Kalkulator Hasil Kali Silang

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = luas jajar genjang

Vektor u

Vektor pertama: tepat tiga angka, seperti 1 2 3. Tiga adalah satu-satunya jumlah yang diterima, karena hasil kali silang adalah operasi tiga dimensi — pasangan dua dimensi ditolak alih-alih ditambahi satu angka nol, yang akan mengubah jawabannya tanpa Anda sadari.

Vektor v

Vektor kedua, juga tepat tiga angka. Urutan kedua vektor penting di sini dengan cara yang tidak berlaku pada hasil kali titik: menukarnya membalik tanda setiap komponen jawabannya.

Komponen x

Komponen pertama jawabannya: komponen kedua vektor pertama kali komponen ketiga vektor kedua, dikurangi komponen ketiga vektor pertama kali komponen kedua vektor kedua. Setiap komponen hasil kali silang adalah selisih dua perkalian, dan dari situlah tanda-tandanya berasal.

Komponen y

Pola yang sama digeser sekali: komponen ketiga vektor pertama kali komponen pertama vektor kedua, dikurangi komponen pertama vektor pertama kali komponen ketiga vektor kedua. Salah menggeser di sini adalah kesalahan yang paling sering terjadi — hasilnya tidak kelihatan aneh, hanya satu komponen yang tandanya salah.

Komponen z

Pola yang digeser sekali lagi: komponen pertama vektor pertama kali komponen kedua vektor kedua, dikurangi komponen kedua vektor pertama kali komponen pertama vektor kedua. Ketiga komponen itu bersama-sama adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua masukannya.

Panjang

Panjang vektor hasilnya: akar dari jumlah kuadrat ketiga komponennya. Angka ini juga luas jajar genjang yang dibentang kedua vektor masukan, dan dua kali luas segitiga dengan kedua sisi tersebut — biasanya itulah cara membacanya yang lebih berguna.

|u| × |v| × sin θ

Panjang yang sama ditulis dari sisi lain, dengan θ adalah sudut antara kedua masukan. Bunyinya: panjangnya paling besar ketika kedua vektor tegak lurus, dan turun ke nol ketika keduanya mulai sejajar, itulah sebabnya hasil kali silang yang nol berarti sejajar — dan itulah sebabnya hasil kali titik, yang berperilaku tepat sebaliknya, adalah pelengkap halaman ini.

Tegak lurus terhadap keduanya

Sifat yang membuat keluarannya berharga: hasilnya membentuk sudut siku-siku terhadap masing-masing masukan. Bisa Anda periksa sendiri pada keluarannya dengan menghitung salah satu hasil kali titiknya — keduanya nol, sampai batas pembulatan.

Empat angka desimal

Seberapa lebar keluarannya ditulis. Komponennya eksak setiap kali masukannya bilangan bulat dan kecil, dan itu mencakup hampir semua hitungan tangan; kalau tidak, angkanya dibulatkan.

Hasil kali silang menjawab pertanyaan yang berbeda dari hasil kali titik, dan keduanya saling melengkapi, bukan saling menggantikan. Hasil kali titik menerima dua vektor dan memberi satu bilangan yang terbesar ketika keduanya searah; hasil kali silang menerima dua vektor dan memberi sebuah vektor yang terpanjang ketika keduanya tegak lurus. Pakai halaman ini ketika Anda butuh arah yang tegak lurus terhadap dua arah yang sudah diketahui — vektor normal sebuah permukaan, sumbu sebuah rotasi, atau arah dorongan gaya magnet pada muatan yang bergerak. Pakai juga ketika Anda ingin luas jajar genjang atau segitiga dari dua vektor sisinya: panjang jawabannya adalah luas jajar genjangnya, jadi separuhnya adalah luas segitiganya. Pakai ketika Anda ingin menguji apakah dua vektor sejajar, karena jawabannya tepat tiga angka nol ketika keduanya sejajar. Dan pakai ketika Anda perlu arah tegak lurus dengan orientasi yang benar, di situlah urutan kedua vektor dan aturan tangan kanan berperan: vektor pertama adalah yang arahnya Anda tinggalkan dan vektor kedua yang Anda tuju, dengan ibu jari memberi jawabannya. Dua peringatan. Hasilnya tegak lurus terhadap kedua masukan, jadi ia bukan arah yang sedang ditunjuk salah satu masukan — kalau Anda mengharapkan jawaban yang searah salah satunya, yang Anda inginkan adalah hasil kali titik. Dan panjang nol adalah jawaban yang sah, bukan kegagalan: artinya kedua vektor itu sejajar, termasuk kasus ketika salah satunya adalah vektor nol.

1. 1 2 3 dan 4 5 6

   1. Komponen x: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. Komponen y: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. Komponen z: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. Panjang: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469

   Masukan yang dimuat halaman ini, dan baris yang menunjukkan betapa sederhana aritmetikanya: tiga selisih dua perkalian, tidak ada yang lain. Ketiga komponennya tidak nol, jadi inilah baris paling berguna untuk mencocokkan hitungan tangan Anda dengan halaman ini, karena kesalahan tanda tidak bisa disembunyikan oleh angka nol. Panjangnya, 7,3485, adalah luas jajar genjang yang dibentang kedua vektor ini — segitiga dengan kedua sisi tersebut luasnya separuhnya.

2. 1 0 0 dan 0 1 0

   1. Komponen x: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. Komponen y: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. Komponen z: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. Panjang: √(0 + 0 + 1) = 1

   Vektor satuan sepanjang dua sumbu pertama, dan hasil kali silangnya kembali sebagai sumbu ketiga. Inilah baris yang menunjukkan urutan berputar yang menjadi dasar halaman ini: x silang y adalah z, dan panjangnya 1 mengatakan kedua masukannya tegak lurus serta jajar genjangnya persegi satuan. Menuliskan ketiga komponennya dengan tangan di sini layak dilakukan sekali — di sinilah setiap suku yang seharusnya hilang benar-benar hilang.

3. 0 1 0 dan 1 0 0

   1. Komponen x: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. Komponen y: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. Komponen z: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. Panjang: √(0 + 0 + 1) = 1

   Baris sebelumnya dengan kedua kotak ditukar, dan seluruh bedanya adalah tanda komponen ketiga. Itulah sifat bergantung-urutan dari operasi ini, dan halaman ini menunjukkannya tanpa aljabar apa pun: masukkan pasangan yang sama dua kali, tukar kotaknya, lihat satu komponen berubah tanda. Panjangnya tetap 1, dan itu paruh kedua pernyataannya — menukar kedua vektor membalik arah jawabannya, tetapi tidak mengubah besarnya.

4. 1 2 3 dan 2 4 6

   1. Komponen x: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. Komponen y: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. Komponen z: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. Panjang: √(0 + 0 + 0) = 0

   Dua vektor yang menunjuk pada satu garis yang sama — yang kedua tepat dua kali yang pertama — dan jawabannya tiga angka nol. Inilah kasus sejajar, dan inilah yang perlu dikenali, karena panjang hasil kali silang adalah luas yang dibentang kedua vektor, sedangkan vektor sejajar tidak membentang luas. Mendapat tiga angka nol adalah jawaban yang benar, bukan kegagalan: artinya kedua arah itu satu garis yang sama, dan tidak ada vektor yang tegak lurus terhadap garis itu seperti sebuah vektor normal permukaan.

5. 3 4 0 dan 4 3 0

   1. Komponen x: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. Komponen y: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. Komponen z: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. Panjang: √(0 + 0 + 49) = 7

   Dua vektor yang terletak di bidang datar, jadi arah tegak lurusnya adalah yang menembus keluar bidang itu dan kedua komponen pertamanya nol. Panjang 7 adalah luas jajar genjang dengan kedua ini sebagai sisinya, dan segitiga dengan kedua sisi tersebut luasnya 3,5. Tanda komponen ketiganya mengatakan di sisi mana bidang itu jawabannya menunjuk, dan di sini tandanya negatif karena vektor pertamalah yang berputar menuju vektor kedua berlawanan arah jarum jam kalau dilihat dari sisi yang lain. Kedua vektor ini panjangnya 5, hasil kali titiknya 24, dan 7, 24, serta 25 adalah tripel Pythagoras — cara lain mengatakan bahwa panjang di sini dan hasil kali titiknya adalah kedua kaki segitiga siku-siku yang sisi miringnya adalah hasil kali kedua panjangnya.

Kedua vektor harus punya tepat tiga komponen, dan pasangan dengan dua atau empat komponen ditolak, bukan ditambahi. Tidak ada hasil kali silang dua dimensi: operasi ini tiga dimensi menurut definisinya, dan menambahkan satu angka nol diam-diam supaya pasangan dua dimensi muat akan menghasilkan arah yang tidak ada hubungannya dengan bidang tempat kedua vektor itu berada. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim tentang presisi. Vektor nol diterima di sini, berbeda dari halaman hasil kali titik dan halaman sudut, dan perbedaan itu disengaja: hasil kali silang dengan vektor nol memang benar-benar vektor nol, karena vektor nol tidak membentang luas dengan apa pun, jadi ada jawaban sungguhan yang bisa diberikan alih-alih perhitungan yang harus ditolak. Mendapat tiga angka nol karena itu ambigu dengan cara yang tidak bisa diurai halaman ini untuk Anda — artinya kedua vektor sejajar, dan artinya juga salah satunya adalah vektor nol, dan hanya Anda yang tahu yang mana. Kedua kasus itu keluaran yang benar. Tidak ada penanganan satuan: komponennya bilangan biasa dan begitu pula panjang jawabannya, meskipun panjang itu membawa satuan apa pun yang dipakai masukannya. Tidak ada apa pun di halaman ini yang memeriksa orientasi hasilnya terhadap tangan kanan yang sesungguhnya, jadi kalau Anda memakai keluarannya sebagai vektor normal atau sumbu rotasi, urutan kedua vektor dimasukkan itulah yang menentukan arah tegak lurus mana yang Anda dapat.

Mengapa saya tidak bisa memasukkan vektor dua dimensi?

Karena tidak ada hasil kali silang dua vektor di sebuah bidang datar. Operasi ini didefinisikan di ruang tiga dimensi — jawabannya harus tegak lurus terhadap kedua masukan, dan di bidang datar tidak ada arah sisa yang bisa ditunjuknya. Menambahi pasangan dua dimensi dengan angka nol supaya muat akan menghasilkan jawaban yang tidak ada hubungannya dengan bidang itu, jadi halaman ini menolaknya.

Apa arti jawabannya secara geometris?

Ia adalah vektor yang membentuk sudut siku-siku terhadap kedua masukan, dan panjangnya adalah luas jajar genjang yang dibentang kedua masukan itu. Separuh panjang itu adalah luas segitiga dengan kedua sisinya. Bacaan ganda itulah sebabnya perhitungan yang sama muncul baik ketika Anda mencari vektor normal permukaan maupun ketika Anda mencari luas.

Saya mendapat tiga angka nol. Apakah ada yang salah?

Tidak — hasil kali silang yang nol adalah jawaban yang sah. Artinya kedua vektor itu sejajar, sehingga tidak membentang luas, dan tiga angka nol itu juga muncul ketika salah satunya adalah vektor nol. Keduanya hasil yang benar, bukan kegagalan, dan halaman ini tidak punya cara memberi tahu Anda sedang di kasus yang mana, karena keduanya menghasilkan tiga angka nol yang sama.

Apakah urutan kedua vektor berpengaruh?

Ya, dan inilah satu hal yang membedakan halaman ini dengan tegas dari halaman hasil kali titik. Menukar kedua vektor membalik arah jawabannya: setiap komponennya berubah tanda, sementara panjangnya tetap persis sama. Masukkan pasangan yang sama dua kali dengan kotaknya ditukar dan Anda bisa menyaksikannya sendiri. Arah tegak lurus mana yang Anda inginkan ditentukan oleh aturan tangan kanan.

Komponen mana yang ditulis lebih dulu?

Komponen x, lalu y, lalu z, dan jawabannya dicetak sebagai vektor persis seperti masukannya diketik. Masing-masing adalah selisih dua perkalian, dengan polanya bergeser satu langkah mengelilingi siklus untuk setiap komponen: komponen y mengulang resep komponen x dengan komponen yang diputar, dan komponen z memutarnya sekali lagi.

Apa bedanya dengan hasil kali titik?

Hasil kali titik menerima dua vektor dan memberi satu bilangan, terbesar ketika keduanya searah; hasil kali silang memberi sebuah vektor, terpanjang ketika keduanya tegak lurus. Keduanya saling melengkapi. Kalau yang Anda inginkan satu bilangan — sudut, proyeksi, atau tingkat kemiripan arah — pakai hasil kali titik; kalau yang Anda inginkan arah yang tegak lurus terhadap keduanya, pakailah halaman ini.

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)