Kalkulator Bentuk Panjang

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205,04 = 200 + 5 + 0,04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)

3456

Bilangan yang dibongkar, dimasukkan sebagai bilangan desimal biasa atau dalam notasi e. Angkanya tidak diubah dan tidak ada yang dibulatkan; bilangannya hanya dinyatakan ulang, sehingga penjabaran yang tidak menjumlah kembali menjadi masukan adalah cacat, bukan keputusan pembulatan

3000 + 400 + 50 + 6

Bentuk panjangnya — satu suku untuk setiap angka yang bukan nol, dan setiap suku adalah angka itu dikalikan nilai tempatnya. Angkanya muncul dalam urutan aslinya dari kiri ke kanan, sehingga barisnya terbaca seperti bilangannya sendiri

3 × 10³

Suku yang sama dengan nilai tempatnya ditulis sebagai pangkat sepuluh. Pangkatnya adalah jarak angka itu dari tempat satuan, ke kiri dihitung positif dan ke kanan negatif, dan itulah sebabnya tempat satuan sendiri adalah 10⁰ dan bukan 10¹

200 + 5 + 0,04

Tempat nol berakhir. 205,04 punya nol di tempat puluhan dan nol di tempat persepuluhan, dan kedua sukunya ditinggalkan, karena menambahkan nol pada sebuah penjumlahan tidak mengubah apa pun. Halaman nilai tempat mempertahankannya, halaman ini tidak, dan pertentangan itulah alasan kedua halaman ini ada

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

Bagian penjabaran di belakang tanda desimal, tempat pangkatnya negatif. 0,004560 memberi 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ — nol di belakang pada masukannya tidak menghasilkan suku, sebab halaman ini membaca sebuah nilai, bukan memelihara sebuah ejaan

−(500 + 50)

Bagaimana bilangan negatif ditulis. Tandanya berlaku untuk seluruh penjumlahannya dan berdiri di luar tanda kurung, bukan dibagikan ke setiap suku sebagai −500 + −50, yang akan terbaca sebagai penjumlahan dua bilangan negatif

Bentuk panjang adalah cara nilai tempat diajarkan, dan ia merupakan langkah antara membilang dan menghitung bersusun. Anak yang bisa menuliskan 3456 sebagai 3000 + 400 + 50 + 6 bisa melihat mengapa angka 3 dan angka 4 tidak boleh begitu saja dijumlahkan, dan itulah gagasan yang menjadi dasar penjumlahan bersusun; penjabaran yang sama di bawah sebuah pengurangan menjelaskan teknik meminjam, dan di bawah sebuah perkalian ia yang membuat 3000 × 4 berbeda dari 3 × 4. Jauh setelah masa sekolah, bentuk ini tetap muncul sebagai versi terbaca dari struktur sebuah bilangan. Insinyur yang membandingkan dua pembacaan besaran yang sama akan merasa penjabaran adalah cara tercepat untuk melihat di tempat mana selisihnya berada, dan pembaca yang memeriksa hasil sebuah spreadsheet bisa menjabarkan totalnya lalu mencocokkan setiap angka dengan masukannya alih-alih memercayai angka totalnya sekaligus. Bentuk eksponen adalah jembatan menuju notasi ilmiah dan dunia komputasi: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ hanya selangkah dari 3,456 × 10³, dan bentuk yang sama dengan pangkat dua sebagai ganti pangkat sepuluh persis merupakan cara bilangan biner dijabarkan, dengan setiap bit dikalikan nilai posisinya. Arah sebaliknya — memadatkan sebuah bilangan kembali menjadi koefisien dan pangkat sepuluh, yang justru menghilangkan angka-angkanya alih-alih mendaftarnya — adalah pekerjaan halaman bentuk baku. Dan kalau pertanyaannya menyangkut satu angka tertentu alih-alih semua angka sekaligus, halaman nilai tempat mempertahankan setiap angka pada posisinya, termasuk nolnya, alih-alih membuang suku yang tidak bernilai apa-apa.

1. Bilangan empat angka: 3456

   1. Baca angkanya dari kiri: 3, 4, 5, 6
   2. Sebutkan tempat setiap angka: ribuan, ratusan, puluhan, satuan
   3. Kalikan setiap angka dengan nilai tempatnya: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. Jumlahkan sukunya: 3000 + 400 + 50 + 6
   5. Tulis keempat suku yang sama dengan nilai tempatnya sebagai pangkat sepuluh, sehingga menjadi 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   Masukan bawaan, dan sengaja dipilih sebagai kasus yang mudah: tidak ada nol, tidak ada tanda desimal, dan tidak ada tanda minus, sehingga bentuk jawabannya sudah terlihat sebelum satu aturan pun diterapkan. Menjumlahkan kembali sukunya memberi 3456, dan itulah pemeriksaan yang layak dijalankan atas setiap penjabaran — suku-sukunya harus berjumlah kembali menjadi bilangan asalnya, dan setiap angkanya harus muncul tepat sekali.

2. Bilangan dengan nol dan tanda desimal: 205,04

   1. Angkanya adalah 2, 0, 5, 0, 4, dan tempatnya berjalan dari ratusan turun sampai perseratusan
   2. Angka 2 bernilai 200 dan angka 5 bernilai 5; nol di tempat puluhan dan di tempat persepuluhan tidak bernilai apa pun sehingga tidak menghasilkan suku
   3. Angka 4 berdiri dua tempat di kanan tanda desimal, jadi nilai tempatnya 0,01 dan sukunya 0,04
   4. Penjabarannya adalah 200 + 5 + 0,04, yang berjumlah 205,04
   5. Dengan pangkat sepuluh, suku yang sama menjadi 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², dan pangkat 2, 0, serta −2 adalah jaraknya dari tempat satuan

   Kasus inti halaman ini: dua nol, satu di setiap sisi tanda desimal, dan tidak satu pun menghasilkan suku. Bandingkan dengan halaman nilai tempat, yang untuk masukan yang sama menjawab 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01 — lima suku berbanding tiga suku, dan keduanya jawaban yang benar untuk pertanyaan yang berbeda. Pangkat nol pada 5 × 10⁰ juga layak diperhatikan: tempat satuan adalah tempat seperti tempat lain, dan pangkatnya nol karena angka itu berjarak nol tempat dari dirinya sendiri.

3. Bilangan negatif: −550

   1. Ambil dulu angkanya dan abaikan tandanya: 5 dan 5, di tempat ratusan dan puluhan
   2. Sukunya adalah 500 dan 50, sedangkan nol di tempat satuan tidak menambah apa pun
   3. Jumlah suku-suku itu 550, dan bilangan aslinya adalah jumlah tersebut yang dijadikan negatif
   4. Tulis tandanya sekali, di luar tanda kurung yang mengapit seluruh penjumlahan: -(500 + 50)

   Tanda itu sifat bilangan secara keseluruhan, bukan sifat salah satu angkanya, dan tanda kurung adalah cara mengatakan hal itu secara tertulis. Membagikannya akan menghasilkan -500 + -50, yang secara aritmetika sama saja tetapi lebih sulit dibaca: pada halaman yang keluarannya berupa penjumlahan, dua tanda minus terbaca sebagai dua bilangan negatif yang dijumlahkan, dan pembaca yang memeriksa baris itu harus mencari tahu sendiri apakah maksudnya angka-angkanya negatif atau hasil totalnya yang negatif.

4. Nilai di bawah satu dengan nol di belakang: 0,004560

   1. Cari angka yang berarti, yaitu 4, 5, dan 6; nol di depan hanya menentukan letak tanda desimal
   2. Angka 4 berdiri di tempat perseribuan, jadi sukunya 0,004
   3. Angka 5 berdiri di tempat persepuluh ribuan sehingga memberi 0,0005, dan angka 6 di tempat perseratus ribuan memberi 0,00006
   4. Angka terakhir pada masukannya adalah nol di tempat persejuta; ia tidak menyumbang apa pun dan tidak menghasilkan suku
   5. Suku-sukunya berjumlah 0,00456, yaitu nilai dari masukan itu

   Nol di belakang itulah bagian yang menarik, dan di situlah halaman ini berpisah jalan dengan halaman angka penting. Di sini nol itu sekadar bukan suku, karena sebuah penjumlahan tidak membutuhkannya. Di sana nol itu adalah angka hasil pengukuran dan ikut dihitung sebagai bagian dari empat angka penting yang dibawa 0,004560. Kedua bacaan itu berasal dari masukan yang sama dan tidak satu pun salah — yang satu berbicara tentang nilai bilangannya, yang lain tentang ketelitian pengukurannya.

Nol tidak menghasilkan suku. 205,04 dijabarkan menjadi 200 + 5 + 0,04 dan bukan menjadi 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04, jadi penjabarannya bukan penyalinan angka demi angka dari masukannya; ia adalah masukan yang ditulis sebagai penjumlahan, dan suku yang tidak bernilai apa pun ditinggalkan. Kalau Anda ingin nolnya dipertahankan, halaman nilai tempat mempertahankannya. Bentuk tertulis bukan masukan yang diterima: 4,5 × 10⁴ ditolak, dan bentuk yang perlu Anda ketik adalah 4.5e4. Ada satu jebakan penulisan angka yang layak dibaca perlahan: titik dibaca sebagai tanda desimal, sehingga angka harus diketik tanpa pemisah ribuan — bentuk bertitik masuk sebagai bilangan berdesimal, bukan sebagai bilangan beribu. Masukan dibatasi lima belas angka penting dan pangkat antara −99 dan 99. Nol di depan pada bilangan bulat yang ditulis, seperti pada 007, juga tidak dipertahankan — nol itu tidak punya nilai tempat sama sekali, dan penjabaran masukan tersebut adalah 7. Nol juga merupakan kasus khusus di kedua ujungnya: masukan 0 dijabarkan menjadi 0 tanpa suku apa pun, dan penjabaran bilangan mana pun berakhir pada angka terakhir yang bukan nol, bukan pada akhir bentuk tertulisnya. Tidak ada yang dibulatkan dan tidak ada yang dikonversi, sehingga penjabaran 9,99 adalah 9 + 0,9 + 0,09 dan tidak pernah 10. Panel di atas mencetak hasilnya sebagai teks biasa, memakai titik sebagai tanda desimal dan tanpa pemisah ribuan, karena begitulah halaman ini menyimpan penjumlahannya di dalam; baris yang Anda lihat di layar adalah baris yang sama dalam konvensi sistem, sedangkan teks di halaman ini memakai koma sesuai kaidah bahasa Indonesia. Dan halaman ini hanya mendaftar angka; ia tidak menjumlahkannya untuk Anda, tidak memutuskan berapa di antaranya yang penting, dan tidak menuliskan bilangannya sebagai koefisien dikali pangkat sepuluh. Ketiganya pekerjaan yang berbeda, dan masing-masing menjadi urusan halaman nilai tempat, halaman angka penting, dan halaman bentuk baku.

Apa itu bentuk panjang?

Bilangan yang ditulis sebagai penjumlahan angka-angkanya, masing-masing dikalikan nilai tempatnya: 3456 adalah 3000 + 400 + 50 + 6. Bentuk ini bukan bilangan lain dan bukan cara menulis yang lebih singkat; ia adalah bilangan yang sama dengan struktur tempatnya dibuka, dan itulah sebabnya bentuk ini yang pertama diajarkan dalam pokok bahasan nilai tempat serta yang menjelaskan mengapa hitungan bersusun bisa bekerja.

Mengapa nolnya dibuang dari penjabaran?

Karena suku yang bernilai nol boleh dibuang dari sebuah penjumlahan tanpa mengubah nilainya, dan menyertakannya membuat barisnya lebih sulit dibaca: 205,04 adalah 200 + 5 + 0,04, bukan 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04. Halaman nilai tempat mengambil pandangan sebaliknya dan mempertahankan setiap angka, karena pokok bahasannya adalah angka-angkanya dan bukan penjumlahannya. Kedua halaman benar untuk bilangan yang sama.

Apa bedanya bentuk panjang dan notasi panjang?

Notasi panjang menuliskan nilai tempatnya sebagai pangkat sepuluh: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ sebagai ganti 3000 + 400 + 50 + 6. Halaman ini mencetak keduanya, satu di bawah yang lain, karena yang pertama adalah hasil sebuah bagan nilai tempat dan yang kedua adalah hasil bagan yang sama setelah kolomnya dilabeli pangkat.

Bagaimana bilangan desimal dijabarkan?

Dengan cara yang sama, hanya saja tempat di kanan tanda desimal memakai pangkat negatif: 205,04 adalah 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², sebab angka 4 berdiri dua tempat di kanan tempat satuan. Angka 0,004560 dijabarkan menjadi 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵, dan nol di belakangnya tidak menghasilkan suku sama sekali.

Mengapa −550 ditulis sebagai −(500 + 50)?

Karena tandanya menjadi milik bilangan itu sebagai satu kesatuan, bukan milik salah satu angkanya. Membagikannya akan memberi −500 + −50, yang nilainya sama tetapi terbaca sebagai dua bilangan negatif yang dijumlahkan — membingungkan pada halaman yang keluarannya berupa penjumlahan. Menulisnya sekali di luar tanda kurung mengatakan bahwa ada satu bilangan yang negatif, dan bahwa bagian-bagiannya adalah 500 serta 50.

Apakah bentuk panjang menunjukkan berapa angka penting sebuah bilangan?

Tidak. Halaman ini mendaftar angka dan nilai tempatnya lalu berhenti di situ; nol di belakang pada 0,004560 sekadar bukan suku. Apakah nol itu hasil pengukuran merupakan pertanyaan terpisah, dan itulah yang dijawab halaman angka penting — di sana nol tersebut ikut dihitung, dan bilangannya memiliki empat angka penting.

• Expanded form — what the form is, how a number is written as the sum of its place values, and the exponential version of the same expansion — SplashLearn (United States)
• Expanded notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
• Place value — the chart the expansion is read off, with each digit's value determined by its position — SplashLearn (United States)