Kalkulator Notasi Ilmiah

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; penjumlahan dan pengurangan disamakan dulu: 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² = 1500 + 250 = 1.75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1280

3.2e5 dan 4e-3

Kedua bilangan yang digabungkan, masing-masing ditulis dalam notasi e (3.2e5) atau sebagai desimal biasa (320000), dan masing-masing membawa paling banyak lima belas angka penting. Keduanya adalah masukan yang dibaca halaman ini; jawabannya bilangan baru yang dihitung darinya

× ÷ + −

Operasinya, dipilih dari empat pilihan. Perkalian di urutan pertama karena itulah kegunaan notasi ilmiah: eksponennya dijumlahkan, jadi ukuran jawabannya sudah ditetapkan sebelum koefisien mana pun dikalikan

10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ

Aturan eksponen yang mendasari perkalian dan pembagian. Eksponennya dijumlahkan untuk hasil kali dan dikurangkan untuk hasil bagi, dan itulah sebabnya 10⁵ × 10⁻³ memberi 10² tanpa perlu menghitung angka nol sama sekali

1.5 × 10³ + 2.5 × 10²

Mengapa penjumlahan dan pengurangan berbeda. Eksponennya di sini tidak sama, jadi kedua bilangan harus ditulis pada eksponen yang sama sebelum bisa dijumlahkan — 1500 + 250 — dan hasilnya 1.75 × 10³. Melewati langkah itu adalah kesalahan yang paling sering terjadi

0,1 + 0,2 = 3 × 10⁻¹

Mengapa jawabannya dicetak sampai lima belas angka penting. 0,1 dan 0,2 tidak dapat keduanya disimpan dengan tepat dalam presisi ganda, dan jumlahnya 0.30000000000000004; dibulatkan ke lima belas angka lalu angka nol di belakangnya dibuang, yang tercetak adalah 3 × 10⁻¹ dan 0,3. Lima belas itu lebar tampilan, bukan klaim tentang ketelitian

1.28 × 10³, 1.28e3, 1280

Tiga bentuk dari satu jawaban. Yang pertama yang dicetak buku pelajaran, yang kedua yang akan diterima sebuah program atau lembar kerja kalau disalin kembali ke kolom masukan, dan yang ketiga bilangannya ditulis lengkap. Ketiganya tidak pernah menjadi tiga jawaban yang berbeda

Notasi ilmiah berguna di mana pun bilangannya jauh dari 1. Dalam fisika ia menjadi bentuk bawaan untuk apa pun yang diukur dalam satuan atom, meter, atau tahun cahaya — massa elektron, jarak ke sebuah bintang, panjang gelombang sebuah warna — dan alasannya sama pada setiap skala: eksponennya yang membawa ukuran, sehingga perbandingan dua besaran menjadi perbandingan dua eksponen. Dalam kimia notasi ini berpasangan dengan penghitungan: 6.022 × 10²³ adalah jumlah partikel, dan mengalikannya dengan jumlah yang terukur adalah aritmetika dalam bentuk ini. Teknik memakainya untuk toleransi di kedua ujung gambar kerja, dan dunia komputasi memakainya karena alasan notasi e ada sejak awal: bilangan titik mengambang disimpan sebagai koefisien dan eksponen, dan notasi e yang dicetak halaman ini adalah cara terpendek yang jujur untuk menuliskannya. Buku pelajaran dan kertas ujian memakainya sebagai bentuk yang bisa diperiksa. Mengerjakan soal dalam notasi ilmiah dan menuliskan jawabannya sebagai 4.5 × 10⁴ membuat ukuran jawabannya terlihat, sedangkan deretan angka nol menyembunyikannya, dan itulah sebabnya eksponen yang salah tempat ketahuan oleh mata dalam bentuk ini tetapi luput dalam bentuk yang lain. Yang dikerjakan halaman ini di tengah semua itu adalah langkah aritmetikanya: ia membereskan pembukuan eksponen dan mencetak jawabannya dalam bentuk mana pun yang dibutuhkan langkah berikutnya, dan paling berguna ketika bilangan-bilangannya sedang digabungkan lalu jawabannya harus dituliskan, bukan sekadar ditaksir. Dua pekerjaan yang berkaitan ada di sisinya. Menulis bilangan yang sama dengan cara sebaliknya, tanpa aritmetika, adalah halaman bentuk baku. Menentukan berapa di antara angka-angka pada jawaban yang benar-benar terukur — itulah pokok persoalan angka penting — adalah halaman angka penting, dan itu pertanyaan yang sengaja tidak dijawab halaman ini.

1. Mengalikan: 3.2 × 10⁵ dengan 4 × 10⁻³

   1. Kalikan koefisiennya: 3,2 × 4 = 12,8
   2. Jumlahkan eksponennya: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
   3. Hasil kalinya 12,8 × 10², yang belum menjadi notasi ilmiah karena koefisiennya harus di bawah 10
   4. Pindahkan satu faktor sepuluh dari koefisien ke eksponen: 12,8 × 10² = 1,28 × 10³
   5. Ditulis lengkap menjadi 1280 — dan notasi e 1,28e3 bisa disalin kembali ke salah satu kolom masukan

   Contoh bawaan, sekaligus kasus yang menunjukkan mengapa notasi ini layak dipakai. Kedua bilangannya pendek, dan aritmetikanya hanya dua perkalian dan satu penjumlahan; tanpa notasi, pekerjaan yang sama menjadi 320000 × 0,004, tempat angka nolnya yang bekerja dan jawabannya mudah salah tempat dengan faktor sepuluh. Langkah normalisasi itulah yang perlu diperhatikan, dan itulah langkah yang dikerjakan panel tanpa diumumkan: 12,8 × 10² dan 1,28 × 10³ adalah bilangan yang sama, dan hanya yang kedua berbentuk notasi ilmiah.

2. Membagi: 9.6 × 10⁷ dengan 3.2 × 10³

   1. Bagi koefisiennya: 9,6 ÷ 3,2 = 3
   2. Kurangkan eksponennya: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
   3. Koefisiennya sudah berada antara 1 dan 10, jadi tidak perlu dinormalkan
   4. Jawabannya 3 × 10⁴, yaitu 3e4 dan 30000

   Pembagian yang koefisiennya keluar bersih, sehingga tidak ada yang menyembunyikan aturan eksponennya. Perhatikan bahwa koefisiennya tidak punya angka nol di belakang: hasilnya 3 dan bukan 3,00, karena halaman ini mencetak lima belas angka penting lalu membuang angka nol yang tidak membawa informasi. Apakah jawaban itu layak dikutip sebagai 3 atau sebagai 3,00000 adalah pertanyaan angka penting, dan masukan di sini tidak memutuskannya.

3. Menjumlahkan 0,1 dan 0,2

   1. Eksponen tidak muncul pada kedua masukan, jadi kedua bilangan ditulis apa adanya: 0,1 dan 0,2
   2. Dalam presisi ganda, nilai yang tersimpan bukan tepat sepersepuluh dan dua persepuluh, dan jumlahnya 0.30000000000000004
   3. Hasilnya dibulatkan ke lima belas angka penting, yang menyisakan 0.300000000000000
   4. Angka nol di belakangnya dibuang, karena kelima belas angka itu lebar tampilan dan bukan hasil pengukuran
   5. Yang tersisa adalah 3 × 10⁻¹, atau 3e-1, atau 0,3

   Contoh yang membenarkan lebar tampilan tadi. Mencetak tujuh angka penting juga akan menyembunyikan ekor titik mengambangnya, tetapi itu merusak kasus lain: 123456789012345 ditambah 0 akan tercetak sebagai 123456800000000, yang jelas bilangan yang salah. Lima belas angka adalah pengaturan terlebar yang masih tepat untuk setiap nilai yang diterima kolom masukan, jadi ia menyembunyikan ekornya dan tetap mempertahankan bilangannya. Kalau Anda pernah menemui penjumlahan ini sebagai teka-teki pemrograman, teka-tekinya nyata — hanya saja tidak terlihat pada lebar ini.

Setiap kolom masukan menerima sampai lima belas angka penting, dan eksponen dari −99 sampai 99. Jawabannya tidak dibatasi batas itu: 1e99 × 1e99 adalah 1 × 10¹⁹⁸, dan bentuk biasanya menjadi satu baris sepanjang 199 karakter. Bentuk tertulis tidak diterima, dan aturan penulisan yang boleh diketik dijelaskan oleh pesan di panel atas; pemisah ribuan juga tidak diterima, karena koma adalah tanda desimal di beberapa bahasa yang dilayani situs ini dan menebak mana yang dimaksud akan memasukkan bilangan yang salah ke dalam hitungan. Pembagian dengan nol menimbulkan kesalahan alih-alih mengembalikan nilai tak hingga, karena tak hingga bukan hasil yang bisa dituliskan. Nol tercetak sebagai 0 pada ketiga bentuknya: 0 × 10⁰ akan menjadi ukuran yang ditempelkan pada bilangan yang tidak punya ukuran. Hasilnya dibulatkan ke lima belas angka penting dan angka nol di belakangnya dibuang, jadi jawabannya tidak membawa informasi tentang ketelitian dan halaman ini tidak mengklaim apa pun soal itu; pertanyaan itu milik halaman angka penting. Karena perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan dikerjakan dalam presisi ganda, hasilnya tepat hanya sampai lima belas angka penting — cukup untuk masukan yang diterima halaman ini, dan tidak cukup untuk diperlakukan sebagai aritmetika eksak atas nilai yang lebih panjang, yang justru ditolak karena alasan itu. Terakhir, tabel rujukan di bawah adalah daftar pangkat sepuluh yang tetap dan tidak mengikuti masukan Anda; ia ada untuk dibaca di samping jawabannya, bukan untuk dihitung darinya.

Apa itu notasi ilmiah?

Cara menulis bilangan sebagai koefisien antara 1 dan 10 dikalikan pangkat sepuluh: 45000 adalah 4.5 × 10⁴ dan 0.00045 adalah 4.5 × 10⁻⁴. Ukuran bilangannya pindah ke eksponen, dan itulah yang membuat perkalian dan pembagian dalam bentuk ini menjadi urusan bilangan bulat kecil, bukan deretan angka nol yang panjang. Dalam bahasa Inggris Britania, bentuk yang sama disebut standard form, dan di Indonesia sebutan yang paling dekat adalah bentuk baku.

Apa itu notasi e, dan mengapa halaman ini mencetaknya?

Notasi e adalah bilangan yang sama dalam karakter biasa: 4.5e4 berarti 4.5 × 10⁴, dan 4.5e-4 berarti 4.5 × 10⁻⁴. Itulah bentuk yang diterima sebuah program, lembar kerja, atau kotak pencarian, jadi halaman ini mencetaknya sebagai salah satu dari tiga bentuk hasil — versi jawaban yang bisa langsung disalin kembali ke kolom masukan.

Mengapa 0,1 + 0,2 di sini memberi tepat 0,3?

Karena hasilnya dibulatkan ke lima belas angka penting sebelum dicetak, sedangkan jumlah yang tersimpan adalah 0.30000000000000004 — selisihnya ada di angka keenam belas dan ketujuh belas. Lima belas angka itu bukan angka bulat yang dipilih demi penampilan: itulah lebar tampilan terlebar yang masih mencetak setiap nilai yang diterima kolom masukan dengan tepat, sehingga 123456789012345 ditambah 0 tetap kembali sebagai 123456789012345 dan tidak dibulatkan menjadi bentuk yang lebih pendek.

Bolehkah saya mengetik bentuk pangkat sepuluh ke kolom masukan?

Tidak, dan halaman ini akan mengatakannya. Kolom masukan hanya menerima notasi e atau desimal biasa, dan aturan penulisan yang diterima, termasuk yang tidak diterima, dijelaskan oleh pesan di panel atas. Ketik bentuk e-nya atau ketik angkanya lengkap; keduanya bernilai sama, dan baris notasi e pada setiap jawaban memang ditulis supaya bisa disalin kembali ke kolom masukan.

Bagaimana mengalikan dan membagi dalam notasi ilmiah?

Kalikan koefisiennya dan jumlahkan eksponennya untuk hasil kali; bagi koefisiennya dan kurangkan eksponennya untuk hasil bagi. Lalu periksa apakah koefisiennya sudah antara 1 dan 10 dan pindahkan satu faktor sepuluh ke eksponen kalau belum: 3,2 × 10⁵ dikali 4 × 10⁻³ adalah 12,8 × 10², yang ditulis menjadi 1,28 × 10³. Penjumlahan dan pengurangan menuntut eksponennya disamakan lebih dulu, dan itulah langkah yang paling mudah dilewati kalau memakai notasi ini.

Apakah jawabannya memberi tahu berapa angka pentingnya?

Tidak. Jawabannya adalah bilangan hasil hitungan, dan tidak ada lebar tampilan yang bisa memberi tahu berapa banyak angkanya yang benar-benar diukur — itu bergantung pada ketelitian bilangan yang dimasukkan, dan pada apakah bilangan itu hasil pengukuran sama sekali. Angka nol di belakang dibuang karena alasan yang sama: mempertahankannya akan menyiratkan ketelitian yang tidak dimiliki hitungannya. Menghitung berapa angka penting yang layak dipakai sebuah jawaban adalah pokok bahasan halaman angka penting.

• Scientific notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)
• Scientific notation — a worked introduction to the form and to the exponent rules for multiplication and division — Math is Fun (United Kingdom)
• Scientific notation — definition, with the same form given under the British name standard form — Math is Fun (United Kingdom)