Kalkulator Rata-rata Harmonik

Rata-rata harmonik = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Satu nilai pada daftar, dan setiap nilai harus lebih besar dari nol. Nilai nol membuat 1/x tak hingga, sehingga jumlah kebalikannya tak hingga dan jawaban yang keluar justru nol yang terlihat seperti hasil; nilai negatif dapat membuat penyebutnya nol atau mendorong jawaban ke luar rentang datanya sendiri

1/xᵢ

Kebalikan sebuah nilai — laju yang diubah menjadi waktu, atau waktu yang diubah menjadi laju. Langkah inilah yang membuat rata-rata harmonik berperilaku sangat berbeda dari dua rata-rata lainnya: nilai kecil punya kebalikan besar dan paling kuat menarik jawabannya, dan memang begitulah seharusnya kalau nilai kecil itu kecepatan lambat yang menelan sebagian besar waktu perjalanan

Σ(1/xᵢ)

Jumlah seluruh kebalikan, dan menjadi penyebut pecahannya. Inilah yang ditulis panel suku demi suku ketika daftarnya pendek, karena penjumlahan ini adalah inti perhitungannya: sisanya cuma satu pembagian di akhir

n

Banyaknya nilai, dicetak di panel hasil. Ia mengalikan balik apa yang tadi dibagi oleh kebalikannya — tanpa itu jawabannya menjadi kebalikan dari sebuah rata-rata, bukan sebuah rata-rata

Pakailah rata-rata harmonik kalau yang tetap adalah pembilangnya dan yang berubah adalah penyebutnya: jarak tetap yang ditempuh dengan kecepatan berbeda, sejumlah pekerjaan tetap yang diselesaikan dengan laju berbeda, tegangan tetap pada resistor yang nilainya berbeda. Kasus klasiknya perjalanan dua arah — berangkat 30 dan pulang 60 menghasilkan 40, karena perjalanan pulang hanya memakan separuh waktu perjalanan pergi, sehingga kecepatan yang lambat mendapat dua kali lebih banyak waktu untuk menekan hasilnya. Merata-ratakan kedua kecepatan secara aritmetika memberi 45, dan 45 itu benar kalau separuh waktunya ditempuh pada masing-masing kecepatan; pertanyaannya harus jelas dulu yang mana. Struktur yang sama berlaku untuk konsumsi bahan bakar pada dua etape perjalanan, harga rata-rata yang sebenarnya dibayar ketika anggaran tetap dibelanjakan pada dua harga berbeda, dan hambatan paralel, yang totalnya adalah kebalikan dari jumlah kebalikannya. Jangan dipakai pada besaran yang memang dijumlahkan: untuk nilai ujian, tinggi badan, atau jumlah uang, rata-rata harmonik hanyalah angka yang lebih kecil tanpa tafsir di belakangnya, dan makin beragam nilainya makin jauh ia di bawah rata-rata aritmetika.

1. Lima nilai ujian

   1. Balik setiap nilai: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Jumlahkan semuanya: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Bagi banyak data dengan jumlah kebalikannya — 0,057931 yang sudah dibulatkan di atas tidak membagi balik ke jawaban tercetak: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   Panel sengaja tidak mencetak jumlah antara 0,057931 itu: angka tersebut sudah dibulatkan, dan 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, sehingga pembaca yang memeriksa hitungannya dengan angka itu akan mendapat jawaban yang berbeda dari yang ada di panel. Yang ditampilkan justru bentuk lengkapnya, yang mengatakan apa yang dikerjakan tanpa mengundang pembagian yang tidak menghasilkan angka yang sama. Contoh ini sekaligus melengkapi rangkaian di situs ini: untuk kelima angka tersebut rata-rata harmoniknya 86,3118, rata-rata geometrinya 86,458, dan rata-rata aritmetikanya 86,6 — ketiganya berdiri dalam urutan yang dijanjikan pertidaksamaan itu, dan jarak antara ketiganya adalah bacaan tentang seberapa tidak rata daftarnya.

2. Berangkat 30, pulang 60 — kecepatan rata-ratanya 40

   1. Balik kedua nilai: 1/30 = 0,033333 dan 1/60 = 0,016667
   2. Jumlahkan keduanya: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Bagi banyak data dengan jumlah itu: 2 ÷ 0,05 = 40

   Inilah contoh yang membuat seluruh halaman ini ada. Berkendara 60 mil pergi dengan 30 mph dan 60 mil pulang dengan 60 mph: perjalanan pergi memakan dua jam dan perjalanan pulang satu jam, jadi tiga jam untuk 120 mil, yaitu 40 mph. Rata-rata aritmetika dari 30 dan 60 adalah 45, dan 45 akan benar kalau satu jam ditempuh pada masing-masing kecepatan — itu pertanyaan tentang waktu, sedangkan yang ini tentang jarak. Sebaliknya, 30 pergi dan 30 pulang tetap 30, karena tidak ada yang bisa diperselisihkan kedua cara itu ketika nilainya sama.

3. Tiga nilai: 1, 2, dan 4

   1. Balik setiap nilai: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Jumlahkan semuanya: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Bagi banyak data dengan jumlah itu: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   Kebalikannya berjalan berlawanan arah dengan nilainya, dan itulah watak seluruh rata-rata ini: 1 adalah nilai terkecil di daftar dan menyumbang suku terbesar, 1, sedangkan 4 adalah nilai terbesar dan menyumbang suku terkecil, 0,25. Jawabannya karena itu jauh di bawah rata-rata aritmetika 2,3333 dan lebih dekat ke ujung kecil daftarnya. Nilai di sini membentuk deret geometri — masing-masing dua kali nilai sebelumnya — dan daftar seperti itu adalah tempat ketiga rata-rata paling lebar berpisah: 1,7143, lalu 2 sebagai rata-rata geometri, lalu 2,3333.

4. Melewati angka 1: kebalikannya membalik urutan

   1. Balik kedua nilai: 1/0,5 = 2 dan 1/2 = 0,5
   2. Jumlahkan keduanya: 2 + 0,5 = 2,5
   3. Bagi banyak data dengan jumlah itu: 2 ÷ 2,5 = 0,8

   Nilai di bawah 1 punya kebalikan di atas 1, jadi nilai yang lebih kecil dari pasangan ini menghasilkan suku yang lebih besar dan menguasai penyebutnya: 0,5 menyumbang 2, sedangkan 2 hanya menyumbang 0,5. Rata-rata harmoniknya karena itu mendarat di 0,8, dekat nilai yang kecil, sementara rata-rata aritmetika 1,25 duduk di antara keduanya. Membalik urutan pengerjaannya — membagi jumlah dengan banyak data, bukan banyak data dengan jumlah — menghasilkan 1,25, yaitu rata-rata aritmetika, dan angka itu terlihat sepenuhnya masuk akal di panel; karena itu urutannya penting, dan pasangan ini adalah tempat kesalahan itu paling jelas kelihatan.

5. Delapan nilai, ditulis dengan Σ

   1. Balik setiap nilai: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Jumlahkan semuanya: 2,717857
   3. Bagi banyak data dengan jumlah itu: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Di atas enam nilai, baris langkah demi langkah beralih ke bentuk singkat, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2,9435, karena setiap kebalikan panjangnya paling sedikit empat karakter dan daftar berisi dua ratus nilai akan menghasilkan baris yang jauh lebih dari seribu karakter. Bentuk singkat itu tetap memuat satu-satunya hal yang tidak bisa ditebak, yaitu ke arah mana pecahannya dibalik. Jarak di contoh ini yang paling lebar di halaman ini: 2,9435 melawan rata-rata aritmetika 4,5, karena kedelapan nilai itu tersebar merata pada rentang delapan kali, dan rata-rata harmonik adalah rata-rata yang paling terpengaruh oleh ujung kecil sebuah daftar.

Setiap nilai harus lebih besar dari nol, dan halaman ini menolak daftar yang memuat nol atau bilangan negatif. Nol adalah yang paling berbahaya, karena kebalikan dari nol tak hingga, sedangkan jawaban yang keluar dari rumusnya justru nol biasa — angka yang terlihat seperti hasil, bukan seperti kegagalan. Nilai negatif dapat membuat jumlah kebalikannya menjadi nol, yang berarti pembagian dengan nol, atau mendorong jawabannya ke luar rentang nilai datanya sendiri. Rata-rata ini hanya bermakna kalau ada total tetap yang dibagi-bagikan, seperti jarak tetap yang ditempuh dengan kecepatan berbeda atau anggaran tetap yang dibelanjakan pada harga berbeda; kalau dikenakan pada nilai ujian, tinggi badan, atau jumlah uang, hasilnya angka yang lebih kecil tanpa tafsir apa pun, dan makin beragam nilainya makin jauh ia di bawah rata-rata aritmetika. Jumlah kebalikan yang ada di tengah hanya terlihat sudah dibulatkan kalau Anda menjumlahkannya sendiri — panel justru mencetak bentuk lengkapnya, tepat karena nilai antara yang sudah dibulatkan tidak akan membagi balik ke jawaban yang tercetak. Daftarnya dibatasi 200 nilai; tulisan angka yang ambigu ditolak alih-alih diduga-duga, dan aturan penulisannya dijelaskan oleh pesan di panel atas.

Bagaimana cara menghitung rata-rata harmonik?

Balik setiap nilai, jumlahkan semua kebalikannya, lalu bagi banyaknya data dengan jumlah itu. Untuk 30 dan 60 kebalikannya 0,033333 dan 0,016667, jumlahnya 0,05, dan 2 ÷ 0,05 = 40. Urutannya penting: banyak data dibagi jumlah, bukan jumlah dibagi banyak data, dan kalau terbalik hasilnya justru rata-rata aritmetika.

Mengapa rata-rata harmonik lebih kecil daripada dua rata-rata lainnya?

Karena membalik nilai membalik urutannya, lalu setiap nilai menyumbang sebanding dengan kecilnya nilai itu. Nilai kecil punya kebalikan besar yang menaikkan penyebut, dan penyebut yang tinggi menekan hasilnya; efeknya makin kuat makin berjauhan nilainya. Untuk nilai yang sama ketiga rata-rata bertemu; makin lebar sebarannya, makin jauh rata-rata harmonik di bawah rata-rata geometri, yang juga di bawah rata-rata aritmetika.

Mengapa kecepatan rata-ratanya 40 dan bukan 45?

Karena kedua etape perjalanan memakan waktu yang berbeda. Pada jarak yang sama dengan kecepatan 30 dan 60, etape yang lebih lambat memakan dua kali lebih lama, jadi ia mendapat dua kali lebih banyak pengaruh: dua jam dengan 30 ditambah satu jam dengan 60 adalah 120 mil dalam tiga jam, yaitu 40 mph. Angka 45 adalah rata-rata aritmetika, dan ia menjawab pertanyaan yang lain — kecepatan rata-rata ketika waktu yang dihabiskan pada masing-masing kecepatan sama, bukan jaraknya.

Kapan sebaiknya dipakai alih-alih rata-rata biasa?

Kalau yang tetap adalah totalnya dan yang berubah adalah lajunya — jarak tetap dengan kecepatan berbeda-beda, sejumlah pekerjaan tetap yang dikerjakan mesin dengan laju berbeda, anggaran tetap yang dibelanjakan pada harga berbeda, tegangan tetap pada resistor yang nilainya berbeda. Kalau isinya justru besaran yang memang dijumlahkan, atau sekumpulan nilai yang masing-masing harus dihitung setara, rata-rata aritmetika yang benar dan rata-rata harmonik hanya akan memberi angka yang lebih kecil tanpa tafsir.

Apa hubungannya dengan hambatan paralel?

Sangat dekat: hambatan total resistor yang dipasang paralel adalah kebalikan dari jumlah kebalikannya, yaitu rumus ini tanpa perkalian terakhir dengan banyak data. Dua resistor 10 ohm yang diparalelkan menghasilkan 5 ohm, sedangkan rata-rata harmonik 10 dan 10 di halaman ini adalah 10 — kebalikannya saling menghapus, karena rata-rata harmonik dari daftar yang nilainya sama adalah nilai itu sendiri, begitu pula rata-rata aritmetika dan geometrinya. Yang menarik justru nilai yang tidak sama: hambatan total paralel selalu lebih kecil daripada resistor terkecil, persis seperti rata-rata harmonik yang selalu di bawah nilai terkecil pada daftarnya.

Bolehkah nilainya kurang dari 1?

Boleh, selama semuanya lebih besar dari nol. Nilai di bawah 1 punya kebalikan di atas 1, jadi nilai seperti itu menyumbang suku terbesar dan jawabannya mendarat dekat nilai tersebut: untuk 0,5 dan 2 rata-rata harmoniknya 0,8, jauh di bawah rata-rata aritmetika 1,25. Itu aturan yang sama seperti di bagian lain halaman ini, dibaca dari arah sebaliknya — nilai yang kecil yang menarik, di sisi mana pun ia berada relatif terhadap 1.

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)