Kalkulator Rata-rata Aritmetika

Rata-rata = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Satu bilangan pada daftar. Nilainya boleh negatif — suhu, saldo, simpangan dari sebuah target — dan boleh berupa desimal atau pecahan; hanya jumlah dan banyak datanya yang masuk ke rumus, jadi tidak ada yang perlu diurutkan lebih dulu

Σx

Jumlah seluruh nilai, dicetak di panel hasil. Ia adalah pembilangnya, dan ia yang membawa satuan: jumlah menit diukur dalam menit, dan rata-rata yang keluar dari situ juga

n

Banyaknya nilai, juga dicetak. Ia adalah penyebutnya, dan dari situlah rata-rata ini mendapat maknanya — totalnya dibagi rata ke seluruh nilai, jadi jawabannya adalah berapa setiap nilai kalau semuanya mendapat jumlah yang sama

Σx ÷ n

Satu pembagian itu, ditulis di panel dengan angka yang sebenarnya. Memeriksanya adalah alasan jumlah dan banyak data ditampilkan terpisah: kalau jawabannya terlihat salah, baris inilah yang menunjukkan apakah jumlahnya salah ketik atau banyak datanya

Pakailah rata-rata aritmetika untuk besaran yang memang dijumlahkan, dan ketika setiap nilai harus dihitung setara. Itu mencakup sebagian besar kejadian sehari-hari: nilai ujian rata-rata di satu kelas, harga rata-rata sekeranjang belanjaan, waktu rata-rata yang diperlukan sebuah tugas, suhu rata-rata selama sebulan. Rata-rata ini juga angka yang membuat totalnya keluar dengan benar — jumlah simpangan dari angka itu tepat nol — dan itulah sebabnya ia menjadi ringkasan alami sebuah total, sekaligus masukan bagi hampir semua perhitungan statistika yang lain. Pakai cara lain kalau nilai-nilainya tidak sama pentingnya, yaitu rata-rata tertimbang; kalau nilainya dikalikan bukan dijumlahkan, seperti laju pertumbuhan dan perbandingan, yaitu rata-rata geometri; kalau yang diukur adalah laju pengerjaan, yaitu rata-rata harmonik; dan kalau beberapa nilai ekstrem akan menyeret jawabannya menjauh dari kasus yang umum, yaitu median. Rata-rata aritmetika peka terhadap pencilan sejak dari rumusnya, karena setiap nilai menariknya sebanding dengan jaraknya, dan kepekaan itu kadang menjadi alasan memakainya dan kadang menjadi alasan menghindarinya.

1. Lima nilai ujian

   1. Jumlahkan nilainya: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Hitung banyaknya: ada 5 nilai
   3. Bagi: 433 ÷ 5 = 86,6

   Panel menuliskan pembagian itu selengkapnya — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000 — sehingga jawabannya bisa diperiksa tanpa mengulang penjumlahannya, dan penyebutnya terlihat jelas sebagai banyak data, bukan sesuatu yang lain. Jumlah 433 itu sendiri layak diperhatikan: itulah total yang dikumpulkan kelas tersebut, dan rata-ratanya adalah nilai yang akan diperoleh setiap siswa kalau total itu dibagi rata. Daftar lima angka ini adalah nilai bawaan di keempat halaman kelompok ini, jadi berpindah dari satu halaman ke halaman lain memberi data yang sama di bawah rata-rata yang berbeda: 86,6 adalah rata-rata aritmetikanya, dan rata-rata tertimbang, geometri, serta harmonik semuanya lebih rendah daripada angka itu untuk daftar ini.

2. Daftar yang memuat nilai negatif

   1. Jumlahkan nilainya: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Ada 3 nilai
   3. Bagi: −3 ÷ 3 = −1

   Nilai negatif adalah masukan yang biasa: suhu di bawah nol, saldo yang minus, bacaan yang diukur relatif terhadap sebuah acuan. Panel menulis jumlahnya sebagai (−5 − 1 + 3) dan bukan (−5 + −1 + 3), yang sebenarnya sama saja tetapi terbaca seperti orang mengucapkannya. Perhatikan bahwa jawabannya, −1, berada di antara nilai terkecil dan nilai terbesar, seperti yang selalu harus terjadi pada sebuah rata-rata — rata-rata yang jatuh di luar rentang datanya adalah tanda ada yang salah ketik. Jawaban itu juga tidak harus salah satu nilai pada daftar, dan untuk daftar ini memang bukan.

3. Dua nilai desimal

   1. Jumlahkan nilainya: 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. Ada 2 nilai
   3. Bagi: 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Desimal di sini ditulis dengan tanda koma, dan sebuah nilai boleh ditulis dengan berapa pun banyaknya angka — tidak ada yang dibulatkan saat masuk. Jawabannya ditampilkan sampai empat angka desimal, yang untuk pasangan ini menambahkan satu nol di belakang: 0,3750 dan bukan 0,375. Penambahan itu disengaja dan bukan klaim ketelitian; itulah yang membuat panel hasil sejajar dengan pembagian yang ditulis di atasnya, dan itulah banyak angka desimal yang dipakai setiap hasil di halaman ini.

4. Delapan nilai, ditulis dengan Σ

   1. Jumlahkan nilainya: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Ada 8 nilai
   3. Bagi: 40 ÷ 8 = 5

   Daftar ini lebih panjang daripada enam nilai, jadi baris langkah demi langkah beralih ke bentuk singkat: Σx / 8 = 5.0000 alih-alih menuliskan kedelapan angkanya. Simbol Σ itu sama dengan yang dipakai blok rumus, dan artinya persis apa yang dimaksud baris panjang tadi — jumlahkan semuanya — sehingga tidak ada yang hilang, dan daftar berisi dua ratus nilai tidak menghasilkan baris sepanjang dua ratus angka. Peralihannya terjadi di atas enam nilai dan bukan pada jumlah yang lain: di bawah itu baris panjangnya masih cukup pendek untuk lebih berguna, dan pada enam nilai pun masih begitu.

Daftarnya harus memuat paling sedikit satu nilai dan paling banyak dua ratus nilai, dan tulisan yang bukan angka ditolak alih-alih dilewati — daftar 1, 2, dan abc ditolak, bukan dirata-ratakan dari dua angka yang bisa dibaca. Tanda koma di antara angka juga ditolak, karena koma adalah pemisah desimal di sebagian besar dunia dan menebak konvensi mana yang dimaksud akan diam-diam mengubah jawabannya dengan faktor seribu; aturan penulisannya dijelaskan oleh pesan di panel atas. Tidak ada pembulatan saat masuk: nilainya dipakai persis seperti yang diketik, dan hanya hasil cetaknya yang dipatok pada empat angka desimal, sehingga daftar panjang berisi angka banyak digit menghasilkan jawaban yang benar tetapi bisa tercetak sama dengan jawaban daftar di sebelahnya. Rata-rata ini tidak punya batas atas atau bawah sebagai acuan — ia akan memberi jawaban untuk daftar suhu maupun daftar harga tanpa tahu mana yang sedang dilihatnya, dan tidak bisa tahu bahwa keduanya tidak pantas dicampur dalam satu daftar. Terakhir, rata-rata ini tidak tahan pencilan: satu nilai yang sangat besar menggesernya cukup jauh, dan setiap nilai menariknya sebanding dengan jarak nilai itu dari jawabannya.

Bagaimana cara mencari rata-rata dari daftar bilangan?

Jumlahkan angka-angkanya, hitung ada berapa banyak, lalu bagi totalnya dengan banyak data itu. Untuk kelima nilai ujian di halaman ini totalnya 433 dan banyaknya 5, jadi rata-ratanya 433 ÷ 5 = 86,6. Jumlah dan banyak datanya sama-sama dicetak di panel hasil di samping jawabannya, sehingga pembagian itu bisa diperiksa tanpa mengulang penjumlahannya sendiri.

Apa bedanya rata-rata dan rerata?

Dalam pemakaian sehari-hari keduanya angka yang sama, dan halaman ini memakai kedua kata itu bergantian. Dalam tulisan yang lebih cermat, rata-rata adalah istilah umum untuk nilai tengah apa pun — rata-rata aritmetika, median, dan modus semuanya rata-rata — sedangkan rata-rata aritmetika menunjuk satu perhitungan tertentu, yaitu menjumlahkan nilai lalu membaginya dengan banyak data, dan nama itulah yang dipakai untuk membedakannya dari rata-rata geometri dan harmonik.

Bisakah rata-ratanya berupa angka yang tidak ada di daftar?

Bisa, dan biasanya memang begitu. Tidak ada bagian mana pun dari perhitungannya yang menuntut jawabannya menjadi salah satu nilai: rata-rata dari 1 dan 2 adalah 1,5, yang tidak ada pada daftar itu, dan rata-rata kelima nilai ujian di sini adalah 86,6, yang juga bukan salah satu dari kelima nilai tersebut. Yang dijamin adalah jawabannya jatuh di antara nilai terkecil dan nilai terbesar, dan hanya kebetulan mendarat tepat pada salah satunya.

Bagaimana menghitung rata-rata bilangan negatif?

Caranya persis sama seperti untuk bilangan positif: jumlahkan semuanya, lalu bagi dengan banyak data. Tanda plus dan minus mengurus dirinya sendiri di dalam penjumlahan, jadi −5, −1, dan 3 berjumlah −3, dan dibagi 3 hasilnya −1. Panel menulis jumlah itu dengan tanda minus di antara suku-sukunya, bukan tanda plus di depan bilangan negatif — hitungan yang sama, ditulis seperti orang mengucapkannya.

Mengapa hasilnya menampilkan empat angka desimal?

Karena setiap hasil di halaman ini dicetak pada empat angka desimal yang tetap, dan jumlah angka yang tetap itulah yang membuat panelnya bisa dibandingkan dari satu masukan ke masukan berikutnya — 0,375 ditampilkan sebagai 0,3750 agar sejajar dengan pembagian yang ditulis di atasnya. Itu bukan klaim bahwa jawabannya teliti sampai empat angka; nilai di baliknya menyimpan ketelitian penuh hasil perhitungan, dan hanya tampilannya yang dipatok.

Kapan rata-rata aritmetika justru bukan pilihan yang tepat?

Kalau nilai-nilainya tidak sama pentingnya, kalau nilainya dikalikan bukan dijumlahkan, atau kalau beberapa nilai ekstrem akan menyeret jawabannya menjauh dari kasus yang umum. Kepentingan yang tidak sama meminta rata-rata tertimbang; laju pertumbuhan dan perbandingan, yang berbunga majemuk, meminta rata-rata geometri; laju seperti kecepatan pada jarak tetap meminta rata-rata harmonik; dan daftar yang miring, tempat kasus umum lebih penting daripada totalnya, meminta median.

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)