Kalkulator Segi Banyak

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) sudut dalam = (n − 2) × 180 ÷ n jumlah jenis diagonal = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

Jumlah sisi, dan satu-satunya masukan di halaman ini yang mengubah bangun apa yang Anda lihat dan bukan seberapa besar bangunnya. Ia harus bilangan bulat minimal tiga: dua sisi tidak menutup apa pun, dan setengah sisi bukan sisi. Semua keluarannya kecuali keliling adalah fungsi melengkung dari angka ini, dan itulah sebabnya halaman ini mencetak sisi yang sama pada sepuluh jumlah sisi alih-alih sepuluh panjang sisi berbeda seperti yang dicetak tiga halaman bangun tunggal

s

Panjang salah satu sisinya, dalam sentimeter. Seperti pada setiap halaman segi banyak beraturan, ini satu-satunya panjang yang ada: bangunnya sudah ditetapkan oleh semua sisinya yang sama dan semua sudutnya yang sama besar, jadi satu sisi ditambah jumlah sisinya menentukan seluruh bangunnya

A

Luas, dalam sentimeter persegi: jumlah sisi dibagi empat kali tangen pi dibagi jumlah sisi, lalu dikali sisi kuadrat. Faktor di depan sisi kuadratnya bernilai 0,4330 pada tiga sisi dan tumbuh tanpa batas dari situ — ia melewati 1 di persegi, bernilai 31,5688 pada dua puluh sisi dan 79.577,2097 pada seribu sisi — karena sisi yang tetap pada bangun bersudut lebih banyak menutup tanah yang lebih luas. Tahan kelilingnya tetap dan pertumbuhannya memang berhenti: bangun bersisi seribu berkeliling 6.000 menutup 2.864.779,5509 berbanding 2.864.788,9757 untuk lingkaran berkeliling sama, selisih 0,0003 persen. Adapun angka yang memanjat menuju pi, 3,1416, adalah luas dibagi kuadrat jarak dari pusat ke sebuah sudut

P

Keliling, dalam sentimeter: sisi dikali jumlah sisi. Ia satu-satunya keluaran yang tepat lurus terhadap kedua masukannya dan satu-satunya yang tepat begitu masukannya tepat, sehingga ia yang dipakai memeriksa keluaran lain ketika sebuah hasil terlihat janggal

a

Apotema, dalam sentimeter: jarak dari pusat lurus ke titik tengah sebuah sisi, yaitu sisi dibagi dua kali tangen pi dibagi jumlah sisi. Ia jari-jari lingkaran terbesar yang muat di dalam bangunnya, dan dua kali apotema adalah lebar pada sisi datarnya — ukuran yang benar-benar bisa dilewati meteran

Sudut dalam

Sudut antara dua sisi yang bersebelahan di bagian dalam bangunnya: jumlah sisi dikurangi dua, kali 180, dibagi jumlah sisi. Ia sama sekali tidak bergantung pada panjang sisi, jadi angkanya sama pada setiap baris tabel yang sisinya tetap dan jumlah sisinya bergerak. Halaman ini mencetaknya sampai dua desimal karena sudut segi tujuh adalah 128,571428 dan kalau tidak akan dibulatkan menjadi 129 — yang bukan jawaban yang lebih pendek, melainkan jawaban yang salah

⌊n ÷ 2⌋ − 1

Ada berapa jenis panjang diagonal yang dimiliki bangunnya. Tali busur yang menghubungkan pasangan-pasangan sudut datang dalam setengah jumlah sisi panjang yang berbeda, dan salah satunya adalah sisi itu sendiri, sehingga segitiga tidak punya, persegi dan segi lima masing-masing punya satu, segi enam dua, dan segi delapan tiga. Ini sebuah hitungan dan bukan panjang, jadi ia tidak bersatuan dan tidak bergerak ketika sisinya berubah

π

Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, sekitar 3,14159265. Ia muncul di sini karena tangen pi dibagi jumlah sisi itulah yang mengaitkan bangunnya dengan sudut-sudutnya sendiri: konstanta yang sama yang menjelaskan lingkaran yang didekati bangun-bangun ini ketika jumlah sisinya bertambah

Halaman ini dipakai ketika bangunnya bukan salah satu bangun yang punya nama sendiri, atau ketika yang menjadi pokok pertanyaan justru bangunnya dan bukan ukurannya. Kalau Anda sudah tahu sedang berurusan dengan segi enam atau segi delapan, halaman bangun itu meminta satu angka alih-alih dua dan mencetak panjang diagonalnya juga; datanglah ke sini ketika jumlah sisi justru yang sedang Anda pilih. Itulah keadaannya setiap kali sebuah bangun dipilih dan bukan diukur — berapa sisi sebaiknya dimiliki sebuah petak tanam, atap gazebo, koin, atau ubin — karena tabelnya membiarkan Anda membaca tepi yang sama pada sepuluh jumlah sisi dalam satu kolom lalu melihat apa yang dibeli setiap tambahan sisi. Polanya layak dinyatakan terus terang, dan ia datang dalam dua bagian yang mudah tertukar. Pada sisi yang tetap, setiap tambahan sisi membeli luas dan besarannya makin bertambah dan bukan makin menyusut: dari tiga sisi ke empat sisi menambah 20,4 sentimeter persegi pada tepi enam sentimeter, dari empat ke lima menambah 25,9, dari lima ke enam menambah 31,6, dan rentetan dari dua puluh sisi ke seribu sisi menambah 2.863.643, karena bangunnya ikut membesar dan kelilingnya tumbuh bersamanya. Tahan kelilingnya tetap dan pertukarannya berbalik arah: pada keliling 6.000, satu langkah dari lima sisi ke enam sisi membeli 120.589 sentimeter persegi, sementara seluruh rentetan dari dua puluh sisi ke seribu sisi — 980 tambahan sisi — hanya membeli 23.591. Itulah perbandingan yang dilayani dua kolom terakhir tabel, dan itulah sebabnya kepala baut, ubin lantai, dan sel sarang lebah berbentuk segi enam: setelah enam sisi, tambahan luasnya tidak lagi sepadan dengan tambahan tepi yang harus dipotong dan tambahan sudut yang harus dipasang. Kolom apotema dipakai untuk menandai bangun di atas lembaran, karena dua kali apotema adalah lebarnya pada sisi datarnya, sedangkan kolom sudut dalam dipakai untuk merakit bangun itu dari potongan, karena setengahnya adalah sudut mitra yang dibutuhkan setiap potongan dan besarnya sama untuk setiap ukuran bangun tersebut. Kalau Anda membandingkan halaman ini dengan halaman lingkaran, baris seribu sisinya adalah perbandingan yang jujur: pada sisi 6, kelilingnya 6.000 dan luasnya 2.864.779,5509, sedangkan lingkaran sejati dengan keliling yang sama punya 2.864.788,9757 — selisih 0,0003 persen.

1. Segi enam, sisi 6

   1. Keliling: 6 × 6 = 36
   2. Sudut dalam: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, tepat
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, dibulatkan ke 5,1962
   4. Luas: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, dibulatkan ke 93,5307
   5. Jumlah jenis diagonal: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   Masukan yang dimuat halaman ini, dan baris yang menyelaraskan halaman ini dengan halaman segi enam: 93,5307 dan 5,1962 adalah dua angka yang ditampilkan halaman segi enam sebelum Anda menyentuh apa pun. Hitungan 2 di kolom terakhir juga merupakan dua diagonal halaman segi enam — yang melompati satu sudut dan yang membentang lurus menembus pusat — hanya ditulis sebagai hitungan dan bukan sebagai panjang, dan itulah yang bisa dilakukan halaman ini sementara halaman itu tidak. Sudut dalam 120 tercetak di sini sebagai 120,00 pada panel hasil dan sebagai 120 pada tabel di bawah, yaitu angka yang sama pada dua lebar tampilan.

2. Segitiga, sisi 6

   1. Keliling: 3 × 6 = 18
   2. Sudut dalam: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, tepat
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, dibulatkan ke 1,7321
   4. Luas: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, dibulatkan ke 15,5885
   5. Jumlah jenis diagonal: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

   Bangun terkecil yang diterima halaman ini, dan satu-satunya di sini yang tidak punya diagonal sama sekali: setiap tali busur yang menghubungkan dua sudut segitiga adalah salah satu dari ketiga sisinya, jadi tidak ada sisa yang bisa menjadi diagonal. Nol itu jawaban dan bukan sel kosong, dan luas 15,5885 cocok dengan halaman segitiga sama sisi pada sisi yang sama — itulah pemeriksaan bahwa rumus umumnya belum menyimpang dari rumus khusus bangunnya. Perhatikan apotemanya: pada tiga sisi ia yang terpendek di antara semua bangun pada tabel, 1,7321 berbanding sisi 6, karena lingkaran di dalam segitiga kecil dibandingkan segitiganya.

3. Segi tujuh, sisi 6

   1. Keliling: 7 × 6 = 42
   2. Sudut dalam: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, dibulatkan ke 128,57
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, dibulatkan ke 6,2296
   4. Luas: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, dibulatkan ke 130,8208
   5. Jumlah jenis diagonal: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   Baris yang membuat halaman ini ada, dan baris yang telah diperingatkan oleh halaman segi delapan. Setiap jumlah sisi sampai dua belas memberi sudut dalam bilangan bulat kecuali tujuh dan sebelas, sehingga halaman yang mencetak sudut tanpa desimal sama sekali akan mencetak 129 di sini — bukan jawaban yang lebih kasar, melainkan jawaban yang salah. Dua desimal cukup untuk setiap jumlah sisi yang diterima halaman ini: pada seribu sisi sudutnya 179,64, masih dua desimal dari 180. Bangun bersisi tujuh ini juga yang pertama punya lebih sedikit jenis panjang diagonal daripada yang terasa seharusnya: segi tujuh memiliki empat belas diagonal seluruhnya, tetapi panjangnya hanya datang dalam dua jenis, yaitu yang melompati 2 dan 3 sudut, karena sisanya adalah dua rentang yang sama yang diukur dari sudut yang lain.

4. Persegi, sisi 6

   1. Keliling: 4 × 6 = 24
   2. Sudut dalam: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, tepat
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, tepat
   4. Luas: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
   5. Jumlah jenis diagonal: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

   Persegi, tempat rumus umumnya menabrak satu kerewelan bilangan pecah yang layak diketahui: tangen 45 derajat secara matematis adalah 1, tetapi halaman ini menghitung tangen pi per empat dalam bilangan pecah dan mendapat 0,9999999999999999, sehingga luasnya datang sebagai 36,000000000000014. Ia tercetak sebagai 36 karena hasilnya dibulatkan ke empat desimal saat keluar, dan itulah gunanya pembulatan itu. Kolom terakhir adalah hal lain yang layak dilihat di sini: persegi punya dua diagonal, keduanya melintasi bangunnya dengan cara yang sama, dan ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 menghitungnya sebagai satu jenis panjang — itu benar, dan justru itulah jebakan yang dihindari halaman ini dengan tidak mencetak panjang diagonalnya.

5. Seribu sisi, sisi 6

   1. Keliling: 1.000 × 6 = 6.000
   2. Sudut dalam: (1.000 − 2) × 180 ÷ 1.000 = 179.640 ÷ 1.000 = 179,64, tepat
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, dibulatkan ke 954,9265
   4. Luas: 1.000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79.577,2097… × 36 = 2.864.779,5509…, dibulatkan ke 2.864.779,5509
   5. Jumlah jenis diagonal: ⌊1.000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

   Batas atas halaman ini, dan baris yang menjawab pertanyaan yang hanya bisa dibicarakan oleh halaman-halaman lain di keluarga ini. Bangun beraturan bersisi seribu dengan keliling 6.000 punya luas 2.864.779,5509 sentimeter persegi; lingkaran sejati dengan keliling yang sama punya 2.864.788,9757, yaitu 0,0003 persen lebih banyak. Apotemanya 954,9265 berdampingan dengan jari-jari lingkaran itu 954,9297, selisih 0,0032 sentimeter. Jadi di sinilah segi banyaknya sudah berhenti menjadi segi banyak dalam pengertian praktis mana pun — dan itulah sebabnya halaman ini tidak menerima lebih dari seribu sisi: setelah titik ini panjang sisinya sudah berhenti menjelaskan bentuk bangunnya, dan bangunnya adalah lingkaran dengan langkah tambahan.

Halaman ini hanya untuk segi banyak beraturan: semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar. Bangun yang sisinya tidak sama atau sudutnya tidak sama tidak punya satu panjang sisi dan tidak punya satu sudut dalam, dan berapa pun jumlah masukan ke halaman ini tidak akan menjelaskannya — isikan sebuah jumlah sisi dan sebuah sisi, lalu halaman ini akan diam-diam menjawab dengan bangun beraturan berukuran itu, tanpa memberi tahu bahwa bangun yang Anda pikirkan adalah bangun yang lain. Jumlah sisinya harus bilangan bulat minimal tiga, dan halaman ini melaporkan galat alih-alih membulatkan kalau bukan; angka di atas seribu juga ditolak, karena setelah itu bangunnya adalah lingkaran untuk setiap keperluan yang bisa dilayani angka-angka di halaman ini. Keluarannya dalam sentimeter dan sentimeter persegi, apa pun pilihan pada menu satuan, jadi sisi yang diisikan dalam inci kembali sebagai jawaban sentimeter yang harus Anda ubah sendiri. Empat angka desimal adalah lebar tampilan dan bukan klaim tentang ketelitian, dan itu sudah berlebih untuk sisi yang diukur; dua angka terakhirnya tidak bermakna kecuali masukannya memang tepat. Sudut dalamnya membawa dua desimal dan bukan nol desimal, sehingga sudut bilangan bulat tercetak sebagai 120,00 di sini dan sebagai 120 di halaman segi lima serta segi delapan — angka yang sama pada dua lebar tampilan, bukan pertentangan antarkalaman. Dua kolom terakhir adalah sebuah hitungan dan sebuah sudut, dan keduanya tidak bergerak ketika sisinya bergerak, jadi halaman yang tampak tidak menanggapi perubahan sisi sebenarnya belum membeku: tiga dari lima angkanya berubah. Di halaman ini ada satu angka diagonal dan ia berupa hitungan, bukan panjang: panjangnya sendiri ada di tiga halaman bangun tunggal, dan alasannya adalah jumlahnya bergantung pada jumlah sisi, yang tidak bisa ditampung daftar keluaran yang tetap. Halaman ini dua dimensi dan tidak punya kolom untuk tebal bahan, jadi ia tidak bisa memberi volume prisma atau berat pelat yang dipotong dari salah satu bangun ini, dan jumlah jenis diagonal itu adalah hitungan jenis panjang dan bukan hitungan diagonal — segi tujuh punya empat belas diagonal sementara halaman ini mengatakan dua, dan kedua pernyataan itu benar untuk dua besaran yang berbeda.

Bagaimana cara mencari luas segi banyak beraturan dari sisinya?

Kalikan kuadrat sisinya dengan jumlah sisi, lalu bagi dengan empat kali tangen pi dibagi jumlah sisi. Faktor yang mengalikan kuadrat sisi itu hanya bergantung pada jumlah sisinya — 0,4330 untuk segitiga, 1 untuk persegi, 1,7205 untuk segi lima, 2,5981 untuk segi enam — dan ia tumbuh tanpa batas seiring bertambahnya jumlah sisi: 3,6339 pada tujuh sisi, 31,5688 pada dua puluh, dan 79.577,2097 pada seribu. Yang mendekati lingkaran adalah luasnya dan bukan faktor ini, dan itu pun hanya kalau kelilingnya ditahan tetap; adapun faktor yang memanjat menuju pi, 3,1416, adalah luas dibagi kuadrat jarak dari pusat ke sudut. Karena ia sebuah faktor dan bukan suku, menggandakan sisinya melipatgandakan luasnya empat kali untuk bangun mana pun di halaman ini.

Kenapa sudut dalamnya tidak berubah ketika panjang sisinya saya ubah?

Karena sudut dalam segi banyak beraturan sudah ditetapkan oleh jumlah sisinya dan tidak oleh apa pun yang lain: ia jumlah sisi dikurangi dua, kali 180 derajat, dibagi jumlah sisi. Tidak ada panjang sisi yang muncul dalam perhitungan itu. Segitiga selalu 60 derajat, segi lima selalu 108, segi enam selalu 120, segi delapan selalu 135, berapa pun ukurannya. Itulah sebabnya kolom keempat tabel rujukan bisa diperkirakan dan bukan diukur, dan itulah sebabnya sudut mitra yang Anda potong untuk bingkai bersegi enam adalah 30 derajat, entah bingkainya sebesar tatakan gelas atau sebesar meja.

Ada berapa diagonal pada sebuah segi banyak?

Ada dua pertanyaan berbeda di dalam pertanyaan itu, dan halaman ini menjawab yang kedua. Jumlah diagonalnya adalah jumlah sisi kali jumlah sisi dikurangi tiga, dibagi dua: segi lima punya lima, segi enam sembilan, segi delapan dua puluh. Jumlah jenis panjang diagonalnya adalah setengah jumlah sisi, dibulatkan ke bawah, dikurangi satu: segi lima punya satu, segi enam dua, segi delapan tiga, segi tujuh dua. Halaman ini mencetak yang kedua, karena itulah angka yang menjadi dasar halaman-halaman bangun tunggal di sebelahnya, dan karena hitungan jenis panjang adalah satu-satunya angka diagonal yang tetap benar untuk setiap jumlah sisi.

Apa itu apotema, dan untuk apa?

Ia jarak dari pusat lurus ke titik tengah sebuah sisi, dan ia jari-jari lingkaran terbesar yang muat di dalam bangunnya. Ia angka yang dipakai untuk menandai segi banyak, karena dua kali apotema adalah lebar pada sisi datarnya dan sisi datar itulah yang bisa diukur meteran; sudutnya tidak. Kalau Anda menandai sebuah bangun di atas lembaran, ukurkan apotemanya keluar dari pusat sebanyak jumlah sisinya dan Anda sudah mendapat titik tengah setiap sisinya. Pada tiga sisi ia kecil dibandingkan bangunnya, dan ia mendekati jari-jari lingkaran luar seiring bertambahnya jumlah sisi.

Kapan sebaiknya memakai halaman ini alih-alih halaman segi lima atau segi delapan?

Ketika jumlah sisinya justru yang sedang Anda putuskan dan bukan yang sudah Anda ketahui. Halaman bangun tunggal meminta satu angka dan mencetak panjang diagonalnya juga, karena mereka tahu bangun mana yang sedang dihadapi; halaman ini meminta dua angka, dan sebagai gantinya ia menangani jumlah sisi dari tiga sampai seribu serta membiarkan Anda membaca sisi yang sama pada sepuluh di antaranya dalam satu kolom. Kalau Anda punya segi enam tetap yang mau diukur, halaman segi enam lebih sedikit langkahnya. Kalau Anda sedang memilih antara segi enam dan segi delapan untuk permukaan meja, halaman ini perbandingannya.

Apa yang diberitahukan kolom keliling yang tidak diberitahukan kolom luas?

Ia memberi tahu berapa biaya membangun bangunnya, sementara luas memberi tahu berapa yang ditutupinya. Kelilingnya adalah sisi dikali jumlah sisi, jadi pada sisi yang tetap ia naik lurus sementara luasnya memanjat bersamanya: dari segitiga ke persegi menambah 6 pada keliling dan 20,4 pada luas untuk tepi enam sentimeter, tetapi dari dua puluh sisi ke seribu sisi menambah 5.880 pada keliling dan 2.863.643 pada luas — tepi yang jauh lebih banyak untuk bangun yang di mata tidak terlihat berbeda. Tahan kelilingnya dan pertukarannya berbalik arah: pada keliling 6.000, satu sisi tambahan pada langkah lima ke enam membeli 120.589 sentimeter persegi, sementara 980 sisi terakhir kalau digabungkan hanya membeli 23.591. Itulah sebabnya kepala baut dan ubin lantai berbentuk segi enam dan bukan bangun bersisi lebih banyak — setelah enam, tambahan tepinya lebih mahal daripada tambahan luas yang didapat.

• Regular polygon — the family this page covers end to end, with the area, the apothem, the interior angle and the diagonal structure all defined in terms of the side count — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of the shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)
• Polygon — the general closed figure this page specialises to the regular case, including the distinction between the number of diagonals and the number of distinct diagonal lengths — Wolfram MathWorld (United States)