Kalkulator Segi Lima

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) diagonal = φ·s sudut dalam = 108°

Sisi

Panjang salah satu dari kelima sisinya, dalam sentimeter. Seperti setiap segi banyak beraturan, ini satu-satunya masukan yang ada: kelima sisinya sama panjang dan kelima sudutnya sudah pasti 108 derajat, jadi panjang sisi itu sendiri menentukan seluruh bangunnya

Luas

Ruang yang ditutup segi lima, dalam sentimeter persegi: akar dari dua puluh lima ditambah sepuluh akar lima, dibagi empat, kali sisi kuadrat. Konstantanya sekitar 1,7205, dan itulah angka yang layak dibawa-bawa — segi lima beraturan menutup sekitar 1,72 kali persegi yang digambar pada salah satu sisinya

Keliling

Jarak mengelilingi seluruh bangun, dalam sentimeter: lima kali sisi, karena kelimanya sama panjang. Ia satu-satunya keluaran yang selalu tepat begitu sisinya tepat, dan karena itu ia yang dipakai untuk memeriksa keluaran lain ketika sebuah hasil terlihat janggal

Apotema

Jarak dari pusat lurus ke titik tengah sebuah sisi, dalam sentimeter, yaitu sisi dibagi dua kali tangen 36 derajat. Ia jari-jari lingkaran terbesar yang muat di dalam segi lima, dan dua kali apotema adalah lebar bangun ini diukur pada sisi datarnya

Diagonal

Jarak antara dua sudut yang di antaranya ada tepat satu sudut lain, dalam sentimeter, yaitu sisi dikali rasio emas. Halaman ini mencetak satu diagonal dan bukan dua seperti halaman segi enam, karena kelima diagonal segi lima beraturan sama panjang — setiap diagonal melewati tepat satu sudut, jadi tidak ada pasangan yang panjang dan yang pendek untuk dibedakan

Sudut dalam

Sudut antara dua sisi yang bersebelahan di bagian dalam segi lima: 108 derajat, ditetapkan oleh jumlah sisinya saja. Ia tidak bergantung pada panjang sisi sama sekali, dan itulah sebabnya kolom ini berisi angka yang sama pada setiap baris tabel rujukan. Setengahnya, 54 derajat, adalah sudut mitra yang dibutuhkan bingkai bersisi lima

φ

Rasio emas, sekitar 1,6180339887, yaitu bilangan yang membuat diagonal sama dengan sisi dikalikannya. Ia perbandingan tempat diagonal segi lima saling memotong, dan ia sebabnya bangun ini muncul dalam desain dan pada tumbuhan jauh lebih sering daripada yang seharusnya disarankan oleh aritmetikanya

√5

Akar lima, sekitar 2,2360680. Ia muncul di luasnya lewat bentuk dua puluh lima ditambah sepuluh akar lima, dan ia yang membuat rasio emas menjadi bilangan irasional dan bukan pecahan — satu ditambah akar lima, dibagi dua

Halaman ini untuk segi lima sebagai benda nyata, dan segi lima biasanya hiasan dan bukan struktur, sehingga angka yang Anda butuhkan pun berbeda. Kalau Anda memotongnya dari sebuah lembaran — permukaan meja, papan petunjuk, batu paving, petak taman — luasnya memberi tahu berapa bahan yang dipakai, dan apotemanya memberi tahu cara menandainya dari pusat, karena dua kali apotema adalah lebar pada sisi datarnya dan sisi datar itulah yang bisa dilewati meteran. Diagonalnya lalu menjawab apakah potongan yang sudah jadi muat di tempat yang disediakan, karena ia garis terlebar yang bisa ditarik melintasi bangun ini dari sudut ke sudut menembus tengahnya. Kalau Anda merakit sesuatu dari lima potongan — bingkai, lampion, atap gazebo, pot — sudut dalam 108 derajat adalah angka yang dicari, karena sudut mitra tiap potongan adalah setengahnya, 54 derajat, dan penyetelan itu sama untuk setiap segi lima beraturan berapa pun ukurannya. Rasio emas adalah alasan lain untuk menengok kolom diagonal walaupun Anda tidak membutuhkannya: ia tanda pengenal bangun ini, dan segi lima yang diagonalnya bukan 1,618 kali sisinya bukan segi lima beraturan, apa pun penampakannya. Dan kalau Anda membandingkan bangun alih-alih mengukur satu bangun, tabel pada halaman ini dan dua halaman di sebelahnya memberi perbandingan yang paling adil: pada sisi 6, segi lima menutup 61,9372, segi enam 93,5307, dan segi delapan 173,8234 — dengan panjang tepi yang sama, makin banyak sisinya makin luas daerah yang didapat, dalam perjalanan menuju lingkaran.

1. Sisi 6

   1. Keliling: 5 × 6 = 30
   2. Diagonal: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, dibulatkan ke 9,7082
   3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, dibulatkan ke 4,1291
   4. Luas: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, dibulatkan ke 61,9372
   5. Sudut dalam: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, tepat

   Masukan yang dimuat halaman ini. Pemeriksaan yang layak dijalankan: bagilah diagonalnya dengan sisinya — 9,7082 ÷ 6 adalah 1,618, yaitu rasio emas, dan perbandingan itu berlaku pada setiap baris tabel serta pada setiap segi lima beraturan yang pernah ada. Baris ini juga yang sejajar dengan dua halaman di sebelahnya pada panjang sisi yang sama: sisi 6 memberi 61,9372 di sini, 93,5307 di halaman segi enam, dan 173,8234 di halaman segi delapan — tepi yang sama, makin banyak sisi, makin luas. Segi lima yang terkecil di antara ketiganya sekaligus yang paling lebar untuk luasnya, karena dengan hanya lima sisi ia yang paling jauh dari bentuk lingkaran.

2. Sisi 1

   1. Keliling: 5 × 1 = 5
   2. Diagonal: φ × 1 = 1,6180339…, dibulatkan ke 1,618
   3. Apotema: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, dibulatkan ke 0,6882
   4. Luas: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, dibulatkan ke 1,7205
   5. Sudut dalam: 108

   Segi lima satuan, dan baris tempat konstantanya berdiri sendiri: luasnya 1,7205, yaitu seluruh konstanta luas itu, dan diagonalnya 1,618, yaitu rasio emas itu sendiri. Keduanya layak diingat dalam bentuk ini. Bandingkan luasnya dengan persegi bersisi satu yang luasnya 1, dengan segitiga sama sisi yang 0,433, dan dengan segi enam yang 2,598: lima sisi mendarat di antara persegi dan segi enam, dan itulah pola yang diikuti seluruh keluarga bangun beraturan.

3. Sisi 3

   1. Keliling: 5 × 3 = 15
   2. Diagonal: φ × 3 = 4,854101…, dibulatkan ke 4,8541
   3. Apotema: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, dibulatkan ke 2,0646
   4. Luas: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, dibulatkan ke 15,4843
   5. Sudut dalam: 108

   Baris yang memperlihatkan rasio emas pada bentuknya yang paling canggung dan justru paling meyakinkan: diagonalnya 4,8541 dan sisinya 3, lalu 4,8541 ÷ 3 adalah 1,618. Perbandingan yang keluar sampai tiga angka yang sama pada sisi 1, sisi 3, dan sisi 6 adalah sifat bangunnya dan bukan sifat aritmetikanya. Baris ini juga yang luas dan kelilingnya paling berdekatan di tabel — 15,4843 berbanding 15 — dan itu nyaris sama, bukan sama: keduanya besaran yang berbeda dengan satuan yang berbeda pula.

4. Sisi 10

   1. Keliling: 5 × 10 = 50
   2. Diagonal: φ × 10 = 16,180339…, dibulatkan ke 16,1803
   3. Apotema: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, dibulatkan ke 6,8819
   4. Luas: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, dibulatkan ke 172,0477
   5. Sudut dalam: 108

   Segi lima bersisi sepuluh sentimeter, kira-kira sebesar batu paving. Apotema 6,8819 adalah angka untuk menandainya: dua kali apotema, 13,7638, adalah lebarnya pada sisi datar. Ada satu kebetulan di baris ini yang layak dikenali sebelum disangka kesalahan — apotemanya di sini, 6,8819, sama empat angkanya dengan luas segi lima bersisi 2 di baris lain pada tabel yang sama. Keduanya adalah bentuk akar yang sama yang dicapai dari arah berbeda, yang satu panjang dan yang satu luas, dan kesamaan empat angka itu tidak berarti apa-apa selain bahwa dua bentuk itu kebetulan bertemu nilainya pada dua ukuran tersebut.

5. Sisi 0

   1. Keliling: 5 × 0 = 0
   2. Diagonal: φ × 0 = 0
   3. Apotema: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
   4. Luas: 1,7204774… × 0 = 0
   5. Sudut dalam: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   Nol adalah masukan yang sah dan bukan kotak kosong, dan baris ini membuat sifat sudut dalamnya paling terang: segi lima bersisi nol sudah runtuh menjadi satu titik, empat dari lima angkanya nol, dan sudut dalamnya tetap 108 derajat. Ia sifat bangunnya dan bukan sifat ukurannya, jadi ia tetap ada ketika ukurannya sudah tidak ada. Membiarkan kotaknya kosong adalah perkara yang berbeda: tanpa isi halaman ini tidak menampilkan hasil apa pun, karena tidak ada yang bisa dihitung.

Halaman ini hanya untuk segi lima beraturan: kelima sisinya sama panjang dan kelima sudutnya 108 derajat. Segi lima yang tidak beraturan — yang berbentuk rumah, atau yang memanjang — tidak punya satu panjang sisi dan tidak bisa dijelaskan dengan satu angka, dan halaman ini akan diam-diam memberi Anda segi lima beraturan dengan sisi itu, bukan memberi tahu bahwa bangun yang Anda pikirkan adalah bangun lain. Keluarannya dalam sentimeter dan sentimeter persegi, apa pun pilihan pada menu satuan, jadi sisi yang diisikan dalam inci kembali sebagai jawaban sentimeter yang harus Anda ubah sendiri. Empat angka desimal adalah lebar tampilan dan bukan klaim tentang ketelitian, dan itu sudah berlebih untuk sisi yang diukur; dua angka terakhirnya tidak bermakna kecuali masukannya memang tepat. Sudut dalamnya tepat 108 derajat dan tercetak tanpa desimal, tetapi angkanya sama pada setiap baris, jadi halaman yang tampak tidak menanggapi perubahan sisi sebenarnya belum membeku — empat dari lima angkanya bergerak. Diagonal di halaman ini hanya satu dan bukan dua, dan itu bukan kelalaian: kelima diagonal segi lima beraturan sama panjang, sehingga tidak ada pasangan panjang dan pendek untuk dicetak. Halaman ini juga dua dimensi dan tidak punya kolom untuk tebal bahan, jadi ia tidak bisa memberi volume prisma bersegi lima atau berat pelat bersegi lima, dan ia tidak mencakup bintang bersudut lima yang digambar dari diagonalnya — itu bangun yang tersusun dari beberapa segitiga, bukan satu segi lima.

Kenapa diagonal segi lima selalu 1,618 kali sisinya?

Karena bilangan itu adalah rasio emas, dan segi lima beraturan adalah salah satu tempat paling terang ia muncul. Rasio emas didefinisikan sebagai perbandingan yang membuat keseluruhan berbanding bagian yang lebih besar sama dengan bagian yang lebih besar berbanding bagian yang lebih kecil, dan diagonal segi lima saling memotong tepat dalam perbandingan itu — sehingga diagonal berbanding sisi juga menghasilkan rasio yang sama. Ia berlaku pada setiap segi lima beraturan dari ukuran apa pun, dan itulah sebabnya kolom diagonal pada tabel rujukan bisa diperiksa dengan membagi diagonal setiap baris dengan sisinya.

Kenapa halaman ini hanya menampilkan satu diagonal, sedangkan halaman segi enam dua?

Karena segi lima beraturan hanya punya satu panjang diagonal. Setiap diagonal menghubungkan dua sudut yang di antaranya ada tepat satu sudut, dan karena simetrinya kelimanya keluar sama panjang. Segi enam berbeda: dengan enam sudut ada dua rentang yang berbeda, yang melompati satu sudut dan yang membentang lurus menembus pusat, sehingga halaman itu mencetak keduanya. Mencetak diagonal panjang dan pendek untuk segi lima hanya akan mencetak angka yang sama dua kali lalu mengundang Anda mencari perbedaan yang tidak ada.

Kenapa sudut dalamnya tidak pernah berubah ketika sisinya saya ubah?

Karena sudut segi lima beraturan sudah ditentukan oleh jumlah sisinya dan tidak oleh apa pun yang lain. Sudut dalam segi banyak beraturan adalah jumlah sisi dikurangi dua, kali 180 derajat, dibagi jumlah sisi; untuk lima sisi hasilnya 108 derajat, dan panjang sisi tidak muncul di mana pun dalam perhitungan itu. Segi lima bersisi 1 dan segi lima bersisi 100 punya sudut yang sama dan hanya berbeda ukurannya. Itulah sebabnya kolom terakhir tabel rujukan berisi angka yang sama pada setiap baris, dan itulah yang membuat penyetelan mitra 54 derajat berlaku untuk setiap segi lima yang akan Anda potong.

Apa itu apotema dan kenapa berguna di halaman ini?

Apotema adalah jarak dari pusat lurus ke titik tengah sebuah sisi, dan ia jari-jari lingkaran terbesar yang muat di dalamnya. Untuk segi lima ia angka yang dipakai menandai bangunnya: dua kali apotema adalah lebar pada sisi datarnya, dan sisi datar mudah dilewati meteran sedangkan sudut tidak. Kalau Anda menandai segi lima di atas sebuah lembaran, ukurkan apotemanya keluar dari pusat sebanyak lima kali dan Anda sudah mendapat titik tengah kelima sisinya.

Apakah segi lima beraturan bisa menutup lantai tanpa celah?

Tidak, dan ia satu-satunya bangun di keluarga ini yang tidak bisa. Tiga segi lima beraturan di sekeliling satu titik meninggalkan celah, karena tiga kali 108 derajat adalah 324 sedangkan satu putaran penuh 360 — kekurangan 36 derajat itu tidak pernah terisi. Itulah sebabnya lantai bersegi lima membutuhkan bangun kedua sebagai pengisi, dan itulah sebabnya segi lima lebih sering menjadi hiasan daripada struktur sementara segi enam, yang menutup sempurna, justru menjadi bentuk ubin dan sarang lebah.

Bisakah sisinya nol, dan apakah itu sama dengan membiarkan kotaknya kosong?

Nol adalah masukan yang sungguhan: empat dari lima keluarannya kembali sebagai nol, yang memang jawaban jujur untuk segi lima tanpa ukuran, dan sudut dalamnya tetap 108 derajat karena ia sama sekali tidak bergantung pada ukuran. Kotak yang kosong berbeda — tanpa isi, halaman ini tidak menampilkan hasil apa pun, karena tidak ada yang bisa dihitung. Perbedaan itu berguna saat Anda mengetik, sebab mengosongkan kotak untuk mengetik ulang angka seharusnya tidak memunculkan sederet nol.

• Pentagon — the five-sided polygon, with the area, the apothem, the diagonal and the 108-degree interior angle this page computes, and the golden-ratio proportion its diagonals cut each other in — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular pentagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)