Kalkulator Elips

Luas = πab Keliling ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) Eksentrisitas = √(1 − b² ÷ a²)

a

Setengah sumbu mayor. Halaman ini meminta sumbu mayor utuh lalu membaginya dua di dalam, karena panjang utuh itulah yang diberikan sebuah meteran; rumusnya sendiri ditulis dalam sumbu setengah karena begitulah rumus ini selalu ditulis di mana pun

b

Setengah sumbu minor. Ketika b sama dengan a, elipsnya menjadi lingkaran dan rumus luasnya menyusut menjadi πr² yang biasa, dengan r mewakili salah satu dari kedua sumbu setengah itu

Luas

Luas daerah yang ditutupi elips, dalam sentimeter persegi. Ini satu-satunya dari ketiga keluaran yang eksak: kalikan kedua sumbu setengah lalu kalikan dengan π, dan Anda memperoleh jawabannya sampai sebanyak angka yang Anda mau kerjakan

h

Ukuran seberapa tidak sama kedua sumbu setengah itu, dihitung sebagai kuadrat selisihnya dibagi jumlahnya. Nilainya 0 untuk lingkaran dan mendekati 1 ketika elipsnya memipih menuju garis, dan dari besaran inilah pendekatan keliling disusun

Keliling

Jarak mengelilingi tepi elips, dalam sentimeter. Ia tidak punya bentuk tertutup yang elementer, jadi angka di sini adalah pendekatan kedua Ramanujan: tepat ketika kedua sumbunya sama dan sedikit di bawah nilai sebenarnya ketika sumbu minornya mendekati nol

Eksentrisitas

Bilangan murni dari 0 sampai 1 tanpa satuan. Nilainya 0 untuk lingkaran dan naik menuju 1 ketika elipsnya memipih, dan inilah besaran yang dikutip para astronom dan ahli optik ketika hanya bentuknya yang penting dan ukurannya tidak

Empat angka desimal

Seberapa lebar ketiga bacaan dicetak. Luasnya eksak di bawahnya, kelilingnya sebuah pendekatan, dan eksentrisitasnya sebuah perbandingan, sehingga pada elips yang hampir bulat angka-angka awalnya membawa hampir seluruh informasinya

Segala sesuatu yang oval dan perlu diukur adalah kasus yang paling lugas: meja bundar yang ternyata tidak bundar, cermin atau permadani atau wastafel oval, lintasan lari yang kedua bagian lurus dan kedua tikungannya dijelaskan oleh kedua sumbunya, meja rapat oval, kolam renang dengan ujung membulat, dan bingkai atau matras dengan potongan oval. Pada semuanya luasnya yang diperlukan ketika Anda menghitung kebutuhan bahan atau cakupan, sedangkan panjang tepinya yang menentukan berapa panjang bingkai, lis, atau pita tepi yang harus dibeli. Pertamanan dan pekerjaan bangunan memakainya untuk petak tanaman oval, perkerasan melengkung, teras elips, dan bentuk apa pun yang ditandai dengan seutas tali yang direntangkan di antara dua patok — cara standar menggambar elips di atas tanah. Bidang manufaktur memakainya untuk lubang pegangan elips, pipa oval, pipa yang dipipihkan, dan potongan melintang apa pun yang ditarik atau ditekan menjadi oval; eksentrisitasnya penting di situ karena dua oval dengan luas yang sama bisa berbentuk cukup berbeda dan hanya satu di antaranya yang cocok dengan sebuah sambungan. Di bidang astronomi eksentrisitas adalah angka yang paling penting: orbit planet adalah elips dengan Matahari di salah satu titik apinya, dan eksentrisitasnya menyatakan seberapa mirip lingkaran orbit itu, dengan Bumi di 0,0167 dan komet jauh lebih tinggi. Optik memakainya untuk cermin datar elips yang melipat jalur cahaya di dalam teleskop, tempat kedua sumbu cerminnya ditentukan oleh sudut kemiringannya, dan kedokteran memakainya untuk potongan melintang pembuluh dan rongga serta untuk lapangan elips yang dipakai pada terapi radiasi. Di bidang statistika ia adalah bentuk elips kepercayaan, yang kedua sumbunya berasal dari dua simpangan baku dan luasnya memberi sebuah cakupan. Di ruang kelas ia adalah peragaan bahwa lingkaran adalah kasus khusus dari sesuatu yang lebih umum — lingkarkan seutas tali pada dua paku, jiplak dengan pensil, dan bentuknya berubah ketika kedua paku dijauhkan sementara kelilingnya tetap sama persis dengan panjang tali itu, sebuah fakta yang menarik untuk diperhatikan sendiri. Dan dalam aritmetika sehari-hari ia menjawab apakah sebuah permadani oval akan menutupi lantai, berapa kain yang diperlukan sebuah taplak meja oval, dan berapa panjang lis yang dibutuhkan sebuah petak bunga oval.

1. Elips 10 melintang dan 6 ke arah lain

   1. Bagi dua keduanya: sumbu setengah mayornya 5, sumbu setengah minornya 3
   2. Luas: π × 5 × 3 = 47,1239 sentimeter persegi
   3. Eksentrisitas: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
   4. Keliling: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, sehingga π × 8 × 1,0157… = 25,527 sentimeter

   Pasangan yang sudah terisi saat halaman ini dibuka, dipilih karena eksentrisitasnya keluar tepat 0,8 — angka yang bisa diperiksa sendiri dengan tangan dan peragaan yang bersih tentang apa arti besaran itu. Langkahnya dimulai dengan membagi dua, dan itulah langkah yang disembunyikan kedua kotak isian: mengalikan 10 dengan 6 lalu dengan π akan memberi empat kali luasnya, kekeliruan yang paling sering terjadi pada halaman ini.

2. Elips yang sama digandakan: 20 kali 12

   1. Bagi dua keduanya: 10 dan 6
   2. Luas: π × 10 × 6 = 188,4956 — empat kali contoh sebelumnya
   3. Eksentrisitas: √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, tidak berubah
   4. Keliling: 51,054 — dua kali contoh sebelumnya

   Kedua sumbu digandakan, dan ketiga angkanya menanggapi dengan tiga cara yang berbeda. Luasnya naik empat kali, kelilingnya hanya berlipat dua, dan eksentrisitasnya tidak bergerak sama sekali. Tidak ada yang berubah dari bentuknya, dan justru itulah yang dikatakan eksentrisitas — ia menggambarkan perbandingan dan bukan ukuran, dan itulah sebabnya ia besaran yang dipakai untuk membandingkan orbit yang ukurannya sangat berbeda.

3. Lingkaran yang menyamar: 10 kali 10

   1. Bagi dua keduanya: kedua sumbu setengahnya 5 dan 5
   2. Luas: π × 5 × 5 = 78,5398 sentimeter persegi
   3. Eksentrisitas: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
   4. Keliling: pendekatannya menjadi π × 10 × 1 = 31,4159 sentimeter

   Elips yang kedua sumbunya sama adalah sebuah lingkaran, dan baris ini bisa diperiksa terhadap dua halaman lain. Elips 10 kali 10 adalah lingkaran berjari-jari 5, dan 78,5398 adalah luas yang dicetak halaman luas lingkaran untuk jari-jari itu, sementara 31,4159 adalah keliling yang dicetak halaman keliling lingkaran dan halaman konversi dua arah untuknya. Pendekatan kelilingnya di sini juga tepat dan bukan sekadar mendekati, dan itu satu dari dua alasan pendekatan ini dipilih.

4. Elips yang sangat pipih: 10 kali 2

   1. Bagi dua keduanya: 5 dan 1
   2. Luas: π × 5 × 1 = 15,708 sentimeter persegi
   3. Eksentrisitas: √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
   4. Keliling: 21,01 sentimeter — sekitar seperdua puluh lebih panjang daripada 20 yang akan dihasilkan perjalanan bolak-balik di sepanjang sumbu mayornya

   Eksentrisitas 0,9798 sudah dekat ke batasnya, dan baris inilah yang menegaskan bahwa eksentrisitas bukan persentase dari apa pun. Keliling 21,01 pada bentuk yang dimensi terpanjangnya 10 menunjukkan betapa sedikit tambahan jarak yang diberikan elips yang sangat pipih dibandingkan garis lurus yang sedang ia dekati — lima persen, bukan setengah.

5. Terpipih sepenuhnya: 10 kali 0

   1. Bagi dua keduanya: 5 dan 0
   2. Luas: π × 5 × 0 = 0 — bentuknya sudah runtuh menjadi ruas garis dan tidak menutupi apa pun
   3. Eksentrisitas: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, batasnya
   4. Keliling: 19,992 sentimeter — dan di sinilah pendekatannya memperlihatkan satu-satunya cacatnya

   Keadaan ekstrem yang halaman ini akui secara terbuka. Sumbu minor nol membuat elipsnya menjadi ruas garis sepanjang 10, sehingga keliling sebenarnya adalah 20 — dua kali sumbu setengah mayornya, pergi lalu kembali. Pendekatannya mencetak 19,992, kurang 0,008. Itulah seluruh harga dari memakai rumus alih-alih integral eliptik, dan itu galat terbesar yang dibuat pendekatan ini di mana pun di halaman ini.

Halaman ini menghitung elips dari kedua sumbunya saja dan tidak dari yang lain: ia tidak menerima luas atau keliling lalu memulihkan kedua sumbunya, ia tidak memberikan kedua titik api atau jarak fokusnya, ia tidak memberikan garis singgung atau garis normal di sebuah titik, dan ia tidak menggambar apa pun. Kedua sumbu wajib diisi, dan yang lebih pendek harus dimasukkan ke kotak sumbu minor; masukkan angka yang lebih panjang ke situ dan halaman ini melaporkan bahwa yang lebih panjang dari keduanya harus diletakkan di kotak sumbu mayor alih-alih menukarnya diam-diam. Keduanya boleh sama, dan itu sebuah lingkaran, dan keduanya boleh nol, dan itu sebuah titik. Tidak satu pun boleh negatif. Kelilingnya adalah sebuah pendekatan dan bukan angka yang eksak — pendekatan kedua Ramanujan, tepat ketika kedua sumbunya sama dan sedikit di bawah nilai sebenarnya ketika sumbu minornya mendekati nol, dengan sumbu mayor 10 dan sumbu minor 0 memberi 19,992 terhadap nilai sebenarnya 20. Untuk elips yang benar-benar bisa Anda ukur, galatnya tidak pernah mencapai angka desimal keempat, dan tidak ada cara untuk memperoleh angka yang lebih akurat di halaman ini karena keliling yang eksak adalah sebuah integral eliptik. Eksentrisitasnya tidak bersatuan, karena ia perbandingan dua panjang dan keluar sama saja entah panjangnya diukur dalam satuan apa; apa pun yang mencetak satuan di sebelahnya salah. Kedua sumbu menerima sentimeter, meter, milimeter, inci, atau kaki dan keluaran dalam sentimeter kembali dalam satuan itu apa pun yang dimasukkan, karena konversinya terjadi saat masuk; luas yang diukur dalam inci dikonversi dengan kuadrat faktor panjangnya, jadi 6,4516 dan bukan 2,54. Empat angka desimal adalah lebar tampilan dan bukan klaim tentang ketelitian, dan perlu diingat bahwa pada elips yang hampir bulat eksentrisitasnya kecil dan angka-angka awalnya membawa hampir seluruh informasinya. Tidak ada yang di sini menangani elips yang sudah diputar, dan tidak ada yang menangani bentuk oval yang bukan elips sejati — bentuk telur dan bentuk stadion sama-sama terlihat oval dan keduanya bukan elips.

Kedua kotak itu sumbu utuh atau sumbu setengah?

Sumbu utuh — apa pun yang diberikan sebuah meteran dari satu ujung oval ke ujung yang lain. Rumusnya memakai setengah dari masing-masing, jadi halaman ini membaginya dua untuk Anda, dan menuliskan pembagian itu ke dalam kotak berarti meminta Anda membagi pengukuran Anda sendiri dengan dua sebelum mengetikkannya. Ini satu-satunya langkah dalam aritmetikanya yang disembunyikan, dan itulah sebabnya setiap contoh yang dikerjakan dimulai dengan menyebutnya.

Mengapa kelilingnya tidak eksak?

Karena jarak mengelilingi sebuah elips tidak punya rumus yang bisa dituliskan dengan operasi biasa — ia adalah integral eliptik, dan tidak ada jalan lain. Yang dipakai halaman ini adalah pendekatan kedua Ramanujan, yang tepat ketika kedua sumbunya sama dan sedikit di bawah nilai sebenarnya ketika elipsnya memipih; pada keadaan ekstrem, sumbu mayor 10 dengan sumbu minor 0 memberi 19,992 padahal jawaban sebenarnya 20. Untuk elips apa pun yang bisa Anda ukur dengan penggaris, bedanya tidak pernah mencapai angka desimal keempat yang dicetak.

Apa sebenarnya yang diberitahukan eksentrisitas kepada saya?

Seberapa jauh elips itu dari lingkaran, sebagai satu bilangan antara 0 dan 1. Nol adalah lingkaran sempurna dan angkanya naik ketika bentuknya memipih. Ia tidak bersatuan karena ia perbandingan dua panjang, jadi angkanya sama saja entah Anda mengukur dalam sentimeter atau dalam kilometer — itulah sebabnya ia angka yang dipakai untuk membandingkan bentuk orbit planet, yang ukurannya sangat berbeda dan bentuknya tidak.

Mengapa luasnya berubah ketika saya menggandakan kedua sumbunya, sementara eksentrisitasnya tidak?

Karena eksentrisitas menggambarkan bentuk dan luas menggambarkan ukuran, dan menggandakan kedua sumbu hanya mengubah salah satunya. Gandakan keduanya dan luasnya naik empat kali, kelilingnya hanya berlipat dua, sementara eksentrisitasnya tetap persis di tempatnya. Elips yang diperbesar adalah bentuk yang sama, dan angka yang menyatakan bentuknya tidak punya alasan untuk bergerak.

Saya memasukkan pengukuran yang lebih panjang ke kotak yang lebih pendek. Mengapa muncul galat alih-alih pertukaran?

Karena menukarnya akan menaruh angka di layar yang tidak lagi cocok dengan label di atas kotak asalnya, dan Anda tidak akan punya cara untuk mengetahui bahwa itu sudah terjadi. Halaman ini memberi tahu Anda di kotak mana pengukuran yang lebih panjang seharusnya diletakkan dan menyerahkan keputusannya kepada Anda — angkanya tinggal satu suntingan lagi dari benar, dan ia tetap pengukuran Anda alih-alih menjadi pengukuran halaman ini.

Apakah ini sama dengan halaman luas lingkaran?

Untuk elips yang kedua sumbunya sama, halaman ini bersepakat persis dengannya, dan baris pertama tabel di bawah adalah kasus itu: elips 10 kali 10 adalah lingkaran berjari-jari 5, dan kedua halaman mencetak 78,5398 untuk luasnya dan 31,4159 untuk jarak mengelilinginya. Untuk elips lain, halaman lingkaran tidak berlaku sama sekali, karena lingkaran hanya punya satu pengukuran sementara elips punya dua.

• Ellipse — the curve, its semimajor and semiminor axes, the area πab, and the perimeter as a complete elliptic integral with Ramanujan's approximations — Wolfram MathWorld (United States)
• Eccentricity — what the number means and how it runs from 0 for a circle towards 1 for a fully flattened ellipse — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the case an ellipse reduces to when its two axes are equal, and the reason the first row of the table agrees with two other pages on this site — Wolfram MathWorld (United States)