Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Hasil Kali Titik

Hasil

8,0000

Hasil kali titik

Panjang vektor u
3,0000
Panjang vektor v
3,0000
Sudut antara vektor
27,2660 °

Kalkulator hasil kali titik menerima dua vektor lalu mengembalikan hasil kali titik keduanya — yang juga disebut hasil kali dalam — panjang masing-masing vektor, dan sudut antara kedua vektor itu. Ketik komponen setiap vektor dengan pemisah spasi — 1 2 2 untuk vektor tiga dimensi, 0 3 untuk vektor dua dimensi — dan sisanya dikerjakan halaman ini. Vektor adalah daftar angka yang mewakili sesuatu yang punya besar sekaligus arah: angin tiga puluh kilometer per jam dari arah timur laut, gaya yang mendorong ke bawah dan ke samping, atau arah yang sedang dituju sebuah kamera. Hasil kali titik dua vektor dihitung dengan mengalikan komponen pertama keduanya, lalu komponen kedua keduanya, lalu komponen ketiga keduanya, dan menjumlahkan semua hasil perkalian itu. Satu angka itu ternyata mengatakan sesuatu tentang bagaimana kedua vektor saling mengarah, dan itulah sebabnya ia muncul di mana-mana, dari perhitungan pencahayaan di dalam gim sampai definisi usaha di dalam fisika. Nilainya paling besar ketika kedua vektor mengarah ke arah yang sama, nol ketika keduanya tegak lurus, dan negatif ketika keduanya mengarah ke arah yang berlawanan. Halaman ini mengubahnya langsung menjadi sudut, dengan memanfaatkan kenyataan bahwa hasil kali titik sama dengan kedua panjang dikalikan lalu dikalikan kosinus sudut antara keduanya. Setelah disusun ulang, kosinusnya adalah hasil kali titik dibagi hasil kali kedua panjang, dan sudutnya adalah kosinus invers dari angka itu. Ada tiga jawaban yang layak dikenali begitu melihatnya. Hasil kali titik yang nol berarti kedua vektor tegak lurus, karena kosinus 90 derajat adalah nol, dan itulah hal paling berguna yang dilakukan halaman ini — menguji apakah dua arah saling tegak lurus tanpa mengukur apa pun. Dua vektor yang sama memberi sudut nol, karena keduanya menuju arah yang sama. Dua vektor yang berlawanan memberi 180 derajat. Satu masukan ditolak alih-alih dijawab: vektor nol, yang tidak punya arah sama sekali. Hasil kali titiknya dengan apa pun adalah nol, dan membagi dengan panjangnya untuk mendapatkan sudut berarti membagi dengan nol, jadi halaman ini menolak seluruh perhitungannya alih-alih mengembalikan jawaban separuh dengan satu lubang di dalamnya. Selain itu semuanya diterima, termasuk vektor dengan jumlah komponen berapa pun asalkan kedua vektor sama banyak komponennya, dan komponen negatif, yaitu cara menulis vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah.

Pasangan vektor dan hasilnya

Vektor uVektor vHasil kali titik|u||v|Sudut (°)
1 2 22 2 183327.266
3 4 04 3 0245516.2602
1 00 101190
1 1 11 1 131.73211.73210
1 2 34 5 6323.74178.77512.9332
-1 0 01 0 0-111180
2 -34 5-73.60566.4031107.6501
1 23 4112.2361510.3048

Delapan pasangan, dan baris pertama adalah masukan yang sudah terisi saat halaman dibuka. Kolom hasil kali titik adalah tempat mencari tiga jawaban yang layak dikenali begitu melihatnya. Baris ketiga adalah sudut siku-siku yang paling polos, satu vektor di sepanjang tiap sumbu, hasil kali titiknya nol dan sudutnya kembali tepat 90 — itulah uji ketegaklurusan yang paling sering dipakai orang, dan uji itu tidak memerlukan satu pun bagian dari trigonometri yang dipakai kolom sudutnya. Baris keempat adalah dua salinan vektor yang sama, dan itu memberi hasil kali titik terbesar di tabel ini serta sudut 0, sementara baris keenam adalah sebuah vektor dan negasi dirinya sendiri, dan itu memberi satu-satunya hasil kali titik negatif di sini serta sudut 180. Di antara ketiganya, baris-baris itu mencakup seluruh selangnya: searah, siku-siku, dan berlawanan arah. Baris kelima adalah pasangan yang tidak rapi, yang kedua panjangnya sama-sama akar, dan baris itulah yang menunjukkan bahwa sudutnya dihitung dari panjang yang belum dibulatkan — mengalikan dua angka yang tercetak lalu membagi hasilnya dengan hasil kali titik akan mendarat di sudut yang sama, tetapi hanya hampir. Baris ketujuh memuat komponen negatif dan komponen yang tandanya bercampur, yaitu cara menulis vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah, dan hasil kali titiknya yang negatif dengan sudut di atas 90 derajat adalah kasus ketika tanda dan sudutnya harus sepakat: di atas 90 derajat dan negatif, sebagaimana mestinya. Baris kedelapan adalah pasangan dua dimensi, karena halaman ini menerima jumlah komponen berapa pun. Semua angka di sini dihitung ulang saat halaman ini dibangun, dan titik-titik di dua kolom pertama adalah pemisah komponen, bukan bagian dari angkanya.

Rumus

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

Vektor u
Vektor pertama, ditulis sebagai komponen-komponennya dengan pemisah spasi: 1 2 2 untuk tiga dimensi, 0 3 untuk dua dimensi, atau sebanyak yang Anda butuhkan. Tidak ada jumlah kotak yang tetap karena halaman ini menerima dimensi berapa pun, dan kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama
Vektor v
Vektor kedua, ditulis dengan cara yang sama dan dengan jumlah komponen yang sama seperti vektor pertama. Urutannya tidak penting untuk hasil kali titik maupun untuk sudutnya — menukar kedua vektor memberi jawaban yang sama
u · v
Hasil kali titik: kalikan komponen pertama kedua vektor, lalu komponen kedua, dan seterusnya, kemudian jumlahkan hasilnya. Nilainya satu angka biasa tanpa satuan, karena komponen vektor membawa satuan apa pun yang dimiliki besaran itu dan hasil kali dua komponen akan membawa satuan itu dikuadratkan
|u| dan |v|
Panjang masing-masing vektor, dalam satuan apa pun yang dipakai mengukur komponennya: akar dari jumlah kuadrat komponennya. Inilah panjang anak panah yang biasa, dan hitungannya sama persis dengan jarak dari titik asal ke titik yang dituju vektor itu
θ
Sudut antara kedua vektor, dalam derajat, dari 0 ketika keduanya menuju arah yang sama, melewati 90 ketika keduanya tegak lurus, sampai 180 ketika keduanya berlawanan arah. Nilainya tidak pernah keluar dari selang itu, karena kosinus invers tidak bisa mengembalikan nilai di luarnya
cos θ
Hasil kali titik dibagi hasil kali kedua panjang vektor, dan inilah jembatan antara kedua belahan halaman ini. Nilainya berjalan dari 1 untuk vektor yang searah, melewati 0 pada sudut siku-siku, sampai −1 untuk vektor yang berlawanan arah, dan dari angka inilah sudutnya sebenarnya dihitung
Derajat
Satuan untuk keluaran sudut, dan satu-satunya keluaran di halaman ini yang punya satuan sama sekali. Hasil kali titik dan kedua panjang vektor adalah angka biasa
Empat angka desimal
Seberapa lebar setiap keluaran ditulis. Hasil kali titiknya sering berupa bilangan bulat ketika komponennya bulat; kedua panjang vektor membawa akar dan sudutnya membawa kosinus invers, sehingga ketiganya hampir tidak pernah keluar eksak

Hasil kali titik adalah cara baku untuk menanyakan seberapa sepakat dua arah, dan pertanyaan yang dijawabnya muncul lebih sering daripada yang disarankan oleh aritmetikanya. Ketegaklurusan adalah yang terbesar: kalau hasil kali titiknya nol, kedua vektor bertemu pada sudut siku-siku, dan begitulah sebuah program memutuskan apakah sebuah permukaan menghadap ke cahaya, apakah sebuah jalur memotong dinding, atau apakah dua garis pada sebuah gambar saling tegak lurus — dan itu hanya perlu perkalian, tanpa trigonometri sama sekali. Tandanya adalah hal berikutnya yang perlu dilihat: positif berarti kedua vektor secara garis besar menuju arah yang sama, negatif berarti garis besarnya berlawanan, dan itulah seluruh uji di balik penyembunyian muka belakang dan di balik pertanyaan apakah sebuah gaya melakukan usaha pada sebuah benda atau menentangnya. Fisika memakai angka yang sama dengan nama usaha: usaha yang dilakukan sebuah gaya adalah gaya dikali perpindahan, dan itulah sebabnya mendorong dengan sudut menghasilkan lebih sedikit daripada mendorong lurus, serta mengapa mendorong pada sudut siku-siku tidak menghasilkan usaha sama sekali. Kalau Anda memang menginginkan sudutnya dan bukan sekadar hubungannya, halaman ini memberikannya, dan angka yang perlu dikenali adalah 0, 90, dan 180 derajat — searah, tegak lurus, dan berlawanan. Angka lain berarti pasangan vektor yang sudah menyimpang dari ketiganya, dan pemeriksaan yang berguna adalah tanda hasil kali titiknya harus cocok dengan sudutnya: hasil kali titik yang negatif dan sudut di bawah 90 derajat tidak mungkin keduanya benar. Sudut antara dua vektor juga dipakai untuk mengukur kemiripan dua daftar angka, misalnya dua set skor atau dua vektor fitur, dan di situ hasil kali titiknya sendiri yang dipakai sebagai ukuran kedekatan, tanpa sudutnya pernah dihitung.

Contoh hitungan

  1. 1 2 2 dan 2 2 1

    1. Hasil kali titik: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
    2. Panjang vektor u: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
    3. Panjang vektor v: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
    4. Kosinus: 8 ÷ (3 × 3) = 0,888889, dan kosinus invers dari angka itu adalah 27,2659…, yang dibulatkan menjadi 27,266

    Masukan yang sudah terisi saat halaman dibuka, dan termasuk yang rapi: kedua vektornya berpanjang tepat 3, sehingga kosinusnya tidak lain adalah hasil kali titik dibagi sembilan. Dua vektor berbeda, satu hasil kali titik, dua panjang, satu sudut — seluruh halaman ini dalam satu baris. Sudutnya di bawah 90 derajat dan hasil kali titiknya positif, dan itulah pemeriksaan tanda yang layak dijalankan pada setiap jawaban.

  2. 3 4 0 dan 4 3 0

    1. Hasil kali titik: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
    2. Panjang masing-masing: √(9 + 16) = 5, karena komponen ketiganya nol
    3. Kosinus: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96, dan kosinus invers dari angka itu adalah 16,2602…

    Dua vektor yang terletak pada bidang datar, ditulis dengan nol yang eksplisit pada komponen ketiga untuk menunjukkan bahwa vektor dua dimensi tidak lain adalah vektor tiga dimensi dengan satu nol di dalamnya. Kedua panjangnya keluar tepat 5, dan itu segitiga tiga-empat-lima yang sedang melakukan pekerjaan biasanya. Sudutnya kecil dan hasil kali titiknya besar dan positif, dan itulah bentuk dua vektor yang sebagian besar menuju arah yang sama.

  3. 1 0 dan 0 1

    1. Hasil kali titik: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Panjang masing-masing: 1
    3. Kosinus: 0 ÷ 1 = 0, dan kosinus invers dari nol adalah tepat 90 derajat

    Jawaban yang paling sering dicari orang dari halaman ini. Hasil kali titik yang nol berarti kedua vektornya tegak lurus, dan kedua vektor ini contoh paling polosnya: satu sepanjang sumbu x, satu sepanjang sumbu y. Perhatikan bahwa sudutnya kembali tepat 90 dan bukan angka yang dibulatkan, karena kosinusnya tepat nol dan tidak ada akar maupun pembagian yang perlu dikerjakan untuk sampai ke sana. Inilah uji sudut siku-siku, dan uji ini tidak memerlukan satu pun bagian dari trigonometri yang dipakai keluaran sudutnya.

  4. 1 2 3 dan 4 5 6

    1. Hasil kali titik: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
    2. Panjang vektor u: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3,741657…, yang dibulatkan menjadi 3,7417
    3. Panjang vektor v: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8,774964…, yang dibulatkan menjadi 8,775
    4. Kosinus: 32 ÷ (3,741657 × 8,774964) = 0,974631…, dan kosinus invers dari angka itu adalah 12,9331…, yang dibulatkan menjadi 12,9332

    Dua vektor yang panjangnya tidak rapi, dan baris yang perlu dilihat kalau Anda ingin tahu berapa biaya pembulatannya. Kedua panjangnya adalah akar yang tidak pernah berhenti, jadi kosinusnya dihitung dari nilai yang belum dibulatkan dan bukan dari 3,7417 dan 8,775 yang terlihat di layar, dan itulah sebabnya membagi 32 dengan hasil kali kedua angka yang tercetak memberi 0,9746 lalu mendarat pada sudut yang sama, tetapi hanya hampir. Sudutnya kecil karena kedua vektor hampir sejajar — 4 5 6 kira-kira 1 2 3 yang diperbesar.

  5. -1 0 0 dan 1 0 0

    1. Hasil kali titik: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Panjang masing-masing: 1
    3. Kosinus: −1 ÷ 1 = −1, dan kosinus invers dari −1 adalah tepat 180 derajat

    Ujung lain dari selangnya. Dua vektor yang menunjuk tepat ke arah yang berlawanan punya hasil kali titik yang sama dengan minus hasil kali panjang keduanya, dan di sini nilainya −1, yang memberi kosinus −1 dan sudut 180 derajat. Inilah baris yang menunjukkan mengapa hasil kali titik bisa negatif dan apa arti nilai negatif itu: bukan kesalahan dan bukan sudut yang lebih kecil, melainkan dua anak panah yang saling menjauh.

Batasan

Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, dan halaman ini menolak pasangan yang tidak sama alih-alih menambal vektor yang lebih pendek dengan nol. Vektor nol ditolak seluruhnya: vektor yang semua komponennya nol tidak punya arah, jadi sudut antara vektor itu dan apa pun tidak terdefinisi, dan halaman ini menolak seluruh perhitungannya alih-alih menampilkan sudut nol yang akan terbaca sebagai searah. Komponen dibaca sebagai angka biasa; cara penulisannya, termasuk mengapa pengelompokan ribuan ditolak alih-alih ditebak, dijelaskan di kotak isian begitu ada yang tidak terbaca, dan penjelasan itu adalah satu-satunya tempat aturan itu ditulis. Sampai dua ratus komponen diterima pada setiap vektor, jauh melampaui kebutuhan hitungan tangan dan masih di bawah ukuran yang dipakai saluran data otomatis. Empat angka desimal adalah lebar tampilan dan bukan klaim tentang ketelitian, dan sudutnya dihitung dari panjang vektor yang belum dibulatkan, sehingga mengalikan kedua angka yang tercetak belum tentu menghasilkan sudut yang tercetak itu dengan tepat. Halaman ini hanya untuk hasil kali titik dan sudutnya: halaman ini tidak memberikan hasil kali silang, proyeksi satu vektor pada vektor lain, atau vektor satuannya, dan halaman ini tidak mempedulikan satuan komponennya, sehingga hasil kali titik dari komponen dalam meter kembali sebagai angka biasa dan bukan dalam meter persegi.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mengetik komponennya?
Pisahkan dengan spasi: 1 2 2 untuk tiga dimensi, 0 3 untuk dua dimensi. Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, dan tidak ada batas berapa banyak asalkan keduanya cocok — dua dimensi dan tiga dimensi adalah halaman yang sama. Kalau ada yang tidak terbaca, kotak isian akan menjelaskan aturan penulisannya, termasuk mengapa pengelompokan ribuan ditolak alih-alih ditebak.
Apa yang sebenarnya diberitahukan hasil kali titik kepada saya?
Seberapa besar kedua vektor menuju arah yang sama. Nilainya paling besar ketika keduanya sejajar dan searah, nol ketika keduanya tegak lurus, dan negatif ketika keduanya berlawanan arah. Nilainya juga bergantung pada panjang kedua vektor, jadi hasil kali titik yang besar pada vektor yang panjang tidak berarti sudutnya kecil — bagilah dengan kedua panjangnya, dan halaman ini melakukannya untuk Anda, lalu Anda mendapat kosinus sudutnya.
Bagaimana cara mengetahui dua vektor tegak lurus?
Hasil kali titiknya nol. Itulah seluruh ujinya, dan uji itu hanya perlu perkalian — tanpa akar dan tanpa trigonometri, dan itulah sebabnya bentuk ini yang dipakai di dalam kode program. Halaman ini tetap memberi Anda sudutnya, dan sudutnya akan terbaca 90, tetapi kalau ketegaklurusan saja yang Anda butuhkan, hasil kali titiknya sudah menyelesaikannya.
Mengapa hasil kali titik bisa negatif?
Karena ia melacak arah sekaligus besar. Dua vektor yang secara garis besar saling menuju memberi angka positif; pada sudut siku-siku kedua sumbangannya saling meniadakan dan hasilnya nol; dan dua vektor yang garis besarnya saling menjauh memberi angka negatif. Hasil kali titik yang negatif selalu berpasangan dengan sudut di atas 90 derajat, dan kedua hal itu tidak boleh saling bertentangan — kalau bertentangan, ada yang salah dengan masukannya.
Mengapa vektor yang semua komponennya nol ditolak?
Karena vektor nol tidak punya arah, jadi sudut antara vektor itu dan apa pun tidak terdefinisi. Hasil kali titiknya dengan apa pun adalah nol dan panjangnya nol, sehingga menghitung kosinusnya berarti membagi dengan nol. Halaman yang mengembalikan sudut 0 derajat akan mengatakan bahwa vektor itu menuju arah yang sama dengan vektor Anda, dan itu pernyataan tentang arah yang tidak ada.
Dalam satuan apa jawabannya?
Sudutnya dalam derajat, dan tiga keluaran lainnya tidak punya satuan sama sekali. Hasil kali titik adalah jumlah hasil perkalian komponen, jadi kalau komponennya diukur dalam meter, hasilnya dalam meter persegi, dan kalau komponennya angka biasa, hasilnya angka biasa; halaman ini membiarkan satuannya kosong alih-alih menebak, karena aritmetika yang sama melayani sebuah arah, sebuah gaya, dan sederet nilai ujian.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Hasil Kali SilangHasil kali silang dua vektor 3D dan vektor tegak lurusnya.Kalkulator Magnitudo VektorMagnitudo vektor 2D atau 3D: kuadrat, jumlah, lalu akar.Kalkulator Sudut antara Dua VektorSudut antara dua vektor dari komponennya, plus kosinusnya.Kalkulator Proyeksi VektorProyeksi satu vektor pada vektor lain, skalar dan vektornya.