Kalkulator Rata-rata Geometri

Rata-rata geometri = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(rata-rata(ln xᵢ))

xᵢ

Satu nilai dalam daftar, dan setiap nilai di dalamnya harus lebih besar daripada nol. Satu buah nol membuat hasil kalinya nol dan jawabannya nol apa pun isi sisa daftarnya; nilai negatif membuat akar berindeks genap dari hasil kali negatif, yang sama sekali bukan bilangan

n

Banyaknya nilai, dan angkanya dicetak pada panel hasil. Bilangan ini menjadi indeks akarnya: dua nilai menarik akar kuadrat, tiga nilai akar pangkat tiga, lima nilai akar pangkat lima. Salah menghitungnya adalah cara paling umum perhitungan tangan ini keliru, jadi angkanya ditampilkan alih-alih diserahkan pada Anda untuk menghitungnya dari daftar

x₁ · x₂ · … · xₙ

Hasil kali seluruh nilai. Hanya hasil kalinya yang berpengaruh, dan karena itulah jawabannya tidak bergantung pada urutan penulisan nilainya — dan karena itulah daftar berisi dua nilai menghasilkan akar kuadrat dari hasil kalinya, seperti yang sudah lazim dikenal

rata-rata(ln xᵢ)

Cara lain menuliskan hal yang sama, dan cara inilah yang sebenarnya dipakai kalkulator: ambil logaritma natural setiap nilai, rata-ratakan, lalu batalkan logaritmanya. Hasilnya sama dengan mengalikan lebih dulu, tanpa risiko luapan bilangan yang dihadapi perkalian daftar panjang berisi nilai besar

Pakailah rata-rata geometri ketika angkanya saling mengalikan dan bukan saling menjumlah — persentase yang berlipat, rasio, tingkat indeks, faktor pertumbuhan. Dana yang naik 10%, naik 20%, lalu turun 10% mengakhiri tiga tahun dengan kenaikan 18,8%, yaitu 1,1 × 1,2 × 0,9; faktor pertumbuhan tahunan majemuknya adalah akar pangkat tiga dari angka itu, 1,0591, sehingga angka tahunan yang jujur adalah 5,91% dan bukan 6,67% yang diberikan rata-rata biasa dari ketiga persentase tadi. Penalaran yang sama berlaku untuk apa pun yang diukur pada skala perkalian: jumlah bakteri, magnitudo gempa, ukuran sekumpulan benda yang membentang beberapa orde besaran, dan sekumpulan rasio seperti perbandingan harga terhadap laba yang tanpa itu akan didominasi satu nilai ekstrem. Jangan pakai rata-rata geometri untuk nilai yang bisa dijumlahkan — daftar suhu, nilai ujian, atau harga tidak punya hasil kali yang bermakna, dan rata-rata geometrinya akan menjadi bilangan tanpa tafsir. Perbandingan yang perlu diingat adalah bahwa rata-rata geometri selalu yang lebih rendah di antara keduanya, dan semakin rendah bila nilainya semakin berbeda, sehingga selisih keduanya menjadi ukuran kasar seberapa tidak rata daftar itu.

1. Lima nilai ujian

   1. Kalikan nilainya: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4.830.883.200
   2. Nilainya ada 5, jadi tarik akar pangkat lima: ⁵√4.830.883.200 = 86,458
   3. Rata-rata aritmetika daftar yang sama adalah 86,6

   Kedua jawabannya berselisih 0,142, dan selisih itu kecil karena kelima nilai ini berdekatan — rata-rata geometri turun di bawah rata-rata aritmetika sebesar yang bertambah mengikuti ketimpangan daftarnya. Ketaksamaan itu bukan akibat pembulatan: untuk nilai positif, rata-rata geometri tidak akan pernah melampaui rata-rata aritmetika, dan keduanya baru sama ketika semua nilainya identik. Nilai ujian sesungguhnya bukan besaran perkalian, jadi contoh ini ada untuk memperlihatkan mekanismenya dan bukan pemakaian yang wajar; imbal hasil dana pada contoh berikutnya adalah kegunaan alat ini yang sebenarnya.

2. Dana yang naik 10%, naik 20%, lalu turun 10%

   1. Kalikan faktor pertumbuhannya: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Faktornya ada 3, jadi tarik akar pangkat tiga: ³√1,188 = 1,0591
   3. Rata-rata aritmetikanya 1,0667 — lebih tinggi, dan salah untuk pertanyaan ini

   Ketiga tahun itu bersama-sama naik 18,8%, dan 1,188 adalah satu-satunya bilangan yang mengatakan demikian. Faktor tahunan rata-ratanya adalah bilangan yang bila dikalikan berulang selama tiga tahun menghasilkan 1,188, yaitu akar pangkat tiganya, 1,0591 — laju pertumbuhan tahunan majemuk sebesar 5,91%. Rata-rata biasa dari ketiga persentase tadi memberi 6,67%, dan alasan angka itu terlalu tinggi adalah karena persentase tidak saling menjumlah: penurunan 10% membatalkan lebih banyak daripada kenaikan 10%, sebab ia dihitung dari dasar yang lebih besar. Selisih di sini 0,76 poin persen per tahun, dan selama dua puluh tahun itu menjadi perbedaan antara portofolio yang menjadi tiga kali lipat dan yang menjadi 3,6 kali lipat.

3. Dua bilangan: rata-rata proporsional

   1. Kalikan kedua nilainya: 2 × 8 = 16
   2. Nilainya ada 2, jadi tarik akar kuadrat: √16 = 4
   3. Rata-rata aritmetika pasangan yang sama adalah 5

   Dengan dua nilai, rata-rata geometrinya adalah akar kuadrat dari hasil kalinya, yaitu bilangan yang oleh ahli geometri zaman dahulu disebut rata-rata proporsional: 2 berbanding 4 sama dengan 4 berbanding 8. Ia juga merupakan sisi persegi yang luasnya sama dengan persegi panjang berukuran 2 kali 8 — luasnya 16 pada kedua bangun — sedangkan rata-rata aritmetikanya, 5, adalah sisi persegi dengan keliling yang sama, yaitu persegi 5 kali 5 yang luasnya 25. Inilah kasus paling jelas ketika kedua rata-rata itu berbeda pendapat, dan ia menunjukkan mengapa rata-rata geometri menjadi jawaban yang tepat untuk pertanyaan tentang luas, skala, atau pertumbuhan, sedangkan rata-rata aritmetika untuk pertanyaan tentang jumlah total.

Setiap nilai harus lebih besar daripada nol, dan halaman ini menolak daftar yang memuat nol atau bilangan negatif alih-alih mengembalikan sesuatu yang tidak bermakna — satu buah nol saja membuat hasil kalinya nol dan jawabannya nol apa pun isi sisa daftarnya, sedangkan akar berindeks genap dari hasil kali negatif bukan bilangan real. Untuk daftar dengan banyak bilangan negatif yang ganjil sebenarnya ada jawaban real, tetapi tanda rata-rata geometri yang dibangun dari bilangan negatif tidak punya tafsir, sehingga daftar semacam itu juga ditolak, dan jalan keluarnya adalah bekerja dengan faktor pertumbuhannya dan bukan dengan perubahan persentasenya. Rata-rata ini hanya bermakna untuk besaran yang saling mengalikan; untuk nilai ujian, suhu, atau harga ia merupakan perhitungan yang sah tetapi tidak berguna dibaca, dan itulah sebabnya rata-rata aritmetika dicetak di sampingnya alih-alih digantikan. Rata-rata ini tidak bisa dipakai ketika sebagian nilainya nol, sehingga rangkaian imbal hasil yang memuat kerugian total tidak tercakup. Daftarnya dibatasi 200 nilai; tulisan angka yang ambigu ditolak alih-alih diduga-duga, dan aturan penulisannya dijelaskan oleh pesan di panel atas. Panel di atas mencetak angkanya dengan titik sebagai tanda desimal, sedangkan teks di halaman ini memakai koma sesuai kaidah bahasa Indonesia.

Bagaimana cara menghitung rata-rata geometri?

Kalikan semua nilainya, lalu tarik akar yang indeksnya sebanyak banyaknya nilai. Untuk 2 dan 8 hasil kalinya 16 dan nilainya ada dua, jadi rata-rata geometrinya √16 = 4; untuk lima nilai Anda menarik akar pangkat lima. Kalkulator melakukan hal yang sama lewat logaritma, yaitu merata-ratakan logaritmanya lalu membatalkan logaritmanya di akhir, dan cara itu menghindari hasil kali antara yang sangat besar.

Mengapa rata-rata geometri lebih rendah daripada rata-rata aritmetika?

Karena perkalian memperlakukan penurunan dan kenaikan secara tidak simetris. Nilai yang turun 10% lalu naik 10% berakhir di bawah titik awalnya, yaitu 1,1 × 0,9 = 0,99, sehingga setiap daftar yang bergerak ke dua arah akan memiliki rata-rata geometri di bawah rata-rata aritmetikanya. Keduanya hanya sama ketika semua nilainya sama, dan semakin berjauhan nilainya semakin lebar selisihnya — itulah sebabnya perbedaan antara kedua angka itu sendiri merupakan bacaan kasar tentang seberapa tidak rata daftarnya.

Kapan sebaiknya memakai rata-rata geometri dan bukan rata-rata aritmetika?

Ketika nilainya saling mengalikan dan bukan saling menjumlah. Laju pertumbuhan, persentase yang berlipat dari tahun ke tahun, rasio, dan tingkat indeks semuanya bersifat perkalian, dan merata-ratakannya dengan rata-rata biasa akan melebihkan jawabannya. Besaran yang saling menjumlah — nilai ujian, suhu, harga, banyaknya benda — bersifat penjumlahan, dan rata-rata aritmetika yang tepat untuk itu. Uji yang berguna adalah apakah menggandakan setiap nilai seharusnya menggandakan jawabannya: kalau ya, besaran itu bersifat perkalian.

Bisakah dipakai pada daftar yang memuat nol atau bilangan negatif?

Tidak, dan halaman ini menolaknya. Satu buah nol saja mendorong hasil kalinya ke nol, sehingga jawabannya akan nol apa pun isi sisa daftarnya, dan itu bukan rata-rata dari apa pun. Nilai negatif memberi hasil kali negatif, dan akar berindeks genap dari bilangan itu bukan bilangan real. Jalan keluar yang praktis untuk rangkaian perubahan persentase yang memuat kerugian total adalah bekerja dengan faktor pertumbuhannya — 0,5 untuk kerugian 50% — dan menerima bahwa faktor nol, yaitu kerugian total, tidak punya rata-rata geometri sama sekali.

Apa bedanya dengan laju pertumbuhan tahunan majemuk?

Laju pertumbuhan tahunan majemuk adalah rata-rata geometri dari faktor pertumbuhan tiap tahun, yang dinyatakan sebagai persentase. Kalau sebuah investasi berlipat 1,1; 1,2; dan 0,9 selama tiga tahun, hasil kalinya 1,188, akar pangkat tiganya 1,0591, dan pertumbuhan tahunan majemuknya 5,91%. Semuanya di kalkulator ini sudah berbentuk seperti itu: masukkan faktornya dan bukan persentasenya, maka angka yang ditampilkan panel adalah faktor pertumbuhan yang persentasenya adalah laju tersebut.

Apakah urutan nilainya berpengaruh?

Tidak. Rata-rata geometri dibangun dari hasil kali dan banyaknya nilai, dan perkalian tidak peduli pada urutan, jadi 2; 8; 4 memberi jawaban yang sama dengan 8; 4; 2. Hal itu perlu diketahui karena rata-rata geometri sering menggambarkan rangkaian dalam waktu — imbal hasil selama beberapa tahun — dan jawabannya sengaja dibuat buta terhadap tahun baik mana yang datang lebih dahulu. Ia menjawab seperti apa tahun rata-ratanya, bukan apa yang terjadi pada tahun tertentu.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)