Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Sudut antara Dua Vektor

Hasil

60,0000 °

Sudut antara vektor

Kosinus sudut
0,5000
Sudut dalam radian
1,0472

Kalkulator sudut antara dua vektor ini menerima dua vektor dan mengembalikan sudut di antara keduanya, bersama kosinus sudut yang menjadi asal angka itu serta sudut dalam radian. Komponen tiap vektor ditulis berurutan — 1 1 0 untuk vektor tiga dimensi, 0 3 untuk vektor dua dimensi — dan sisanya dikerjakan halaman ini. Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, tidak ada batas lain selain itu, dan komponen negatif tidak masalah. Aritmetika di balik jawabannya pendek. Kalikan komponen pertama kedua vektor, lalu komponen kedua, dan seterusnya, kemudian jumlahkan hasilnya: itulah hasil kali titik. Ambil panjang masing-masing vektor, yaitu akar dari jumlah kuadrat komponennya. Bagi hasil kali titik dengan hasil kali kedua panjang itu, dan Anda mendapat kosinus sudut. Sudut itu sendiri adalah kosinus invers dari angka tersebut. Menempuh jalur kosinus alih-alih sudut secara langsung adalah inti seluruh caranya, karena kosinus adalah angka yang secara alami dihasilkan hasil kali titik, dan kosinus pula angka yang layak dilihat: nilainya bergerak dari 1 untuk dua vektor yang searah, melewati 0 pada sudut siku-siku, sampai −1 untuk dua vektor yang berlawanan arah. Ketiga nilai itulah jawaban yang benar-benar dikenali orang, dan tak satu pun perlu kalkulator untuk dikenali. Vektor tegak lurus, kasus yang paling sering dicari di halaman ini, tepat yang kosinusnya nol. Sisanya jatuh di antara kedua ujung itu, dan halaman ini melaporkannya sampai empat angka desimal dalam derajat dan radian sekaligus, karena separuh rumus di dunia menghendaki satuan yang kedua sementara kebanyakan orang membaca yang pertama. Satu masukan ditolak, bukan dijawab: vektor nol, yang panjangnya nol sehingga tidak punya arah sama sekali. Membagi dengan panjangnya untuk mendapat kosinus berarti membagi dengan nol, dan mengembalikan sudut nol berarti mengklaim vektor itu searah dengan vektor Anda — jadi halaman ini menolak seluruh perhitungannya.

Pasangan vektor dan sudut di antaranya

Vektor uVektor vKosinus sudutSudut (°)
1 1 01 0 10.560
1 00 1090
1 0 01 0 010
-1 0 01 0 0-1180
1 11 00.707145
3 4 04 3 00.9616.2602
1 2 22 2 10.888927.266
2 -34 5-0.3032107.6501

Delapan pasangan, dan baris pertama adalah yang dimuat halaman ini. Kolom kosinus itulah alasan tabel ini ada: kolom sudut sendirian menyembunyikan polanya, sedangkan dengan kosinus di sebelahnya ketiga nilai istimewa langsung menonjol. Baris pertama adalah kosinus tepat 0,5 yang memberi tepat 60 derajat, dan baris keenam adalah kosinus 0,96 yang memberi 16,26 derajat — di antara kedua baris itulah letak seluruh peringatan halaman ini, bahwa kosinus memampatkan rentang 0 sampai 90 derajat ke dalam 1 turun ke 0 dan memampatkannya tidak rata. Baris kedua adalah sudut siku-siku paling sederhana yang ada, dan baris ketiga adalah sebuah vektor melawan dirinya sendiri, yang memberi kedua ujung rentang kosinus, 0 dan 1, sementara baris keempat menyediakan ujung ketiganya, yaitu −1, dengan memasangkan sebuah vektor dengan lawannya. Ketiga baris itu bersama-sama adalah seluruh skalanya. Baris kelima adalah pasangan 45 derajat, setengah sudut siku-siku yang terus muncul dalam praktik, dan baris ketujuh adalah baris tiga dimensi yang tidak rapi: kedua panjangnya tepat 3, tetapi hasil kali titiknya 8, jadi kosinusnya 8 ÷ 9 dan tidak pernah berhenti. Baris kedelapan adalah kasus tumpul dengan komponen bertanda campuran: kosinus −0,3032 dan sudut 107,6501, keduanya setuju sebagaimana harus setuju, karena kosinus negatif dan sudut di bawah 90 derajat tidak mungkin sama-sama benar. Angka radiannya sengaja tidak dijadikan kolom di sini — itu sudut yang sama dalam notasi lain, dan kolom kelima tidak akan mengatakan hal baru. Setiap angka dihitung ulang ketika halaman ini dibangun.

Rumus

cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|) θ = arccos(cos θ) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

Vektor u
Vektor pertama, ditulis sebagai komponen-komponennya: 1 1 0 untuk tiga dimensi, 0 3 untuk dua dimensi, atau sebanyak yang Anda perlukan. Jumlah kotak isiannya tidak tetap karena halaman ini menerima dimensi apa pun, dan kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama.
Vektor v
Vektor kedua, ditulis dengan cara yang sama dan dengan jumlah komponen yang sama seperti vektor pertama. Menukar posisi kedua vektor tidak mengubah apa pun — sudut di antara keduanya sama saja, dibaca dari arah mana pun.
u · v
Hasil kali titik, yang dipakai halaman ini tetapi tidak ditampilkan: kalikan komponen pertama kedua vektor, komponen kedua, dan seterusnya, lalu jumlahkan hasilnya. Di sini hasil kali titik adalah bahan mentah sudut, bukan jawaban tersendiri.
|u| dan |v|
Panjang masing-masing vektor, dalam satuan apa pun komponennya diukur: akar dari jumlah kuadrat komponennya. Kedua angka inilah pembagi hasil kali titik, dan masing-masing adalah urusan vektornya sendiri — salah satunya besar tidak mengatakan apa pun tentang yang lain.
cos θ
Kosinus sudut antara kedua vektor: hasil kali titik dibagi hasil kali kedua panjangnya. Nilainya bergerak dari 1 untuk vektor yang searah, melewati 0 pada sudut siku-siku, sampai −1 untuk vektor yang berlawanan arah, dan tidak pernah keluar dari rentang itu. Angka inilah yang sebenarnya dihitung menjadi sudut, karena itu halaman ini menampilkannya.
θ
Sudut antara kedua vektor, dalam derajat: 0 saat keduanya searah, 90 saat tegak lurus, 180 saat berlawanan arah. Nilainya adalah kosinus invers dari angka di atas, jadi rentangnya ikut dan tidak mungkin keluar dari situ.
Radian
Sudut yang sama ditulis dengan cara lain: 180 derajat sama dengan π radian, dan 90 adalah setengahnya. Angka keluarannya adalah bilangan biasa tanpa satuan. Rumus di kalkulus dan di sebagian besar bahasa pemrograman menghendaki radian, jadi halaman ini memberi keduanya daripada membuat Anda mengalikan dengan π lalu membaginya dengan 180.
Derajat
Satuan untuk keluaran utama, dan satu-satunya keluaran di halaman ini yang punya satuan. Kosinus dan angka radiannya adalah bilangan biasa.
Empat angka desimal
Seberapa lebar setiap keluaran ditulis. Kosinus hanya eksak pada kasus-kasus istimewa — 0, 0,5, 1, dan −1 — dan sudutnya eksak hanya ketika kosinusnya salah satu dari angka itu, sehingga hampir semua baris di halaman ini memuat angka yang sudah dibulatkan.

Halaman ini untuk saat Anda menginginkan sudutnya sendiri, bukan sekadar hubungan antara dua arah. Tiga sudut layak dikenali tanpa aritmetika apa pun: kosinus 1 berarti 0 derajat dan kedua vektor searah, kosinus 0 berarti 90 derajat dan keduanya tegak lurus, dan kosinus −1 berarti 180 derajat dan keduanya berlawanan arah. Selain ketiganya, sudutnya adalah sudut sungguhan dan halaman ini memberikannya sampai empat angka desimal. Pemakaian nyata yang paling sering adalah memeriksa sebuah arah terhadap arah acuan: seberapa jauh arah angin telah menyimpang dari utara, seberapa jauh kamera telah berputar, seberapa jauh arah hasil pengukuran melenceng dari arah yang seharusnya. Soal geometri dengan dua arah yang diketahui adalah perhitungan yang sama, begitu pula sudut antara dua garis setelah masing-masing Anda tuliskan sebagai vektor. Pemeriksaan kewajaran yang berguna untuk setiap jawaban: kosinus dan sudut harus menceritakan hal yang sama. Kosinus di atas nol selalu berpasangan dengan sudut di bawah 90 derajat, kosinus negatif dengan sudut di atasnya, dan kosinus nol dengan tepat 90. Kalau keduanya tidak cocok, komponen yang Anda masukkan bukan yang Anda maksud. Keluaran radian disediakan untuk keadaan ketika sudutnya akan dimasukkan ke dalam sebuah rumus atau baris kode, karena keduanya hampir selalu menghendaki radian, dan konversi manual justru tempat kesalahan tanda dan kesalahan faktor 180 berasal.

Contoh hitungan

  1. 1 1 0 dan 1 0 1

    1. Hasil kali titik: 1 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 1
    2. Panjang u: √(1 + 1 + 0) = √2 = 1,414214
    3. Panjang v: √(1 + 0 + 1) = √2 = 1,414214
    4. Kosinus: 1 ÷ (1,414214 × 1,414214) = 1 ÷ 2 = 0,5
    5. Sudut: kosinus invers dari 0,5 adalah 60 derajat, yaitu 60 × π ÷ 180 = 1,047198 radian

    Masukan yang dimuat halaman ini, dan baris paling bersih yang ada: kosinusnya keluar tepat setengah dan sudutnya tepat 60 derajat. Perhatikan bahwa hasil kali titiknya, 1, tidak ada di panel mana pun — halaman ini menampilkan kosinus dan sudutnya, dan hasil kali titik hanyalah langkah di antaranya. Kedua panjangnya sama-sama akar dua, sehingga hasil kalinya tepat 2, dan itulah sebabnya kosinus serta sudutnya keluar eksak, bukan hasil pembulatan.

  2. 3 4 0 dan 4 3 0

    1. Hasil kali titik: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 24
    2. Panjang masing-masing: √(9 + 16) = 5, karena komponen ketiganya nol
    3. Kosinus: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96
    4. Sudut: kosinus invers dari 0,96 adalah 16,2602 derajat, yaitu 0,2838 radian

    Baris yang menunjukkan mengapa kosinusnya layak ditampilkan. Kosinus 0,96 terdengar seperti dua vektor yang hampir sama, padahal sudutnya 16,2602 derajat — sekitar seperenam sudut siku-siku. Kosinus memampatkan seluruh rentang 0 sampai 90 derajat ke dalam angka antara 1 dan 0, dan pemampatannya tidak rata, itulah sebabnya membaca kosinus sebagai pecahan dari apa pun akan salah. Kedua panjangnya tepat 5 di sini, jadi segitiga 3-4-5 sedang menjalankan tugasnya seperti biasa.

  3. 1 0 dan 0 1

    1. Hasil kali titik: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Panjang masing-masing: 1
    3. Kosinus: 0 ÷ 1 = 0
    4. Sudut: kosinus invers dari nol tepat 90 derajat, yaitu 1,570796 radian

    Jawaban yang paling sering dicari orang di halaman ini, dan kasus eksaknya: kosinus nol berarti kedua vektor tegak lurus, dan sudutnya kembali tepat 90, bukan angka pembulatan. Keduanya adalah pasangan tegak lurus paling sederhana yang ada, satu sepanjang sumbu x dan satu sepanjang sumbu y. Angka radiannya, 1,5708, adalah π ÷ 2.

  4. -1 0 0 dan 1 0 0

    1. Hasil kali titik: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Panjang masing-masing: 1
    3. Kosinus: −1 ÷ 1 = −1
    4. Sudut: kosinus invers dari −1 tepat 180 derajat, yaitu 3,141593 radian

    Ujung lain dari rentangnya. Kosinus −1 adalah sudut terbesar yang bisa dibentuk dua vektor, 180 derajat, dan angka radiannya adalah π. Dua vektor yang berlawanan arah tetap dua vektor, dan sudut di antara keduanya bukan nol — inilah baris yang perlu dilihat ketika jawaban 180 terasa salah. Jawaban itu tidak salah: berlawanan arah adalah sebuah hubungan, sama seperti sejajar.

  5. 2 -3 dan 4 5

    1. Hasil kali titik: 2 × 4 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7
    2. Panjang u: √(4 + 9) = √13 = 3,605551
    3. Panjang v: √(16 + 25) = √41 = 6,403124
    4. Kosinus: −7 ÷ (3,605551 × 6,403124) = −7 ÷ 23,086793 = −0,303201
    5. Sudut: kosinus invers dari −0,303201 adalah 107,6501 derajat, yaitu 1,8788 radian

    Jawaban tumpul, dan inilah kasus yang sering mengecoh: dua vektor bisa membentuk sudut lebih dari 90 derajat, dan itu terjadi setiap kali hasil kali titiknya negatif. Salah satu komponen u negatif di sini, yang merupakan cara menulis vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah. Kosinus −0,3032 memang kecil, tetapi tandanya justru seluruh pesannya — tandanya mengatakan kedua vektor saling menjauh, dan sudut 107,6501 derajat setuju dengan itu.

Batasan

Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, dan pasangan yang tidak cocok ditolak, bukan ditambahi nol di belakangnya. Vektor nol ditolak sepenuhnya: vektor yang semua komponennya nol tidak punya arah, jadi sudut antara vektor itu dan vektor lain tidak terdefinisi, dan halaman ini menolak seluruh perhitungannya daripada menampilkan sudut nol yang akan terbaca sebagai searah. Komponen dibaca sebagai bilangan biasa, dan batas praktisnya adalah 200 komponen pada tiap vektor — jauh di luar kebutuhan hitungan tangan, tetapi masih di bawah ukuran yang dipakai saluran data. Hasil kali titiknya sendiri tidak termasuk keluaran, dan itu disengaja: ia adalah langkah tempat sudut dihitung, sedangkan halaman yang mencetaknya sebagai jawaban adalah halaman lain. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim tentang presisi, dan kedua keluaran dihitung dari panjang yang belum dibulatkan, sehingga mengalikan kembali angka-angka yang tercetak belum tentu mereproduksi sudut yang tercetak. Tidak ada apa pun di halaman ini yang tahu komponen Anda diukur dalam satuan apa — masukannya bilangan biasa, begitu pula kosinus dan angka radiannya, dan derajat adalah satu-satunya satuan di sini. Halaman ini tidak peduli vektor Anda dua dimensi atau tiga dimensi, atau seratus dimensi: yang dibutuhkan hanya jumlah komponen yang sama, dan sudutnya selalu berada di antara 0 dan 180 derajat, tidak lebih dan tidak kurang.

Pertanyaan yang sering diajukan

Berapa dimensi vektor yang bisa saya masukkan?
Berapa pun, asalkan kedua vektor punya jumlah komponen yang sama. Halaman ini tidak punya kotak isian tetap: 1 1 0 dibaca sebagai tiga dimensi dan 0 3 sebagai dua dimensi, dan hasilnya sama saja. Komponennya juga boleh negatif, karena vektor yang mengarah ke kiri atau ke bawah ditulis begitu. Yang tidak diterima adalah pasangan yang jumlah komponennya tidak sama, dan vektor yang semua komponennya nol.
Bagaimana cara menghitung sudut vektor dari komponennya?
Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan hasilnya untuk mendapat hasil kali titik, hitung panjang tiap vektor sebagai akar dari jumlah kuadrat komponennya, kemudian bagi hasil kali titik dengan hasil kali kedua panjang itu. Angka yang keluar adalah kosinus sudutnya, dan kosinus invers dari angka itu adalah sudutnya sendiri. Halaman ini mengerjakan ketiga langkah tersebut sekaligus dan menampilkan kosinus beserta sudutnya.
Untuk apa kosinus sudut ditampilkan?
Karena kosinus adalah angka yang sebenarnya dihitung menjadi sudut, dan pada tiga kasus yang paling penting ia lebih mudah dibaca daripada sudutnya. Kosinus 1 berarti kedua vektor searah, 0 berarti tegak lurus, dan −1 berarti berlawanan arah. Nilai di antaranya adalah sudut sungguhan, dan halaman ini memberikannya dalam derajat maupun radian.
Bagaimana cara mengetahui dua vektor tegak lurus?
Kosinus sudutnya nol, dan halaman ini akan membaca tepat 90 derajat. Uji itu tidak memerlukan trigonometri apa pun yang dipakai keluaran sudut — pernyataannya benar tepat ketika hasil kali titiknya nol, dan itu hanya butuh perkalian. Halaman ini menampilkan kosinusnya supaya kasus sudut siku-siku terlihat tanpa perlu dihitung lebih dulu.
Mengapa sudutnya tidak pernah lebih dari 180 derajat?
Karena kosinus sudut selalu berada di antara −1 dan 1, dan kosinus invers hanya mengembalikan nilai dari 0 sampai 180 derajat. Sudut 180 derajat berarti kedua vektor menunjuk ke arah yang persis berlawanan, dan tidak ada sudut 200 derajat antara dua arah — 200 dan 160 derajat menggambarkan pasangan anak panah yang sama.
Mengapa sudutnya ditampilkan dalam derajat sekaligus radian?
Karena pembacanya dua. Orang membaca derajat; rumus dan bahasa pemrograman hampir selalu menghendaki radian, dan 180 derajat sama dengan π radian. Menampilkan keduanya berarti tidak ada yang perlu mengalikan dengan π lalu membaginya dengan 180, dan di situlah kesalahan faktor 180 biasanya terjadi. Angka radiannya adalah bilangan biasa tanpa satuan.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Hasil Kali TitikHasil kali titik dua vektor dan sudut di antara keduanya.Kalkulator Hasil Kali SilangHasil kali silang dua vektor 3D dan vektor tegak lurusnya.Kalkulator Vektor SatuanUbah vektor jadi vektor satuan searah, dengan panjangnya.