Kalkulator Gaya Gravitasi

gaya gravitasi = G × m₁ × m₂ / r²

G

Tetapan gravitasi, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Ia tetapan yang paling tidak presisi pengukurannya di seluruh fisika — nilai yang direkomendasikan membawa ketidakpastian relatif 2,2 × 10⁻⁵, empat orde besaran atau lebih lebih buruk daripada tetapan yang paling tidak dikenal berikutnya — jadi angka terakhir dari jawaban apa pun di halaman ini tidak bermakna, dan tidak ada masukan yang bisa Anda ketik yang mengubahnya

m₁

Massa benda pertama, dalam kilogram. Kolomnya juga menerima gram, ton, dan lb, dan yang diminta harus massa dan bukan berat: dua orang 70 kg di sini semata-mata dua kuantitas materi. Nilainya harus positif, karena sesuatu yang tidak bermassa tidak memberikan gaya gravitasi

m₂

Massa benda kedua, dalam satuan yang sama dan dengan aturan yang sama. Kedua massanya masuk ke rumus dalam keadaan saling dikalikan, jadi keduanya bisa ditukar — menukarnya tidak mengubah apa pun, dan itulah sebabnya halaman ini tidak perlu cara untuk menyatakan mana yang mana

r

Jarak antara kedua titik pusat massanya, dalam meter, bukan celah antara kedua permukaannya. Satelit yang berada 400 km di atas tanah berjarak 6.771 km dari pusat Bumi, dan angka kedua itulah yang diminta persamaannya. Kolomnya juga menerima kilometer, sentimeter, kaki, dan mil, dan nilainya harus positif

F

Gaya gravitasi yang dikerahkan kedua benda satu sama lain, dalam newton dan lbf, dalam notasi ilmiah. Ia satu gaya dan bukan dua: Bumi menarik Anda dengan 687 N dan Anda menarik Bumi dengan 687 N ke arah sebaliknya. Baris keluaran keduanya adalah angka yang sama yang dikonversi satuan, bukan hasil kedua

Pakai halaman ini kalau Anda punya dua massa dan jarak di antaranya lalu ingin tahu tarikannya: gaya yang menahan Bulan di orbitnya, tarikan antara satelit dan planet yang dikelilinginya, apakah gaya gravitasi antara dua massa laboratorium terukur sama sekali (tidak — nilainya sekitar 10⁻⁷ N, dan itulah sebabnya percobaannya baru berhasil pada 1798), atau berapa gravitasi permukaan sebuah benda kalau massanya sendiri dan jari-jarinya sendiri dimasukkan ke persamaan yang sama ini. Yang terakhir itulah isi tabel di bawah: delapan benda dengan gravitasi permukaannya dihitung dengan cara ini, dan angka itulah yang menentukan berapa berat Anda di masing-masingnya. Dua hal layak diperiksa sebelum Anda memercayai jawabannya. Pertama, r adalah jarak pusat ke pusat: menaruh ketinggiannya di tempat jari-jarinya akan melebih-lebihkan gayanya dengan parah, sekitar 290 kali pada 400 km, sedangkan mengabaikan ketinggiannya lalu memakai jari-jari bendanya saja meleset sekitar dua belas persen, dan selisih itu tumbuh seiring ketinggiannya. Kedua, rumusnya memperlakukan setiap benda sebagai titik, dan itu eksak untuk bola serta pendekatan yang baik untuk apa pun yang kecil dibandingkan r — tetapi dua benda yang hampir bersentuhan sama sekali di luar jangkauannya.

1. Dua orang 70 kg, satu meter terpisah

   1. Massanya: 70 kg dan 70 kg, dan jarak antara kedua pusatnya 1 m
   2. Hasil kali massanya: 70 × 70 = 4.900 kg²
   3. Kuadrat jaraknya: 1² = 1 m²
   4. Gayanya: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. Dalam lbf: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Sepertiga mikronewton, dan itulah jawaban yang membuat seluruh pokok bahasan ini mendarat: dua orang yang berdiri bersebelahan saling menarik dengan gaya sekitar seberat beberapa puluh mikrogram materi, dan tidak ada apa pun dalam kehidupan sehari-hari yang mengungkapkannya. Perhatikan bahwa aritmetikanya tidak pernah meninggalkan eksponennya — 4.900 hanya empat digit, dan faktor yang menyusutkan jawabannya adalah 10⁻¹¹ itu. Dalam pengertian itulah gravitasi lemah: bukan karena tetapannya kecil dibandingkan angka-angka lain, melainkan karena ia kecil dibandingkan apa pun yang bisa dihasilkan manusia sebagai massa.

2. Bumi dan Bulan

   1. Massanya: 5,972 × 10²⁴ kg untuk Bumi, 7,342 × 10²² kg untuk Bulan
   2. Jarak antarpusatnya: 384.400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Hasil kali massanya: 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. Kuadrat jaraknya: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Gayanya: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. Dalam lbf: 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ N kira-kira 200 exanewton, dan itulah angka yang membuat orang menduga gravitasi itu kuat — ia gaya yang membuat benda berjarak 384.400 km berbelok arah setiap bulan. Bandingkan dengan contoh sebelumnya dan seluruh pelajarannya ada pada eksponennya: massanya tumbuh sekitar 10⁴⁴ kali, jaraknya sekitar 3,8 × 10⁸ kali (jadi 1,5 × 10¹⁷ setelah dikuadratkan), dan gayanya 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷ kali. Tidak ada apa pun tentang hukumnya yang berubah di antara kedua hitungan itu; yang berubah hanya berapa banyak materi di kedua sisinya.

3. Bumi dan seseorang 70 kg yang berdiri di atasnya

   1. Jarak yang diminta rumusnya adalah jari-jari rata-rata Bumi: 6.371 km = 6,371 × 10⁶ m, bukan jarak ke tanah di bawah kaki Anda
   2. Hasil kali massanya: 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ kg²
   3. Kuadrat jaraknya: (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ m²
   4. Gayanya: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 N
   5. Dalam lbf: 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   Inilah 687 N yang sama yang dilaporkan timbangan kamar mandi Anda sebagai 70 kg, dan ada baiknya jelas bahwa timbangannya mengukur gaya lalu membaginya dengan 9,8 untuk mencetak massa. Ini juga satu-satunya baris di halaman ini yang mendarat dalam notasi biasa: jawabannya berada di antara 10⁻³ dan 10⁶, jadi halamannya membiarkannya sebagai 687,398 dan tidak menulisnya ulang menjadi 6,874 × 10². Angkanya sedikit rendah dengan sengaja — ia memakai jari-jari rata-ratanya, jadi orang di khatulistiwa berjarak 21 km lebih jauh dari pusatnya daripada orang di kutub, dan satu angka tunggal ini adalah rata-rata keduanya.

Batasan terbesarnya bukan pada modelnya melainkan pada tetapannya. G diketahui hanya sampai sekitar empat angka penting — nilai rekomendasi CODATA adalah 6,67430 dengan ketidakpastian 15 pada dua angka terakhirnya, yaitu ketidakpastian relatif 2,2 × 10⁻⁵ — dan ia tetapan yang paling tidak presisi pengukurannya di seluruh fisika, lebih buruk daripada tetapan yang paling tidak dikenal berikutnya sebanyak empat orde besaran atau lebih. Karena itu setiap jawaban di halaman ini punya angka keempat yang hanya hiasan: 1,980 × 10²⁰ N sebenarnya adalah 1,98 × 10²⁰ N, dan mengetikkan massa yang lebih presisi tidak akan memperbaikinya. Di luar itu, persamaannya memperlakukan kedua benda sebagai titik, dan itu hanya eksak untuk bola; ia mengabaikan semua gaya lain, jadi ia tidak mengatakan apa-apa tentang apakah kedua bendanya benar-benar sedang mengorbit atau sedang saling jatuh; ia mengabaikan relativitas umum, yang penting untuk perihelion Merkurius dan untuk apa pun yang dekat lubang hitam; dan ia mengasumsikan massanya tetap, yang gagal untuk roket atau komet yang menguap. Di ujung yang kecil modelnya juga dipakai di luar jangkauan yang dimaksudkan: dua benda yang berjarak satu milimeter tidak tergambarkan baik sebagai titik, dan tarikan antara dua atom adalah urusan kimia dan bukan persamaan ini, dan itulah sebabnya kolom jaraknya berhenti pada 1 mm. Terakhir, gravitasi permukaan di tabelnya memakai jari-jari rata-rata dan mengasumsikan bendanya bola sempurna tanpa rotasi, sehingga baris Bumi keluar pada 9,82 m/s² dan bukan pada nilai baku 9,80665 m/s².

Apa rumus gaya gravitasi?

F = G × m₁ × m₂ / r², dengan G tetapan gravitasi 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², kedua m adalah massanya dalam kilogram, dan r jarak antara pusat-pusatnya dalam meter. Dua orang 70 kg yang berjarak satu meter memberi 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ N. r² di penyebutnya itulah yang membuatnya hukum kuadrat terbalik: jauhkan kedua bendanya dua kali lebih jauh dan gayanya turun menjadi seperempat, bukan menjadi separuh.

Mengapa gaya gravitasi antara dua orang begitu kecil?

Karena G sendiri kecil: 6,6743 × 10⁻¹¹, yaitu sebelas orde besaran di bawah 1. Massanya satu-satunya yang bekerja ke arah sebaliknya, dan 70 kg masing-masing bukan massa yang banyak. Pakailah persamaan yang sama dengan sebuah planet di salah satu sisinya dan eksponennya berbalik: Bumi dan Bulan saling menarik dengan 1,98 × 10²⁰ N. Tidak ada apa pun tentang hukumnya yang berbeda di antara kedua kasus itu — gravitasi itu lemah, dan perlu materi sebesar planet untuk membuatnya tampak sebaliknya, dan itulah sebabnya gaya yang menyatukan tata surya adalah gaya yang sama yang tidak bisa menarik dua orang menjadi satu.

Apakah r jarak antara permukaannya atau antara pusatnya?

Antara pusatnya, selalu. Untuk orang yang berdiri di Bumi, r adalah jari-jari Bumi, 6.371 km, dan bukan nol. Untuk satelit 400 km di atasnya, r adalah 6.771 km dan bukan 400 km — ketinggiannya adalah jarak permukaan dan harus ditambahkan jari-jarinya. Inilah cara paling umum jawabannya salah, dan besarnya kesalahan itu layak dilihat: mengetikkan ketinggian 400 km di tempat jari-jarinya membuat gayanya sekitar 290 kali terlalu besar, sedangkan mengabaikan ketinggiannya sama sekali lalu memakai 6.371 km masih membuatnya sekitar 12 persen terlalu besar.

Apa itu gravitasi permukaan dan bagaimana dihitung di sini?

Gravitasi permukaan adalah percepatan yang diberikan sebuah benda kepada sesuatu yang berdiri di atasnya, g = GM/R², yaitu rumus gaya gravitasi yang sama dengan massa kedua disetel 1 dan r disetel ke jari-jari bendanya sendiri. Tabel di halaman ini melakukan tepat itu untuk delapan benda: Bulan keluar pada 1,62 m/s², Bumi pada 9,82 m/s² dan Matahari pada 274 m/s². Angka itulah yang menentukan berapa berat Anda di sana — orang 70 kg memerlukan 687 N di Bumi, 113 N di Bulan, dan sekitar 19 kN di Matahari, dan itulah sebabnya pertanyaan tentang mendarat di Matahari sudah terjawab sebelum soal suhunya muncul.

Seberapa akurat perhitungan ini?

Sampai sekitar empat angka penting, dan batasnya adalah tetapannya dan bukan aritmetikanya. G adalah tetapan yang paling tidak presisi pengukurannya di seluruh fisika: nilai rekomendasinya 6,67430 dengan ketidakpastian 15 pada dua angka terakhirnya, yaitu ketidakpastian relatif 2,2 × 10⁻⁵, empat orde besaran atau lebih lebih buruk daripada tetapan yang paling tidak dikenal berikutnya. Jadi 1,980 × 10²⁰ N sebaiknya dibaca sebagai 1,98 × 10²⁰ N, dan memasukkan massanya sampai sepuluh digit tidak akan menambah angka kelima yang bermakna. Massa dan jarak masukannya biasanya justru ujung yang lebih longgar — massa Bumi diketahui sampai sekitar satu bagian per 10⁵, dan angka yang dipakai di sini adalah jari-jari rata-ratanya dan bukan jari-jari di lintang Anda.

Apakah benda yang lebih berat menarik lebih kuat, atau keduanya menarik sama kuat?

Sama kuat. Kedua massanya saling dikalikan di dalam rumusnya, jadi gaya pada Bumi dari Anda dan gaya pada Anda dari Bumi adalah 687 N yang sama dengan arah berlawanan — tidak ada pengertian di mana Bumi menarik lebih kuat. Yang berbeda adalah apa yang dilakukan gaya itu: 687 N mempercepat Anda dengan 9,82 m/s² dan mempercepat Bumi dengan 1,15 × 10⁻²² m/s², dan itulah sebabnya Anda jatuh sedangkan planetnya tidak bergerak secara kasatmata. Penalaran yang sama itulah sebabnya halaman ini hanya memerlukan satu jarak dan satu jawaban, dan bukan sepasang gaya.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology