. Tali busurnya 6√3 dan busurnya 4π, angka-angka yang sama yang dicetak halaman juring untuk potongan 120 derajat dari lingkaran yang sama — tali busur dan busurnya tidak berubah ketika segitiganya dibuang, karena keduanya bukan bagian dari segitiga itu. Tingginya tepat 3, yaitu setengah jari-jarinya, karena kosinus 60 derajat adalah setengah.

  5. Tembereng besar pada sudut 270 derajat

    1. Luas juring: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
    2. Luas segitiga: ½ × 5² × sin(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
    3. Luas tembereng: 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
    4. Tali busur: 2 × 5 × sin(135°) = 7,0711
    5. Panjang busur: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
    6. Tinggi: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

    Baris yang perlu dibaca dengan saksama, dan baris yang menjelaskan mengapa halaman ini tidak memberi penilaian apa pun tentang masuk akalnya sebuah jawaban. Pada 270 derajat sinusnya negatif, sehingga mengurangkan segitiganya justru menambahkan 12,5 alih-alih menguranginya, dan halaman ini mengembalikan 71,4049 — daerah yang lebih besar dari dua daerah yang dipotong tali busur itu, bukan yang lebih kecil. Itu jawaban yang benar untuk aritmetikanya, dan sangat sering bukan daerah yang ada dalam pikiran pembacanya, dan itulah sebabnya tidak ada apa pun di sini yang diberi label tembereng kecil atau tembereng besar. Tali busurnya 7,0711, sama dengan baris 90 derajat di atas, karena sin(135°) sama dengan sin(45°): dua sudut berbeda, satu tali busur.

Batasan

Halaman ini hanya untuk tembereng lingkaran: sebuah tali busur lurus dan busur di atasnya pada lingkaran yang datar. Di atas 180 derajat aritmetikanya menyeberang dan mengembalikan daerah yang lebih besar dari dua daerah yang dipotong tali busur itu alih-alih yang lebih kecil — itu disengaja dan tidak terhindarkan, karena rumusnya tidak bisa diberi tahu mana yang Anda maksud, dan itulah sebabnya tidak ada jawaban di sini yang diberi label tembereng besar atau tembereng kecil. Luasnya adalah selisih dua bilangan yang masing-masing membawa π atau sinus, jadi angka terakhirnya paling tidak bisa diandalkan di halaman ini. Tali busur dan busurnya tidak berubah ketika segitiganya dibuang, jadi pembaca yang menginginkan potongan lingkarannya dan bukan kepingan bulan sabitnya sebaiknya memakai halaman juring di sebelah. Bacaannya dalam sentimeter dan sentimeter persegi apa pun setelan unitnya, jadi jari-jari yang Anda isikan dalam inci kembali sebagai jawaban sentimeter yang harus Anda konversi sendiri. Tingginya diukur dari tali busur ke titik terdalam busurnya dan merupakan besaran yang perlu diraih ketika sudutnya tidak diketahui, tetapi halaman ini tidak bekerja mundur dari tinggi ke sudut. Sudut di atas 360 derajat ditolak dan bukan diputar ulang. Tidak ada bagian di sini yang menangani tembereng elips, tali busur yang tidak merentangkan seluruh busurnya, atau ketebalan dan penutup ujung potongan benda nyata seperti bilah drum atau bata lengkung.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa bedanya tembereng dan juring?
Juring adalah potongan yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur — sepotong kue. Tembereng adalah yang tersisa kalau segitiga itu dipotong dari potongan tadi: hanya daerah antara tali busur dan busurnya. Halaman juring di sebelah menghitung potongan lingkarannya, dan halaman ini menghitung apa yang tersisa setelah luas segitiga diambil darinya.
Mengapa halaman ini memberi daerah yang lebih besar pada sudut 270 derajat?
Karena luas segitiganya adalah setengah kuadrat jari-jari dikali sinus sudutnya, dan di atas 180 derajat sinusnya negatif, sehingga mengurangkannya justru menambahkan. Aritmetikanya benar dan jawabannya adalah daerah yang lebih besar dari dua daerah yang dipotong tali busur itu. Halaman ini sengaja tidak memberi label tembereng besar atau tembereng kecil pada jawabannya: dari jari-jari dan sudut saja tidak ada cara mengetahui daerah mana yang Anda maksud, jadi halaman ini menghitung satu daerah dan menyerahkan pembacaannya kepada Anda.
Untuk apa tinggi tembereng?
Tinggi tembereng adalah seberapa jauh busurnya menggembung di atas titik tengah tali busurnya — kedalaman kepingan itu. Ia ada di halaman ini karena inilah ukuran yang benar-benar bisa Anda ambil: letakkan penggaris melintang di sisi datarnya lalu ukur turun sampai titik terdalam lengkungannya, dan Anda sudah mendapatkannya tanpa perlu sudut. Nilainya berjalan dari 0 pada sudut nol sampai diameter penuh pada satu putaran penuh, dan itulah cara yang lazim dipakai untuk menyebut isi pipa yang terisi sebagian.
Mengapa tali busur dan busurnya sama dengan di halaman juring?
Karena keduanya bukan bagian dari segitiga yang dibuang itu. Pengurangannya membuang daerah yang dibatasi kedua jari-jari dan tali busurnya; tali busurnya sendiri adalah batas segitiga itu, bukan bagian dalamnya, dan busurnya sama sekali tidak tersentuh. Jadi tembereng 120 derajat dan juring 120 derajat dari lingkaran yang sama punya tali busur yang identik dan busur yang identik, tetapi luas yang berbeda.
Bentuk ini dipakai untuk apa?
Apa pun yang melibatkan garis lurus yang memotong lingkaran. Pipa atau tangki mendatar yang terisi sebagian punya tembereng sebagai penampang cairannya, dan itulah sebabnya volume cairan di dalam drum adalah soal tembereng. Jendela lengkung, atap terowongan di atas dinding lurus, daerah antara batas tanah yang lurus dan jalan yang melengkung, sisa potongan ketika sebuah tali busur digergaji melintang batang bulat, dan bekas gigitan pada biskuit bundar — semuanya tembereng.
Bisakah saya menghitung sudutnya dari tingginya?
Tidak di halaman ini — tingginya adalah keluaran, bukan masukan. Sudutnya bisa dihitung kembali darinya, karena tingginya adalah jari-jari dikali (1 − kosinus setengah sudutnya), tetapi itu berarti menyelesaikan persamaannya untuk kosinus lalu mengambil inversnya, dan halaman ini tidak melakukannya. Kalau yang Anda punya adalah hasil pengukuran kedalaman, jalan praktisnya adalah mencoba beberapa sudut sampai kolom tingginya cocok dengan yang Anda ukur, atau menghitung inversnya secara terpisah.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Luas JuringLuas, panjang busur, dan tali busur dari sudut pusat.Kalkulator LingkaranJari-jari, diameter, keliling, dan luas dari salah satunya.Kalkulator Panjang BusurPanjang busur antara dua titik pada sebuah lingkaran.Kalkulator Sudut PusatSudut yang dibentuk busur di titik pusat lingkaran.