Apa itu vektor satuan?

Vektor panjang 1 yang menunjuk ke sebuah arah. Ia adalah hasil membagi sebuah vektor dengan panjangnya sendiri, dan ia membawa arahnya tanpa ukurannya. Dua vektor yang hanya berbeda panjang punya vektor satuan yang sama, dan itulah yang membuatnya menjadi cara membandingkan arah pada skala yang berbeda.

Mengapa baris keempat menampilkan panjang masukan dan bukan angka 1?

Karena panjang vektor satuan selalu 1 pada setiap kasus, dan baris yang terus membaca 1,0000 hanya sebuah konstanta, bukan hasil. Panjang masukan adalah angka yang dibagi keluar, jadi mencetaknya membuat pembagiannya terlihat: ketik 3 4, lihat 5, lalu bacalah bahwa 0,6 dan 0,8 masing-masing adalah angka-angka itu dibagi 5.

Bisakah saya memasukkan vektor dengan dua komponen saja?

Bisa, dan komponen ketiganya kembali bernilai 0. Itu bukan penambahan — vektor dua dimensi terletak di bidang datar, dan 0 adalah nilai komponen ketiganya ketika arah yang sama ditulis dalam tiga koordinat. Panelnya punya tiga baris komponen, jadi masukan dua komponen dan tiga komponen memakai satu tata letak yang sama.

Mengapa jawabannya tetap membawa tanda minus?

Karena membagi dengan sebuah panjang tidak bisa membalik arah vektor. Panjangnya bilangan positif, jadi setiap komponen mempertahankan tandanya: vektor satuan dari −3 4 adalah −0,6 dan 0,8. Kalau Anda mengharapkan jawaban yang positif, itu arah yang berbeda, bukan arah yang sama yang sudah dinormalkan.

Mengapa vektor yang semua komponennya nol ditolak?

Karena menormalkannya berarti membagi dengan panjangnya, dan panjangnya nol. Di balik pembagian itu ada alasan kedua: vektor nol tidak punya arah sama sekali, jadi tidak ada yang bisa dipertahankan jawabannya. Halaman sudut dan halaman hasil kali titik juga menolaknya, sedangkan halaman hasil kali silang menerimanya — di sana ia memang menghasilkan vektor nol.

Untuk apa normalisasi vektor dipakai?

Untuk memisahkan arah dari ukuran. Rumus pemantulan, proyeksi, dan pencahayaan mengandaikan vektor yang Anda berikan panjangnya 1, dan memberikan vektor panjang 5 sebagai gantinya mengalikan jawabannya dengan 5 tanpa peringatan apa pun. Membandingkan dua arah yang diukur pada skala berbeda adalah kegunaan lainnya: normalkan keduanya dan ukurannya berhenti mengganggu.

Kalkulator Vektor Satuan

Hasil

0,6000

Komponen x vektor satuan

Komponen y vektor satuan: 0,8000
Komponen z vektor satuan: 0,0000
Panjang vektor: 5,0000

Kalkulator vektor satuan mengubah sebuah vektor menjadi vektor panjang 1 yang menunjuk ke arah yang sama, lalu mencetak panjang yang menjadi pembaginya. Tulis komponennya — 3 4 untuk vektor dua dimensi, 2 3 6 untuk vektor tiga dimensi — dan sisanya dikerjakan halaman ini. Dua atau tiga komponen yang diterima, dan hanya kedua jumlah itu: panelnya punya tiga baris komponen, sedangkan vektor satu dimensi sebenarnya sebuah bilangan bertanda, bukan sebuah arah. Aritmetikanya satu kali pembagian. Ukur panjang vektornya, yaitu akar dari jumlah kuadrat komponennya, lalu bagi setiap komponen dengan angka itu. Hasilnya panjangnya 1 menurut konstruksinya, menunjuk pada garis yang persis sama dengan masukannya, dan disebut vektor satuan dalam arah tersebut. Kegunaan jawabannya adalah memisahkan arah dari ukuran. Dua vektor yang hanya berbeda panjang punya vektor satuan yang sama, dan itulah yang membuatnya cara alami untuk membandingkan arah ketika magnitudonya tidak sebanding — kecepatan angin dibandingkan arah mata angin, atau kemiringan hasil pengukuran dibandingkan kemiringan acuan. Inilah juga cara sebuah arah dibawa masuk ke rumus yang mengandaikan masukan yang sudah dinormalkan, dan itulah sebagian besar rumus di geometri dan grafika. Dua perincian perlu diketahui sebelum Anda memakai keluarannya. Tanda jawabannya mengikuti masukan: vektor satuan dari 3 4 adalah 0,6 dan 0,8, sedangkan vektor satuan dari -3 4 adalah -0,6 dan 0,8. Membagi dengan panjang yang positif tidak mungkin membalik arah, dan vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah adalah masukan yang sama sekali biasa. Dan panjang yang dicetak di sampingnya adalah panjang vektor yang Anda ketik, bukan panjang jawabannya — panjang jawabannya 1 menurut definisinya dan tidak akan mengatakan apa pun. Melihat panjang masukannya itulah yang membuat pembagiannya terlihat: angka-angka di panel adalah panjang itu yang dibagi keluar dari angka-angka di dalam kotak. Satu masukan yang ditolak adalah vektor nol, yang panjangnya nol, sehingga tidak ada yang bisa menjadi pembagi dan, yang lebih penting, tidak ada arah yang bisa dipertahankan.

Vektor dan vektor satuannya

Vektor	Panjang vektor	Komponen x vektor satuan	Komponen y vektor satuan	Komponen z vektor satuan
3 4	5	0.6	0.8	0
1 0	1	1	0	0
1 1	1.4142	0.7071	0.7071	0
0 5	5	0	1	0
-3 4	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071

Delapan vektor beserta vektor satuannya, dan kolom keduanya yang membuat tabel ini layak dibaca: isinya adalah pembaginya, bukan konstanta 1 yang keluar di akhir. Baris pertama adalah yang dimuat halaman ini, dan ia keluar eksak di kedua sisi, segitiga 3-4-5 memberi panjang 5 dan dua komponen desimal yang eksak. Baris kedua dan keempat adalah vektor yang sudah terletak di sepanjang sebuah sumbu, jadi vektor satuannya adalah arah sumbu itu sendiri, dan yang keempat panjangnya 5 dan bukan 1 — tempat paling jelas untuk melihat bahwa kolomnya memuat panjang masukan, bukan panjang jawabannya. Baris ketiga adalah kasus komponen yang sama besar di bidang datar, yang memberi dua komponen 0,7071 dan panjang √2. Baris kelima adalah baris pertama dengan tanda salah satu angkanya diubah, dan tanda vektor satuannya mengikuti: −0,6 dan 0,8. Tidak ada bagian dari normalisasi yang membalik arah sebuah vektor, dan baris ini buktinya. Baris keenam dan ketujuh tiga dimensi: yang satu panjangnya bilangan bulat 7 tanpa komponen yang eksak, yang satu panjangnya √3 dengan tiga komponen sama besar. Baris kedelapan punya komponen ketiga yang negatif dan memberi satu-satunya vektor satuan di tabel ini dengan z negatif. Tidak ada baris untuk vektor nol, dan itu disengaja: ia tidak punya arah dan halaman ini menolaknya. Setiap angka dihitung ulang ketika halaman ini dibangun.

Rumus

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

Vektor u: Vektor yang akan dinormalkan: dua atau tiga angka, seperti 3 4. Dua komponen berarti vektor di bidang datar dan tiga komponen berarti vektor di ruang, dan tidak ada isian jumlah komponen yang perlu diisi — panjang daftarnya yang mengatakan maksud Anda.
|u|: Panjang vektor masukannya: akar dari jumlah kuadrat komponennya. Inilah angka yang membagi semuanya, dan inilah keluaran keempat di panel — panjang vektor yang Anda ketik, bukan panjang vektor satuannya, yang selalu 1.
û: Vektor satuannya: setiap komponen masukan dibagi panjangnya. Ia menunjuk pada garis yang persis sama dengan masukannya dan panjangnya 1, jadi keduanya berbeda ukuran dan tidak berbeda arah. Tanda topi adalah cara baku menuliskannya.
Komponen x: Komponen pertama jawabannya: komponen pertama masukan dibagi panjangnya. Tandanya mengikuti tanda masukan — membagi dengan panjang yang positif tidak mungkin membalik arah, jadi vektor yang mengarah ke kiri memberi vektor satuan yang mengarah ke kiri.
Komponen y: Komponen kedua, dibagi dengan cara yang sama. Bersama komponen x, ia menetapkan arah di bidang datar, berapa pun panjang vektor asalnya.
Komponen z: Komponen ketiga, dibagi dengan cara yang sama, dan bernilai 0 untuk masukan dua komponen. Angka nol itu bukan tambahan: vektor dua dimensi terletak di bidang datar, dan arah yang sama yang ditulis dalam tiga koordinat punya komponen ketiga tepat 0.
|û| = 1: Sifat yang memang dibuat ada pada jawabannya, dan alasan sifat itu tidak dicetak sebagai baris kelima. Panjang vektor satuan selalu 1, jadi baris panel yang terus membaca 1,0000 hanya sebuah konstanta yang berdandan sebagai hasil.
Empat angka desimal: Seberapa lebar keluarannya ditulis. Eksak hanya ketika panjang masukannya keluar sebagai bilangan bulat atau akar yang pendek — 3 4 memberi 5, sedangkan pertigaan dan akar umumnya tidak keluar bulat.

Pakai halaman ini ketika Anda menginginkan arahnya sendiri, tanpa ukurannya menempel. Kasus paling jelas adalah membandingkan dua arah yang magnitudonya berbeda skala: dua vektor yang hanya berbeda panjang punya vektor satuan yang sama, jadi menormalkannya menanggalkan bagian yang tidak Anda tanyakan. Kasus umum lainnya adalah menyiapkan masukan bagi rumus yang mengandaikan vektor panjang 1 — pemantulan, proyeksi, dan perhitungan pencahayaan semuanya begitu, dan memberi mereka vektor panjang 5 diam-diam mengalikan jawabannya dengan 5. Panjang yang dicetak di sampingnya itulah yang membuat pembagiannya bisa diperiksa: 3 4 memberi 0,6 dan 0,8, dan Anda bisa melihat angka 5 keluar dari keduanya. Dua hal yang perlu diingat. Keluarannya membawa tanda masukannya, jadi vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah memberi vektor satuan yang mengarah ke kiri atau ke bawah — normalisasi vektor hanya mengubah panjangnya dan tidak mengubah apa pun yang lain. Dan panjang keluarannya adalah 1 berapa pun yang Anda ketik, itulah sebabnya halaman ini mencetak panjang masukannya sebagai gantinya; angka itulah yang membawa informasi. Vektor dua dimensi boleh saja dan kembali dengan komponen ketiga bernilai 0, karena begitulah arah yang sama terlihat ketika ditulis dalam tiga koordinat. Vektor nol adalah satu-satunya masukan yang ditolak, karena ia tidak punya arah untuk dinormalkan.

Contoh hitungan

3 4
1. Panjang: √(9 + 16) = √25 = 5
2. Komponen x: 3 ÷ 5 = 0,6
3. Komponen y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Komponen z: 0 ÷ 5 = 0, karena vektor dua komponen terletak di bidang datar
Masukan yang dimuat halaman ini, dan kasus paling bersih yang ada: segitiga 3-4-5 membuat panjangnya bilangan bulat, sehingga kedua komponennya keluar eksak. Inilah baris yang menunjukkan untuk apa keluaran keempat itu ada — angka 5 di panel adalah panjang yang menjadi pembagi 3 dan 4, dan membaca 0,6 serta 0,8 di sebelahnya adalah seluruh perhitungannya. Periksa dengan mengkuadratkannya: 0,36 + 0,64 = 1.
2 3 6
1. Panjang: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
2. Komponen x: 2 ÷ 7 = 0,285714
3. Komponen y: 3 ÷ 7 = 0,428571
4. Komponen z: 6 ÷ 7 = 0,857143
Kasus tiga dimensi yang panjangnya juga keluar sebagai bilangan bulat, 7, sementara tidak satu pun dari ketiga komponennya begitu: ketiganya desimal berulang yang dibulatkan ke empat tempat. Kombinasi itu justru kasus biasa, bukan keanehan — panjang yang bulat cukup sering terjadi, komponen vektor satuan yang bulat tidak. Arahnya sama dengan 2 3 6, dan panjangnya sudah dibagi keluar darinya.
-3 4
1. Panjang: √(9 + 16) = √25 = 5, sama seperti untuk 3 4
2. Komponen x: −3 ÷ 5 = −0,6
3. Komponen y: 4 ÷ 5 = 0,8
4. Komponen z: 0 ÷ 5 = 0
Contoh pertama dengan komponen pertamanya dinegasikan, dan vektor satuannya tetap membawa tandanya: −0,6 dan 0,8. Membagi dengan panjang yang positif tidak bisa membalik arah sebuah vektor, dan inilah baris tempat hal itu menjadi terlihat. Vektor yang mengarah ke kiri dan ke atas adalah masukan yang sama sekali biasa, dan vektor satuannya juga mengarah ke kiri dan ke atas. Panjangnya tetap 5 pada kedua kasus, karena menegasikan sebuah komponen tidak mengubahnya.
0 5
1. Panjang: √(0 + 25) = 5
2. Komponen x: 0 ÷ 5 = 0
3. Komponen y: 5 ÷ 5 = 1
4. Komponen z: 0 ÷ 5 = 0
Vektor yang sudah terletak tepat di sepanjang salah satu sumbu, jadi vektor satuannya adalah arah sumbu itu sendiri: 0, 1, 0. Keluaran keempat adalah yang perlu dilihat di sini — angkanya 5, bukan 1. Vektor sepanjang 5 yang menunjuk lurus ke atas punya vektor satuan sepanjang 1, dan panel mengatakannya dengan mencetak panjang yang dibagi keluar, bukan konstanta 1 yang keluar sebagai hasil.
1 1 1
1. Panjang: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1,732051
2. Setiap komponen: 1 ÷ 1,732051 = 0,577350
Diagonal sebuah kubus, dan ketiga komponennya keluar sama besar — memang harus begitu, karena ketiga komponen masukannya sama dan membagi semuanya dengan angka yang sama tidak bisa memutus kesamaannya. Panjangnya akar, bukan bilangan bulat, jadi tidak ada yang eksak di sini. Periksa hasilnya seperti yang dikatakan definisi halaman ini sendiri: 0,5774 dikuadratkan adalah 0,3334, dan tiga angka itu berjumlah 1 di dalam batas pembulatannya.

Batasan

Dua atau tiga komponen yang diterima, dan hanya itu: satu angka adalah besaran bertanda, bukan arah, sedangkan empat komponen atau lebih tidak muat di tiga baris komponen pada panel. Vektor dua komponen tidak ditambahi apa pun dalam arti yang sesungguhnya — ia terletak di bidang datar, dan angka 0 di baris ketiga adalah penampakan arah yang sama dalam tiga koordinat, itulah sebabnya halaman ini tidak perlu menanyakan jenis vektor yang Anda maksud. Vektor nol ditolak sepenuhnya: panjangnya nol, jadi tidak ada yang bisa menjadi pembagi, dan ia tidak punya arah yang bisa dipertahankan jawabannya. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim presisi, dan komponennya dihitung dari panjang yang belum dibulatkan, sehingga angka-angka tercetak itu belum tentu jika dikuadratkan lalu dijumlahkan berjumlah tepat 1. Panjang yang tercetak di panel adalah panjang masukannya, bukan panjang jawabannya; panjang jawabannya 1 menurut definisi, dan mencetaknya berarti mencetak sebuah konstanta. Tidak ada apa pun di halaman ini yang tahu komponen Anda diukur dalam satuan apa — vektor satuan tidak bersatuan, itulah intinya, sedangkan panjangnya membawa satuan apa pun yang dibawa masukannya. Ada satu kehalusan aritmetika yang perlu dinyatakan: tanda setiap komponen mengikuti masukannya, jadi vektor yang mengarah ke kiri memberi vektor satuan yang mengarah ke kiri. Kalau Anda mengharapkan jawaban yang positif, yang Anda harapkan adalah vektor yang lain.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu vektor satuan?: Vektor panjang 1 yang menunjuk ke sebuah arah. Ia adalah hasil membagi sebuah vektor dengan panjangnya sendiri, dan ia membawa arahnya tanpa ukurannya. Dua vektor yang hanya berbeda panjang punya vektor satuan yang sama, dan itulah yang membuatnya menjadi cara membandingkan arah pada skala yang berbeda.
Mengapa baris keempat menampilkan panjang masukan dan bukan angka 1?: Karena panjang vektor satuan selalu 1 pada setiap kasus, dan baris yang terus membaca 1,0000 hanya sebuah konstanta, bukan hasil. Panjang masukan adalah angka yang dibagi keluar, jadi mencetaknya membuat pembagiannya terlihat: ketik 3 4, lihat 5, lalu bacalah bahwa 0,6 dan 0,8 masing-masing adalah angka-angka itu dibagi 5.
Bisakah saya memasukkan vektor dengan dua komponen saja?: Bisa, dan komponen ketiganya kembali bernilai 0. Itu bukan penambahan — vektor dua dimensi terletak di bidang datar, dan 0 adalah nilai komponen ketiganya ketika arah yang sama ditulis dalam tiga koordinat. Panelnya punya tiga baris komponen, jadi masukan dua komponen dan tiga komponen memakai satu tata letak yang sama.
Mengapa jawabannya tetap membawa tanda minus?: Karena membagi dengan sebuah panjang tidak bisa membalik arah vektor. Panjangnya bilangan positif, jadi setiap komponen mempertahankan tandanya: vektor satuan dari −3 4 adalah −0,6 dan 0,8. Kalau Anda mengharapkan jawaban yang positif, itu arah yang berbeda, bukan arah yang sama yang sudah dinormalkan.
Mengapa vektor yang semua komponennya nol ditolak?: Karena menormalkannya berarti membagi dengan panjangnya, dan panjangnya nol. Di balik pembagian itu ada alasan kedua: vektor nol tidak punya arah sama sekali, jadi tidak ada yang bisa dipertahankan jawabannya. Halaman sudut dan halaman hasil kali titik juga menolaknya, sedangkan halaman hasil kali silang menerimanya — di sana ia memang menghasilkan vektor nol.
Untuk apa normalisasi vektor dipakai?: Untuk memisahkan arah dari ukuran. Rumus pemantulan, proyeksi, dan pencahayaan mengandaikan vektor yang Anda berikan panjangnya 1, dan memberikan vektor panjang 5 sebagai gantinya mengalikan jawabannya dengan 5 tanpa peringatan apa pun. Membandingkan dua arah yang diukur pada skala berbeda adalah kegunaan lainnya: normalkan keduanya dan ukurannya berhenti mengganggu.

Referensi

Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)

Kalkulator terkait

Kalkulator Sudut antara Dua VektorSudut antara dua vektor dari komponennya, plus kosinusnya.Kalkulator Hasil Kali SilangHasil kali silang dua vektor 3D dan vektor tegak lurusnya.Kalkulator Hasil Kali TitikHasil kali titik dua vektor dan sudut di antara keduanya.